Chapitre 7
Intégrations
7.1 Int’egrale des fonctions en escalier
Définition 38
1. On appelle subdivision de [a, b], toute famille finie des nombres réls (a0 , ..., an ) telle
que a = a0 < a1 < ... < an = b.
2. Si σ = (a0 , ..., an ) et σ 0 = (a00 , ..., a0n ) sont deux subdivisions de [a, b], on dit que σ 0
est plus fine que σ lorsque {a0 , ..., an } ⊂ {a00 , ..., a0n }.
Si σ = (a0 , ..., an ) et σ 0 = (a00 , ..., a0n ) sont deux subdivisions de [a, b], alors on peut toujours
fabriquer une subdivision σ 00 = σ ∨ σ 0 plus fine que σ et σ 0 , en réordonnant les points de
l’ensemble {a0 , ..., an } ∪ {a00 , ..., a0n }.
Exemple 53 Soit n ∈ N? . Pour tout i = 1, ..., n, on pose ai = a + i b−a
n
. Alors σ =
b−a
(a0 , ..., an ) est une subdivision de [a, b] à pas constant n .
Définition 39 Une fonction f définie sur [a, b] est dite en escalier sur [a, b], s’il existe
une subdivision σ = (a0 , ..., an ) de [a, b] telle que f soit constante sur chaque intervalle
ouvert ]ai−1 , ai [, i = 1, ..., n. On dit que la subdivision σ est subordonnée (ou adaptée) à
la fonction en escalier f . On note E(a, b) : l’ensemble des fonctions en escalier sur [a, b].
Exemple 54
1. Si f est une fonction constant sur [a, b], alors f est en escalier sur [a, b].
2. La fonction partie entière est en escalier sur tout intervalle [a, b]. En effet, on prend
σ = (a0 , ..., an ) comme subdivision subordonnée, avec {a1 , ..., an } sont les entiers
strictement compris entre a et b.
83
,Remarque 15
1. Il est clair que si f ∈ E(a, b) est une fonction en escalier, et si σ est une subdivision
subordonnée à f , alors toute subdivision plus fine que σ est subordonnée à f .
2. Toute fonction en escalier sur [a, b] ne prend qu’un nombre fini de valeurs, donc elle
est bornée.
3. Si f, g ∈ E(a, b), alors toute combinaison linéaire de f et g, ainsi que le produit f g,
sont en escalier sur [a, b]. Si σ(resp.σ 0 ) est une subdivision subordonnée à f (resp.
g), alors il suffit de prendre une subdivision plus fine que σ et σ 0 . Il en résulte que
E(a, b) est une sous-algèbre de F([a, b], R).
Théorème 28 Soit f ∈ E(a, b) une fonction en escaliers sur [a, b] et soit σ = (a0 , ..., an ),
une subdivision de [a, b] subordonnée à f . On pose λi la valeur de f sur ]ai−1 , ai [, pour
i = 1, ..., n. Alors le réel
X n
I(f, σ) = (ai − ai−1 )λi ,
i=1
est indépendant de la subdivision de [a, b] subordonnée à f .
Preuve. Soit c ∈ [a, b] r {a0 , ..., an }. On suppose que c ∈]an−1 , an [, alors la nouvelle
subdivision σ 0 = (a0 , ..., an−1 , c, an ) = (a00 , ..., a0n+1 ) est aussi subordonnée à f (car f est
constante sur ]an−1 , an [, donc aussi sur ]an−1 , c[ et sur ]c, an [). Alors on a
n+1
X n−1
X n
X
(a0i − a0i−1 )λ0i = (ai − ai−1 )λi + [c − an−1 + an − c]λn = (ai − ai−1 )λi .
i=1 i=1 i=1
Si on prend maintenant deux subdivisions σ = (a0 , ..., an ) et σ 0 = (a00 , ..., a0n ) de [a, b]
subordonnée à f , alors la subdivision σ 00 = σ∨σ 0 est subordonnée à f . Donc par récurrence
sur le nombre de points rajoutés, on a I(f, σ) = I(f, σ 00 ) et I(f, σ 0 ) = I(f, σ 00 ), donc
I(f, σ) = I(f, σ 0 ).
