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Chapitre 19

La dimension finie

Sommaire
I Espaces de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1) Familles génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2) Familles libres, familles liées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3) Familles libres et familles liées en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
II Propriétés de la dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1) Bases, coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2) Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3) Applications linéaires et dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
III Notion de rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1) Rang d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2) Rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3) Méthode du pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
IV Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1) Hyperplans en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2) Sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3) Équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14


I ESPACES DE DIMENSION FINIE

1) Familles génératrices

Définition 19.1
Soit E un 𝕂-e.v, et soit A une famille de vecteurs de E, on dit que la famille A est une famille génératrice
de E lorsque E = Vect [A]. Ce qui signifie que tout vecteur de E est combinaison linéaire d’un nombre
fini de vecteurs de A.


ZExemples :
– Soit E = 𝕂𝑛 , pour 𝑖 ∈ J1; 𝑛K, on pose 𝑒𝑖 = (δ𝑖,1 , … , δ𝑖,𝑛 ), alors la famille A = (𝑒1 , … , 𝑒𝑛 ) est une famille
𝑛
génératrice de E, car (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) = ∑ 𝑥𝑖 𝑒𝑖 .
𝑖=1
– Soit E = 𝕂𝑛 [X], la famille A = (X 𝑖 )0⩽𝑖⩽𝑛 est une famille génératrice de E.
– Soit E = 𝕂[X], la famille A = (X 𝑖 )𝑖∈ℕ est une famille génératrice de E.
– Soit E = 𝒞 0 (ℝ, ℝ), la famille A = (𝑓𝑘 )0⩽𝑘⩽𝑛 où 𝑓𝑘 ∶ 𝑥 ↦ 𝑒𝑘𝑥 , n’est pas une famille génératrice de E.
𝑛 𝑛
Si elle l’était, il existerait des réels 𝑎𝑘 tels que sin = ∑ 𝑎𝑘 𝑓𝑘 , en posant P = ∑ 𝑎𝑘 X 𝑘 , on aurait alors
𝑘=0 𝑘=0
pour tout réel 𝑥 ∶ sin(𝑥) = P(𝑒𝑥 ), la fonction sin s’annulant une infinité de fois et la fonction exp étant
injective, on voit que P possède une infinité de racines, donc P = 0 i.e. tous les réels 𝑎𝑘 sont nuls et
donc la fonction sin est nulle, ce qui est absurde.



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, Espaces de dimension finie Chapitre 19 : La dimension finie


Théorème 19.1 (premières propriétés)
Soit A une famille génératrice de E :
– Toute sur-famille de A est génératrice, i.e. si B est une famille de vecteurs de E telle que A ⊂ B, alors B
est génératrice.
– Si 𝑓 ∈ ℒ(E, F), alors B = (𝑓(𝑥))𝑥∈A est une famille génératrice de Im(𝑓).
– Soit 𝑓 ∈ ℒ(E, F), alors 𝑓 est surjective si et seulement si 𝑓(A) est une famille génératrice de F.

Preuve : Le premier point est évident. Si 𝑓 ∈ ℒ(E, F), soit 𝑦 ∈ Im(𝑓), alors il existe 𝑥 ∈ E tel que 𝑓(𝑥) = 𝑦, mais A est
𝑏
génératrice de E, donc il existe 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ∈ A et des scalaires α1 , … , α𝑛 tels que 𝑥 = ∑ α𝑖 𝑥𝑖 , 𝑓 étant linéaire, on a alors
𝑖=1
𝑛
𝑓(𝑥) = ∑ α𝑖 𝑓(𝑥𝑖 ), ce qui prouve que B est génératrice de Im(𝑓). Le troisième point en découle. 
𝑖=1
★Exercice 19.1 Les familles suivantes sont-elles génératrices dans 𝕂3 ?
– A = {(1, 1, 1); (−1, 0, 2); (1, 2, 3)}.
– A = {(1, 1, 1), (1, 2, 3)}.


Définition 19.2 (espace de dimension finie)
Soit E un 𝕂-e.v, on dit que E est de dimension finie lorsque E possède une famille génératrice finie, c’est
à dire lorsqu’il existe des vecteurs 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ∈ E tels que E = Vect [𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ]. Si ce n’est pas le cas, on dit
que E est de dimension infinie.


ZExemples :
– 𝕂𝑛 est de dimension finie.
– 𝕂𝑛 [X] est de dimension finie.
– 𝕂[X] est de dimension infinie. En effet : sinon, il existerait une famille de polynômes P 1 , … , P 𝑛 telle que
𝕂[X] = Vect [P 1 , … , P 𝑛 ], mais alors tout polynôme aurait un degré inférieur ou égal à max(deg(P 1 ), … , deg(P 𝑛 )),
ce qui est absurde. Nous verrons plus loin que ℱ(ℝ, ℝ) est également de dimension infinie.

Théorème 19.2
Soit E un 𝕂-e.v de dimension finie :
– Si 𝑓 ∈ ℒ(E, F), alors Im(𝑓) est de dimension finie. En particulier lorsque 𝑓 est surjective, F est de
dimension finie.
– Si F est de dimension finie, alors E × F est de dimension finie également.

Preuve : Le premier point découle directement du théorème précédent. Si (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) est une famille génératrice de E et
si (𝑦1 , … , 𝑦𝑝 ) est une famille génératrice de F, alors pour (𝑥, 𝑦) ∈ E × F, on a :
𝑛 𝑝
(𝑥, 𝑦) = (􏾜 α𝑖 𝑥𝑖 , 􏾜 β𝑘 𝑦𝑘 ) = 􏾜 α𝑖 (𝑥𝑖 , 0F ) + 􏾜 β𝑘 (0E , 𝑦𝑘 ),
𝑖=1 𝑘=1 1⩽𝑖⩽𝑛 1⩽𝑘⩽𝑝

ce qui prouve que la famille ((𝑥𝑖 , 0F ); (0E , 𝑦𝑘 ))1⩽𝑖⩽𝑛,1⩽𝑘⩽𝑛 est une famille génératrice finie de E × F. 


2) Familles libres, familles liées

Définition 19.3
Soit (𝑥𝑖 )𝑖∈I une famille de vecteurs d’un 𝕂-e.v E, on dit que :
– La famille est libre lorsque la seule combinaison linéaire de la famille qui donne le vecteur nul est celle
pour laquelle tous les coefficients sont nuls (on dit aussi que les vecteurs sont linéairement indépendants),
c’est à dire :
∑ α𝑖 𝑥𝑖 = 0E ⟹ ∀ 𝑖 ∈ I, α𝑖 = 0.
𝑖∈I
– La famille est dite liée lorsqu’elle n’est pas libre (on dit aussi que les vecteurs sont linéairement dé-
pendants), ce qui signifie qu’il existe une famille de scalaires à support fini (α𝑖 )𝑖∈I non tous nuls tels


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