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Matrices

Vidéo „ partie 1. Définition
Vidéo „ partie 2. Multiplication de matrices
Vidéo „ partie 3. Inverse d'une matrice : définition
Vidéo „ partie 4. Inverse d'une matrice : calcul
Vidéo „ partie 5. Inverse d'une matrice : systèmes linéaires et matrices élémentaires
Vidéo „ partie 6. Matrices triangulaires, transposition, trace, matrices symétriques
Fiche d'exercices ‡ Calculs sur les matrices



Les matrices sont des tableaux de nombres. La résolution d’un certain nombre de problèmes d’algèbre linéaire se
ramène à des manipulations sur les matrices. Ceci est vrai en particulier pour la résolution des systèmes linéaires.
Dans ce chapitre, K désigne un corps. On peut penser à Q, R ou C.



1. Définition

1.1. Définition

Définition 1.
• Une matrice A est un tableau rectangulaire d’éléments de K.
• Elle est dite de taille n × p si le tableau possède n lignes et p colonnes.
• Les nombres du tableau sont appelés les coefficients de A.
• Le coefficient situé à la i-ème ligne et à la j-ème colonne est noté ai, j .

Un tel tableau est représenté de la manière suivante :
 
a1,1 a1,2 . . . a1, j . . . a1,p
 a2,1 a2,2 . . . a2, j . . . a2,p 
 
 ... ... ... ... ... ... 


A=   ou A = ai, j 16i 6n ou ai, j .
 ai,1 ai,2 . . . ai, j . . . ai,p 

16 j 6 p
 ... ... ... ... ... ... 
an,1 an,2 ... an, j ... an,p
Exemple 1.
 
−2 1 5
A=
3 0 7
est une matrice 2 × 3 avec, par exemple, a1,1 = 1 et a2,3 = 7.
Encore quelques définitions :
Définition 2.
• Deux matrices sont égales lorsqu’elles ont la même taille et que les coefficients correspondants sont égaux.
• L’ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans K est noté Mn,p (K). Les éléments de Mn,p (R)

,MATRICES 1. DÉFINITION 2

sont appelés matrices réelles.



1.2. Matrices particulières
Voici quelques types de matrices intéressantes :
• Si n = p (même nombre de lignes que de colonnes), la matrice est dite matrice carrée. On note Mn (K) au lieu de
Mn,n (K).
 
a1,1 a1,2 . . . a1,n
 a2,1 a2,2 . . . a2,n 
 
 . .. .. .. 
 .. . . . 
an,1 an,2 . . . an,n
Les éléments a1,1 , a2,2 , . . . , an,n forment la diagonale principale de la matrice.
• Une matrice qui n’a qu’une seule ligne (n = 1) est appelée matrice ligne ou vecteur ligne. On la note


A = a1,1 a1,2 . . . a1,p .
• De même, une matrice qui n’a qu’une seule colonne (p = 1) est appelée matrice colonne ou vecteur colonne. On
la note  
a1,1
 a2,1 
A =  . .
 
 .. 
an,1
• La matrice (de taille n × p) dont tous les coefficients sont des zéros est appelée la matrice nulle et est notée 0n,p
ou plus simplement 0. Dans le calcul matriciel, la matrice nulle joue le rôle du nombre 0 pour les réels.


1.3. Addition de matrices

Définition 3 (Somme de deux matrices).
Soient A et B deux matrices ayant la même taille n × p. Leur somme C = A + B est la matrice de taille n × p définie
par
ci j = ai j + bi j .

En d’autres termes, on somme coefficients par coefficients. Remarque : on note indifféremment ai j où ai, j pour les
coefficients de la matrice A.
Exemple 2.
     
3 −2 0 5 3 3
Si A= B=
et alors A+ B = .
1 7 2 −1 3 6
 
0 −2
Par contre si B = alors A + B 0 n’est pas définie.
8

Définition 4 (Produit d’une matrice

par un scalaire).

Le produit d’une matrice A = ai j de Mn,p (K) par un scalaire α ∈ K est la matrice αai j formée en multipliant
chaque coefficient de A par α. Elle est notée α · A (ou simplement αA).

Exemple 3.
   
1 2 3 2 4 6
Si A= et α=2 alors αA = .
0 1 0 0 2 0
La matrice (−1)A est l’opposée de A et est notée −A. La différence A − B est définie par A + (−B).

, MATRICES 2. MULTIPLICATION DE MATRICES 3

Exemple 4.
     
2 −1 0 −1 4 2 3 −5 −2
Si A= et B= alors A − B = .
4 −5 2 7 −5 3 −3 0 −1
L’addition et la multiplication par un scalaire se comportent sans surprises :
Proposition 1.
Soient A, B et C trois matrices appartenant à Mn,p (K). Soient α ∈ K et β ∈ K deux scalaires.
1. A + B = B + A : la somme est commutative,
2. A + (B + C) = (A + B) + C : la somme est associative,
3. A + 0 = A : la matrice nulle est l’élément neutre de l’addition,
4. (α + β)A = αA + βA,
5. α(A + B) = αA + αB.


Démonstration. Prouvons par exemple le quatrième point. Le terme général de (α + β)A est égal à (α + β)ai j . D’après
les règles de calcul dans K, (α + β)ai j est égal à αai j + β ai j qui est le terme général de la matrice αA + βA.

Mini-exercices.
€ −7 2 Š €1 2 3Š € 21 −6 Š €1 0 1Š € 1 2Š
1. Soient A = 0 −1 , B = 2 3 1 , C = 0 3 , D = 12 0 1 0 , E = −3 0 . Calculer toutes les sommes possibles
1 −4 321 −3 12 111 −8 6
de deux de ces matrices. Calculer 3A + 2C et 5B − 4D. Trouver α tel que A − αC soit la matrice nulle.
2. Montrer que si A + B = A, alors B est la matrice nulle.
3. Que vaut 0 · A ? et 1 · A ? Justifier l’affirmation : α(βA) = (αβ)A. Idem avec nA = A + A + · · · + A (n occurrences
de A).



2. Multiplication de matrices

2.1. Définition du produit
Le produit AB de deux matrices A et B est défini si et seulement si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de
lignes de B.
Définition 5 (Produit de deux matrices).
Soient A = (ai j ) une matrice n × p et B = (bi j ) une matrice p × q. Alors le produit C = AB est une matrice n × q
dont les coefficients ci j sont définis par :

p
X
ci j = aik bk j
k=1


On peut écrire le coefficient de façon plus développée, à savoir :
ci j = ai1 b1 j + ai2 b2 j + · · · + aik bk j + · · · + aip b p j .
Il est commode de disposer les calculs de la façon suivante.
 
×
 × 
  ←B
 × 
×
   
|
   | 
A→    ← AB
 × × × × − − − ci j 