Définition 40 Soit f ∈ E(a, b). On appelle intégrale de f sur [a, b] la valeur, commune
à toutes les subdivisions : σ = (a0 , ..., an ), de [a, b] subordonnée à f , du réel I(f, σ), qu’on
Z b Z
la note f (x)dx ou f.
a [a,b]
Propriétés 5 L’intégrale sur [a, b], définie sur E(a, b), a les propriétés suivantes :
Rb
1. Si f est constante sur [a, b], égale à c, alors a f (x)dx = (b − a)c.
2. Si f est nulle sur [a, b] sauf peut-être en un nombre fini de points de [a, b], alors
Rb
f ∈ E(a, b) et a f (x)dx = 0.
84
, Rb
3. L’application f 7→ a f (x)dx est une forme linéaire de E(a, b).
Rb
4. ∀f ∈ E(a, b), f ≥ 0 ⇒ a f (x)dx ≥ 0 .
Rb Rb
5. ∀(f, g) ∈ E(a, b)2 , f ≥ g ⇒ a f (x)dx ≥ a g(x)dx .
Rb Rb
6. ∀f ∈ E(a, b), alors |f | ∈ E(a, b) et on a a
f (x)dx ≤ a
|f (x)|dx.
7. ∀f ∈ E(a, b), ∀c ∈]a, b[, on a la relation de chasles suivante :
Z b Z c Z b
f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx.
a a c
Preuve. 3. soient f, g ∈ E(a, b) et soit σ = (a0 , ..., an ), une subdivision de [a, b] subor-
donnée à f et g (toujours existe). Alors pour tout λ ∈ R, σ est subordonnée à λf + g. De
plus, si f = ci (resp. g = di ) sur ]ai−1 , ai [, alors
Z n
X n
X n
X Z Z
λf +g = (ai −ai−1 )(λci +di ) = (ai −ai−1 )λci + (ai −ai−1 )di = λ f+ g.
[a,b] i=1 i=1 i=1 [a,b] [a,b]
On va prouver 7. Soit f ∈ E(a, b) et σ une subdivision de [a, b] subordonnée à f . Alors
σ1 = σ ∪ {c} = (a0 , ..., an ) est aussi une subdivision de [a, b] subordonnée à f . Soit l’entier
0 < p < n tel que c = ap . Alors En introduisant c parmi les (n + 1)-points précédents, on
obtient deux subdivisions σ 0 = (a00 , ..., a0p ) = (a0 , ..., ap−1 , ap = c) et σ 00 = (a0p , ..., a0n+1 ) =
(c, ap+1 , ..., an ) de [a, c] et [c, b] respectivement subordonnée à f sur [a, c] et [c, b]. En
particulier, f|[a,c] ∈ E(a, c) et f|[c,b] ∈ E(c, b). Comme f reste constante sur tous les sous
intervalles obtenus, alors on a :
Z b n+1 p n+1 Z c Z c
X X X
0 0 0 0 0 0
f (x)dx = (ai −ai−1 )λi = (ai −ai−1 )λi + (ai −ai−1 )λi = f (x)dx+ f (x)dx.
a i=1 i=1 i=p+1 a b
7.2 Fonctions continues par morceaux
Définition 41 Soit f une fonction définie sur le segment [a, b], à valeurs dans R. On dit
que f est continue par morceaux sur [a, b] s’il existe une subdivision σ = (a0 , ..., an ) de
[a, b] telle que, pour tout i = 1, ..., n :
1. la restriction fi de f à chaque intervalle ouvert ]ai−1 , ai [ est continue.
2. cette restriction fi admette des limites finies aux points ai−1 et ai .
85
, Une telle subdivision est dite subordonnée à la fonction continue par morceaux f . On
note Cpm (a, b) l’ensemble des fonctions continues par morceaux sur [a, b] qui est un espace
vectoriel sur R.
Remarque 16 D’après la définition f ∈ Cpm (a, b) si et seulement s’il existe une subdivi-
sion σ = (a0 , ..., an ) de [a, b] telle que, pour tout i = 1, ..., n la restriction fi = f|]ai−1 ,ai [ se
prolonge par continuité sur [ai−1 , ai ].
