Intégrales
Vidéo partie 1. L’intégrale de Riemann
Vidéo partie 2. Propriétés
Vidéo partie 3. Primitive
Vidéo partie 4. Intégration par parties - Changement de variable
Vidéo partie 5. Intégration des fractions rationnelles
Fiche d’exercices Calculs d’intégrales
Motivation
Nous allons introduire l’intégrale à l’aide d’un exemple. Considérons la fonction exponentielle f (x) = e x . On souhaite
calculer l’aire A en-dessous du graphe de f et entre les droites d’équation (x = 0), (x = 1) et l’axe (Ox).
y y = ex
1
A
x
0 1
Nous approchons cette aire par des sommes d’aires des rectangles situés sous la courbe. Plus précisément, soit n > 1
un entier ; découpons notre intervalle [0, 1] à l’aide de la subdivision (0, 1n , 2n , . . . , ni , · · · , n−1
n , 1).
On considère les « rectangles inférieurs » Ri− , chacun ayant pour base l’intervalle i−1 i
et pour hauteur f i−1
n , n n =
(i−1)/n i i−1 (i−1)/n 1 i−1
e −
. L’entier i varie de 1 à n. L’aire de Ri est « base × hauteur » : n − n × e = ne n .
y y = ex y y = ex
1 1
R1− R2− R3− R4− R1+ R2+ R3+ R4+
x x
0 1 2 3 1 0 1 2 3 1
4 4 4 4 4 4
,INTÉGRALES 1. L’INTÉGRALE DE RIEMANN 2
La somme des aires des Ri− se calcule alors comme somme d’une suite géométrique :
1 n
n i−1 n 1
X e n 1 X 1 i−1 1 1 − e n n
= e n = 1
= 1
e − 1 −−−−→ e − 1.
i=1
n n i=1 n 1− en en −1 n→+∞
e x −1
Pour la limite on a reconnu l’expression du type 1 (avec ici x = 1n ).
x − −→
x→0
Soit maintenant les « rectangles supérieurs » Ri+ , ayant la même base i−1 i i
n , n mais la hauteur f n = e
i/n
. Un calcul
Pn e ni
similaire montre que i=1 n → e − 1 lorsque n → +∞.
L’aire A de notre région est supérieure à la somme des aires des rectangles inférieurs ; et elle est inférieure à la
somme des aires des rectangles supérieurs. Lorsque l’on considère des subdivisions de plus en plus petites (c’est-à-dire
lorsque l’on fait tendre n vers +∞) alors on obtient à la limite que l’aire A de notre région est encadrée par deux
aires qui tendent vers e − 1. Donc l’aire de notre région est A = e − 1.
y y = ex
1
x
0 n = 10 1
Voici le plan de lecture conseillé pour ce chapitre : il est tout d’abord nécessaire de bien comprendre comment est
définie l’intégrale et quelles sont ses principales propriétés (parties ?? et ??). Mais il est important d’arriver rapidement
à savoir calculer des intégrales : à l’aide de primitives ou par les deux outils efficaces que sont l’intégration par parties
et le changement de variable.
Dans un premier temps on peut lire les sections ??, ?? puis ??, ??, ??, avant de s’attarder longuement sur les parties
??, ??. Lors d’une seconde lecture, revenez sur la construction de l’intégrale et les preuves.
Dans ce chapitre on s’autorisera (abusivement) une confusion entre une fonction f et son expression f (x). Par
exemple on écrira « une primitive de la fonction sin x est − cos x » au lieu « une primitive de la fonction x 7→ sin x est
x 7→ − cos x ».
1. L’intégrale de Riemann
Nous allons reprendre la construction faite dans l’introduction pour une fonction f quelconque. Ce qui va remplacer
les rectangles seront des fonctions en escalier. Si la limite des aires en-dessous égale la limite des aires au-dessus on
Rb
appelle cette limite commune l’intégrale de f que l’on note a f (x) d x. Cependant il n’est pas toujours vrai que ces
limites soient égales, l’intégrale n’est donc définie que pour les fonctions intégrables. Heureusement nous verrons que
si la fonction f est continue alors elle est intégrable.
, INTÉGRALES 1. L’INTÉGRALE DE RIEMANN 3
y
a x
b
y = f (x)
1.1. Intégrale d’une fonction en escalier
Définition 1.
Soit [a, b] un intervalle fermé borné de R (−∞ < a < b < +∞). On appelle une subdivision de [a, b] une
suite finie, strictement croissante, de nombres S = (x 0 , x 1 , . . . , x n ) telle que x 0 = a et x n = b. Autrement dit
a = x 0 < x 1 < · · · < x n = b.
a b
x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x
Définition 2.
Une fonction f : [a, b] → R est une fonction en escalier s’il existe une subdivision (x 0 , x 1 , . . . , x n ) et des nombres
réels c1 , . . . , cn tels que pour tout i ∈ {1, . . . , n} on ait
∀x ∈]x i−1 , x i [ f (x) = ci
Autrement dit f est une fonction constante sur chacun des sous-intervalles de la subdivision.
Remarque.
