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Analyse 1
C HAPITRE 1

L ES FONCTIONS USUELLES




Sommaire
1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.2 Fonctions logarithmes, exponentielles et puissances . . . . . . . . . . . 77
1.2.1 Fonction logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.2.2 Fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1.2.3 Fonctions puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.3 Fonctions circulaires (ou trigonométriques) . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
1.4 Fonctions circulaires inverses (ou réciproques) . . . . . . . . . . . . . . . 82
1.4.1 Fonction arccosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
1.4.2 Fonction arcsinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.4.3 Fonction arctangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
1.5 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1.6 Fonctions hyperboliques réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.6.1 Fonction argument sinus hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.6.2 Fonction argument cosinus hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.6.3 Fonction argument tangente hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . 87



1.1 ) Rappels

Définition 1.1.1. (Fonction constante)
Une fonction constante est une fonction qui ne prend qu’une seule valeur, indépendamment
de sa variable ( pour tout x ∈ R on a f (x) = k, où k est un nombre réel).

Théorème 1.1.1.
Soit f : I → R une fonction dérivable sur un intervalle I ⊂ R.
La fonction f est constante si et seulement si pour tout x ∈ I, f 0 (x) = 0.

Théorème 1.1.2. (Théorème de la bijection)
Soit une fonction f : I → R. On suppose que la fonction f est continue et strictement monotone

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, CHAPITRE 1. LES FONCTIONS USUELLES
SECTION 1.1. RAPPELS


sur I. Alors f réalise une bijection de l’intervalle I vers l’intervalle J = f (I), et sa bijection
réciproque f −1 : J → I est une fonction continue strictement monotone de même sens que f .

Théorème 1.1.3. (Dérivation de la bijection réciproque)
Soit une fonction f : I → R et un point x0 ∈ I. On suppose que :

• f est strictement monotone sur l’intervalle I,

• f est dérivable au point x0 ,

• f 0 (x0 ) 6= 0.

Alors, la fonction f −1 est dérivable au point y0 = f (x0 ) et

1 1
(f −1 )0 (y0 ) = = .
f 0 (x 0) f 0 (f −1 (y0 ))

On en déduit que si

• f : I → R est strictement monotone sur l’intervalle I,

• f est dérivable sur l’intervalle I.

• pour tout x ∈ I, f 0 (x) 6= 0.

alors la fonction f −1 est dérivable sur l’intervalle f (I) et

1
(f −1 )0 =
f0 ◦ f −1

√ x3
Exemple. On considère la fonction f définie sur I = [0, 2[ par x 7→ f (x) = .
4 − x4
• La fonction est continue sur I.
• La fonction f est strictement croissante comme produit de deux fonctions strictement crois-
santes positives. Alors, f admet une fonction réciproque, notée f −1 définie sur J = f (I) =
√
f ([0, 2[) = [0, +∞[.
De plus f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables et

x2 (12 + x4 )
f 0 (x) = , x ∈ I.
(4 − x2 )2
D’après le théorème des fonctions réciproques, la fonction est dérivable en tout point image
d’un x tel que f 0 (x) 6= 0. Mais on a : f 0 (x) = 0 ⇔ x = 0 donc f −1 est dérivable sur ]0, +∞[
1
et pour tout y ∈]0, +∞[, on a : (f −1 )0 (y) = 0 −1
f (f (y))
Donc f −1 est dérivable sur ]0, +∞[.

Définition 1.1.2. Soit f : I ⊂ R → R une fonction. On dit que f est :

• de classe C 1 sur I si f est dérivable sur I, et f 0 est continue sur I.


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