Exemple 55
1. Toute fonction en escalier est une fonction continue par morceaux.
2. Toute fonction continue est une fonction continue par morceaux.
1
3. Soit f : [−1, 1] −→ R définie par f (x) = e x si x 6= 0 et f (0) = 0. Comme f admet
une limite infinie à droite de 0 alors f 6∈ Cpm (−1, 1).
7.2.1 Intégrale des fonctions continues par morceaux
Théorème 29 Soit f ∈ Cpm (a, b). Pour tout réel ε > 0, il existe (ϕ, ψ) ∈ E(a, b)2 tel que
ϕ≤f ≤ψ et ψ − ϕ ≤ ε.
: Soit f ∈ Cpm (a, b). On pose :
Z b Z b
− +
I (f ) = ϕ(x)dx, ϕ ∈ E(a, b), ϕ ≤ f et I (f ) = ψ(x)dx, ψ ∈ E(a, b), ψ ≥ f .
a a
Alors I − (f ) et I + (f ) admettent respectivement une borne supérieure et une borne inférieure
et ces bornes sont égales. On appelle cette borne commune l’intégrale de f sur [a, b]
Rb R
et on la note a f (x)dx ou [a,b] f . Preuve. D’après le théorème précédent il existe
(ϕ1 , ψ1 ) ∈ E(a, b)2 tel que
ϕ1 ≤ f ≤ ψ1 et ψ1 − ϕ1 ≤ 1.
En particulier on a I − (f ) et I + (f ) sont non vides. D’autre part, ∀ϕ ∈ E(a, b), ϕ ≤ f
Rb Rb
implique ϕ ≤ ψ1 , et alors on a a ϕ(x)dx ≤ a ψ1 (x)dx. Donc I − (f ) est majorée par
Rb
ψ (x)dx, et admet donc une borne supérieure : M = sup (I − (f )). Même raisonnement,
a 1 Rb
I + (f ) est minorée par a ϕ1 (x)dx , et admet une borne inférieure : m = inf (I + (f )).
Rb
Comme de plus, pour tout (ϕ, ψ) ∈ E(a, b)2 , telles que : ϕ ≤ f ≤ ψ, on a a ϕ(x)dx ≤
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Intégrations
7.1 Int’egrale des fonctions en escalier
Définition 38
1. On appelle subdivision de [a, b], toute famille finie des nombres réls (a0 , ..., an ) telle
que a = a0 < a1 < ... < an = b.
2. Si σ = (a0 , ..., an ) et σ 0 = (a00 , ..., a0n ) sont deux subdivisions de [a, b], on dit que σ 0
est plus fine que σ lorsque {a0 , ..., an } ⊂ {a00 , ..., a0n }.
Si σ = (a0 , ..., an ) et σ 0 = (a00 , ..., a0n ) sont deux subdivisions de [a, b], alors on peut toujours
fabriquer une subdivision σ 00 = σ ∨ σ 0 plus fine que σ et σ 0 , en réordonnant les points de
l’ensemble {a0 , ..., an } ∪ {a00 , ..., a0n }.
Exemple 53 Soit n ∈ N? . Pour tout i = 1, ..., n, on pose ai = a + i b−a
n
. Alors σ =
b−a
(a0 , ..., an ) est une subdivision de [a, b] à pas constant n .
Définition 39 Une fonction f définie sur [a, b] est dite en escalier sur [a, b], s’il existe
une subdivision σ = (a0 , ..., an ) de [a, b] telle que f soit constante sur chaque intervalle
ouvert ]ai−1 , ai [, i = 1, ..., n. On dit que la subdivision σ est subordonnée (ou adaptée) à
la fonction en escalier f . On note E(a, b) : l’ensemble des fonctions en escalier sur [a, b].
Exemple 54
1. Si f est une fonction constant sur [a, b], alors f est en escalier sur [a, b].
2. La fonction partie entière est en escalier sur tout intervalle [a, b]. En effet, on prend
σ = (a0 , ..., an ) comme subdivision subordonnée, avec {a1 , ..., an } sont les entiers
strictement compris entre a et b.
83
,Remarque 15
1. Il est clair que si f ∈ E(a, b) est une fonction en escalier, et si σ est une subdivision
subordonnée à f , alors toute subdivision plus fine que σ est subordonnée à f .
