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Déterminants
LI1



1 Déterminant d’ordre 2 ou 3
. Dans tout ce chapitre IK désigne IR ou C.
I

Définition 1.1 Soit A = (aij ) ∈ M2 (IK] .On définit le déterminant de la matrice A, que l’on
note det(A) , comme étant la quantité

det(A) = a11 a22 − a12 a21 .
On utilise également les notations

a11 a12
det(A) = = a11 a22 − a12 a21 .
a21 22
On pose det(A) = detB (C1 , C2 ), dit déterminant de vecteurs colonnes C1 et C2 dans la base
canonique de IK 2 .

Propriétés 1


1. Pour tout λ ∈ IK, ona
{
detB (λC1 + C1′ , C2 ) = λ detB (C1 , C1′ ) + detB (C1′ , C2 ),
detB (C1 , λC1′ + C2′ ) = λ detB (C1 , C1′ ) + detB (C1 , C2′ )

On dit que l’ application detB est bilinéaire.

2. detB (C1 , C2 ) = − detB (C2 , C1 ), l’application detB est antisymétrique.

3. detB (C1 , C2 ) = 0 ssi C1 et C2 sont colinéaires. En particulier (C1 , C2 ) est une base de IK 2
ssi detB (C1 , C2 ) ̸= 0.

Définition 1.2 Soit C1 = (x1 , x2 , x3 ), C2 = (y1 , y2 , y3 ), C3 = (z1 , z2 , z3 ) trois vecteurs de IK 3 .
On définit detB (C1 , C2 , C3 ), où B est la base cnonique de IK 3 , par

detB (C1 , C2 , C3 ) = x1 y2 z3 + x2 y3 z1 + x3 y1 z2 − x1 y3 z2 − x2 y1 z3 − x3 y2 z1 .


1

, On note
x1 y1 z1
detB (C1 , C2 , C3 ) = x2 y2 z2 ,
x3 y3 z3
dit déterminant de la matrice carrée d’ordre 3 formée par les colonnes C1 , C2 et C3 .
Remarque 1 On vérifie la relation
x1 y1 z1
y 2 z2 y 1 z1 y1 z1
x2 y2 z2 = x1 . − x2 + x3 .
y 3 z3 y 3 z3 y2 z2
x3 y3 z3
Propriétés 2 Soient C1 , C2 , C3 trois vecteurs de IK 3 .
1. L’application detB : IK 3 ×IK 3 ×IK 3 −→ IK est linéaire pour chaque variable, on dit qu’elle
est 3−linéaire ou trilinéaire.
2. detB (C1 , C3 , C2 ) = detB (C3 , C2 , C1 ) = det(C2 , C1 , C3 ) = − det(C1 , C2 , C3 ), on change le
signe si on permute deux vecteurs. On dit que l’application detB est antisymétrique ou
alternée
3. detB (C1 , C2 , C3 ) = 0 si un vecteur est combinaison linéaire des autres. En particulier
(C1 , C2 , C3 ) est une base de IK 3 ssi detB (C1 , C2 , C3 ) = 0 ̸= 0.

Exemple 1.1
Dans IR3 , on considère les vecteurs u = (1, 2, −1) v = (0, −1, 3), w = (1, 1, −2). On a
1 0 1
−1 1 0 1 0 1
detB (u, v, w) = 2 −1 1 = −2 − = 4.
3 −2 3 −2 −1 1
−1 3 −2
D’où (u, v, w) est une base de IR3 .


2 Déterminant d’une matrice carrée.
Définition 2.1 Soit n ∈ IN et A = (aij ) ∈ Mn (IK). On définit le déterminant de la matrice
A, nuté det A, par:
1. Si n = 1, A = (a) on pose det A = a.
2. Si n = 2, on pose det A = a11 a22 − a21 a12 .
3. Si n ≥ 3, on établit la reltion de récurrence, pour 1 ≤ j ≤ n fixé,
∑
n
det(M ) = (−1)i+j aij det(△ij ),
i=1

où △ij est le déterminant d’ordre n − 1 obtenu en supprimant la i-ème ligne et la j-ème
colonne, dit mineur de aij dans M . Cette égalité est appelée développement du déterminant
par rapport à la j-ème colonne de la matrice A.

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