La valeur de f aux points x i de la subdivision n’est pas imposée. Elle peut être égale à celle de l’intervalle qui précède
ou de celui qui suit, ou encore une autre valeur arbitraire. Cela n’a pas d’importance car l’aire ne changera pas.
c7
y
c5
c1
c2
0
x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x
c4
c6
c3
Définition 3. Rb
Pour une fonction en escalier comme ci-dessus, son intégrale est le réel a f (x) d x défini par
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Motivation
Nous allons introduire l’intégrale à l’aide d’un exemple. Considérons la fonction exponentielle f (x) = e x . On souhaite
calculer l’aire A en-dessous du graphe de f et entre les droites d’équation (x = 0), (x = 1) et l’axe (Ox).
y y = ex
1
A
x
0 1
Nous approchons cette aire par des sommes d’aires des rectangles situés sous la courbe. Plus précisément, soit n > 1
un entier ; découpons notre intervalle [0, 1] à l’aide de la subdivision (0, 1n , 2n , . . . , ni , · · · , n−1
n , 1).
On considère les « rectangles inférieurs » Ri− , chacun ayant pour base l’intervalle i−1 i
et pour hauteur f i−1
n , n n =
(i−1)/n i i−1 (i−1)/n 1 i−1
e −
. L’entier i varie de 1 à n. L’aire de Ri est « base × hauteur » : n − n × e = ne n .
y y = ex y y = ex
1 1
R1− R2− R3− R4− R1+ R2+ R3+ R4+
x x
0 1 2 3 1 0 1 2 3 1
4 4 4 4 4 4
,INTÉGRALES 1. L’INTÉGRALE DE RIEMANN 2
La somme des aires des Ri− se calcule alors comme somme d’une suite géométrique :
1 n
n i−1 n 1
X e n 1 X 1 i−1 1 1 − e n n
= e n = 1
= 1
e − 1 −−−−→ e − 1.
i=1
n n i=1 n 1− en en −1 n→+∞
e x −1
Pour la limite on a reconnu l’expression du type 1 (avec ici x = 1n ).
x − −→
x→0
Soit maintenant les « rectangles supérieurs » Ri+ , ayant la même base i−1 i i
n , n mais la hauteur f n = e
i/n
. Un calcul
Pn e ni
similaire montre que i=1 n → e − 1 lorsque n → +∞.
L’aire A de notre région est supérieure à la somme des aires des rectangles inférieurs ; et elle est inférieure à la
somme des aires des rectangles supérieurs. Lorsque l’on considère des subdivisions de plus en plus petites (c’est-à-dire
lorsque l’on fait tendre n vers +∞) alors on obtient à la limite que l’aire A de notre région est encadrée par deux
aires qui tendent vers e − 1. Donc l’aire de notre région est A = e − 1.
y y = ex
1
x
0 n = 10 1
Voici le plan de lecture conseillé pour ce chapitre : il est tout d’abord nécessaire de bien comprendre comment est
définie l’intégrale et quelles sont ses principales propriétés (parties ?? et ??). Mais il est important d’arriver rapidement
à savoir calculer des intégrales : à l’aide de primitives ou par les deux outils efficaces que sont l’intégration par parties
et le changement de variable.
Dans un premier temps on peut lire les sections ??, ?? puis ??, ??, ??, avant de s’attarder longuement sur les parties
??, ??. Lors d’une seconde lecture, revenez sur la construction de l’intégrale et les preuves.
Dans ce chapitre on s’autorisera (abusivement) une confusion entre une fonction f et son expression f (x). Par
exemple on écrira « une primitive de la fonction sin x est − cos x » au lieu « une primitive de la fonction x 7→ sin x est
x 7→ − cos x ».
1. L’intégrale de Riemann
Nous allons reprendre la construction faite dans l’introduction pour une fonction f quelconque. Ce qui va remplacer
les rectangles seront des fonctions en escalier. Si la limite des aires en-dessous égale la limite des aires au-dessus on
Rb
appelle cette limite commune l’intégrale de f que l’on note a f (x) d x. Cependant il n’est pas toujours vrai que ces
limites soient égales, l’intégrale n’est donc définie que pour les fonctions intégrables. Heureusement nous verrons que
si la fonction f est continue alors elle est intégrable.
, INTÉGRALES 1. L’INTÉGRALE DE RIEMANN 3
y
a x
b
y = f (x)
1.1. Intégrale d’une fonction en escalier
Définition 1.
Soit [a, b] un intervalle fermé borné de R (−∞ < a < b < +∞). On appelle une subdivision de [a, b] une
suite finie, strictement croissante, de nombres S = (x 0 , x 1 , . . . , x n ) telle que x 0 = a et x n = b. Autrement dit
a = x 0 < x 1 < · · · < x n = b.
a b
x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x
Définition 2.
Une fonction f : [a, b] → R est une fonction en escalier s’il existe une subdivision (x 0 , x 1 , . . . , x n ) et des nombres
réels c1 , . . . , cn tels que pour tout i ∈ {1, . . . , n} on ait
∀x ∈]x i−1 , x i [ f (x) = ci
Autrement dit f est une fonction constante sur chacun des sous-intervalles de la subdivision.
Remarque.
La valeur de f aux points x i de la subdivision n’est pas imposée. Elle peut être égale à celle de l’intervalle qui précède
ou de celui qui suit, ou encore une autre valeur arbitraire. Cela n’a pas d’importance car l’aire ne changera pas.
c7
y
c5
c1
c2
0
x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x
c4
c6
c3
Définition 3. Rb
Pour une fonction en escalier comme ci-dessus, son intégrale est le réel a f (x) d x défini par