2. Toute fonction en escalier sur [a, b] ne prend qu’un nombre fini de valeurs, donc elle
est bornée.
3. Si f, g ∈ E(a, b), alors toute combinaison linéaire de f et g, ainsi que le produit f g,
sont en escalier sur [a, b]. Si σ(resp.σ 0 ) est une subdivision subordonnée à f (resp.
g), alors il suffit de prendre une subdivision plus fine que σ et σ 0 . Il en résulte que
E(a, b) est une sous-algèbre de F([a, b], R).
Théorème 28 Soit f ∈ E(a, b) une fonction en escaliers sur [a, b] et soit σ = (a0 , ..., an ),
une subdivision de [a, b] subordonnée à f . On pose λi la valeur de f sur ]ai−1 , ai [, pour
i = 1, ..., n. Alors le réel
X n
I(f, σ) = (ai − ai−1 )λi ,
i=1
est indépendant de la subdivision de [a, b] subordonnée à f .
Preuve. Soit c ∈ [a, b] r {a0 , ..., an }. On suppose que c ∈]an−1 , an [, alors la nouvelle
subdivision σ 0 = (a0 , ..., an−1 , c, an ) = (a00 , ..., a0n+1 ) est aussi subordonnée à f (car f est
constante sur ]an−1 , an [, donc aussi sur ]an−1 , c[ et sur ]c, an [). Alors on a
n+1
X n−1
X n
X
(a0i − a0i−1 )λ0i = (ai − ai−1 )λi + [c − an−1 + an − c]λn = (ai − ai−1 )λi .
i=1 i=1 i=1
Si on prend maintenant deux subdivisions σ = (a0 , ..., an ) et σ 0 = (a00 , ..., a0n ) de [a, b]
subordonnée à f , alors la subdivision σ 00 = σ∨σ 0 est subordonnée à f . Donc par récurrence
sur le nombre de points rajoutés, on a I(f, σ) = I(f, σ 00 ) et I(f, σ 0 ) = I(f, σ 00 ), donc
I(f, σ) = I(f, σ 0 ).
Définition 40 Soit f ∈ E(a, b). On appelle intégrale de f sur [a, b] la valeur, commune
à toutes les subdivisions : σ = (a0 , ..., an ), de [a, b] subordonnée à f , du réel I(f, σ), qu’on
Z b Z
la note f (x)dx ou f.
a [a,b]
Propriétés 5 L’intégrale sur [a, b], définie sur E(a, b), a les propriétés suivantes :
Rb
1. Si f est constante sur [a, b], égale à c, alors a f (x)dx = (b − a)c.
2. Si f est nulle sur [a, b] sauf peut-être en un nombre fini de points de [a, b], alors
Rb
f ∈ E(a, b) et a f (x)dx = 0.
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, Rb
3. L’application f 7→ a f (x)dx est une forme linéaire de E(a, b).
Rb
4. ∀f ∈ E(a, b), f ≥ 0 ⇒ a f (x)dx ≥ 0 .
Rb Rb
5. ∀(f, g) ∈ E(a, b)2 , f ≥ g ⇒ a f (x)dx ≥ a g(x)dx .
Rb Rb
6. ∀f ∈ E(a, b), alors |f | ∈ E(a, b) et on a a
f (x)dx ≤ a
|f (x)|dx.
7. ∀f ∈ E(a, b), ∀c ∈]a, b[, on a la relation de chasles suivante :
Z b Z c Z b
f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx.
a a c
Preuve. 3. soient f, g ∈ E(a, b) et soit σ = (a0 , ..., an ), une subdivision de [a, b] subor-
donnée à f et g (toujours existe). Alors pour tout λ ∈ R, σ est subordonnée à λf + g. De
plus, si f = ci (resp. g = di ) sur ]ai−1 , ai [, alors
Z n
X n
X n
X Z Z
λf +g = (ai −ai−1 )(λci +di ) = (ai −ai−1 )λci + (ai −ai−1 )di = λ f+ g.
[a,b] i=1 i=1 i=1 [a,b] [a,b]
On va prouver 7. Soit f ∈ E(a, b) et σ une subdivision de [a, b] subordonnée à f . Alors
σ1 = σ ∪ {c} = (a0 , ..., an ) est aussi une subdivision de [a, b] subordonnée à f . Soit l’entier
0 < p < n tel que c = ap . Alors En introduisant c parmi les (n + 1)-points précédents, on
obtient deux subdivisions σ 0 = (a00 , ..., a0p ) = (a0 , ..., ap−1 , ap = c) et σ 00 = (a0p , ..., a0n+1 ) =
(c, ap+1 , ..., an ) de [a, c] et [c, b] respectivement subordonnée à f sur [a, c] et [c, b]. En
particulier, f|[a,c] ∈ E(a, c) et f|[c,b] ∈ E(c, b). Comme f reste constante sur tous les sous
intervalles obtenus, alors on a :
Z b n+1 p n+1 Z c Z c
X X X
0 0 0 0 0 0
f (x)dx = (ai −ai−1 )λi = (ai −ai−1 )λi + (ai −ai−1 )λi = f (x)dx+ f (x)dx.
a i=1 i=1 i=p+1 a b
7.2 Fonctions continues par morceaux
Définition 41 Soit f une fonction définie sur le segment [a, b], à valeurs dans R. On dit
que f est continue par morceaux sur [a, b] s’il existe une subdivision σ = (a0 , ..., an ) de
[a, b] telle que, pour tout i = 1, ..., n :
1. la restriction fi de f à chaque intervalle ouvert ]ai−1 , ai [ est continue.
2. cette restriction fi admette des limites finies aux points ai−1 et ai .
85
, Une telle subdivision est dite subordonnée à la fonction continue par morceaux f . On
note Cpm (a, b) l’ensemble des fonctions continues par morceaux sur [a, b] qui est un espace
vectoriel sur R.
Remarque 16 D’après la définition f ∈ Cpm (a, b) si et seulement s’il existe une subdivi-
sion σ = (a0 , ..., an ) de [a, b] telle que, pour tout i = 1, ..., n la restriction fi = f|]ai−1 ,ai [ se
prolonge par continuité sur [ai−1 , ai ].
Exemple 55
1. Toute fonction en escalier est une fonction continue par morceaux.
2. Toute fonction continue est une fonction continue par morceaux.
1
3. Soit f : [−1, 1] −→ R définie par f (x) = e x si x 6= 0 et f (0) = 0. Comme f admet
une limite infinie à droite de 0 alors f 6∈ Cpm (−1, 1).
7.2.1 Intégrale des fonctions continues par morceaux
Théorème 29 Soit f ∈ Cpm (a, b). Pour tout réel ε > 0, il existe (ϕ, ψ) ∈ E(a, b)2 tel que
ϕ≤f ≤ψ et ψ − ϕ ≤ ε.
: Soit f ∈ Cpm (a, b). On pose :
Z b Z b
− +
I (f ) = ϕ(x)dx, ϕ ∈ E(a, b), ϕ ≤ f et I (f ) = ψ(x)dx, ψ ∈ E(a, b), ψ ≥ f .
a a
Alors I − (f ) et I + (f ) admettent respectivement une borne supérieure et une borne inférieure
et ces bornes sont égales. On appelle cette borne commune l’intégrale de f sur [a, b]
Rb R
et on la note a f (x)dx ou [a,b] f . Preuve. D’après le théorème précédent il existe
(ϕ1 , ψ1 ) ∈ E(a, b)2 tel que
ϕ1 ≤ f ≤ ψ1 et ψ1 − ϕ1 ≤ 1.
En particulier on a I − (f ) et I + (f ) sont non vides. D’autre part, ∀ϕ ∈ E(a, b), ϕ ≤ f
Rb Rb
implique ϕ ≤ ψ1 , et alors on a a ϕ(x)dx ≤ a ψ1 (x)dx. Donc I − (f ) est majorée par
Rb
ψ (x)dx, et admet donc une borne supérieure : M = sup (I − (f )). Même raisonnement,
a 1 Rb
I + (f ) est minorée par a ϕ1 (x)dx , et admet une borne inférieure : m = inf (I + (f )).
Rb
Comme de plus, pour tout (ϕ, ψ) ∈ E(a, b)2 , telles que : ϕ ≤ f ≤ ψ, on a a ϕ(x)dx ≤
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