C HAPITRE 3
P RIMITIVES ET INTÉGRALES
Sommaire
3.1 Primitives d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 Intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.1 Pour des fonctions à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.2 Pour des fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Méthodes d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3.1 Intégration directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3.3 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3.4 Intégration d’une fraction rationnelle (Intégration d’un élément simple
de première espèce) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3.5 Intégration des fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4 Intégrale et aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Dans tout le chapitre, I désigne un intervalle ouvert non vide de R et f : I → R une
fonction.
3.1 ) Primitives d’une fonction
Définition 3.1.1. Une fonction F est une primitive de f sur I, si et seulement si, elle est
dérivable sur I et pour tout x de I, F 0 (x) = f (x).
Exemples.
1) La fonction f : x 7→ 4x3 + 2x2 + x + 1 admet pour primitive sur R la fonction F : x 7→
x4 + 32 x3 + 12 x2 + x pour primitive sur R, en effet F 0 (x) = 4x3 + 2x2 + x + 1 = f (x).
2) La fonction x 7→ sin(x) est une primitive de la fonction x 7→ cos(x) sur R.
Théorème 3.1.1. Toute fonction continue sur I admet des primitives sur I.
12
, CHAPITRE 3. PRIMITIVES ET INTÉGRALES
SECTION 3.1. PRIMITIVES D’UNE FONCTION
Théorème 3.1.2. Soit f une fonction continue sur I et F une primitive de f sur I. Toute
primitive de f sur I est de la forme G : x 7→ F (x) + c où c est une constante réelle.
Z
Notation. On note f (x) dx, l’ensemble de toutes les primitives de f sur l’intervalle I. Donc,
si F est une primitive de f sur I :
Z n o
f (x) dx = x →
7 F (x) + k | k ∈ R .
Théorème 3.1.3. Soient f une fonction continue sur un I, x0 ∈ I et y0 ∈ R. Alors, il existe
une primitive F de f , et une seule, telle que F (x0 ) = y0 .
Exemple. Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = cos(x) + 3x2 + 1.
Déterminer la primitive F de f sur R qui s’annule en 0.
L’ensemble des primitives de f sur R sont les fonctions
F (x) = sin(x) + x3 + x + c avec c ∈ R.
La condition F (0) = 0 impose c = 0.
Donc, la primitive de f qui s’annule pour x = 0 est la fonction sin(x) + x3 + x.
Propriétés 3.1.1. Soient f, g : I → R deux fonctions continues et α ∈ R. On a :
Z Z Z
(αf + g)(x)dx = α f (x)dx + g(x)dx (linéarité)
Tableau des primitives des fonctions usuelles
Fonction f Primitive F de f (c ∈ R) Domaine de validité
0 ( fonction nulle) c R
a où a ∈ R ax + c R
xn+1
x n , n ∈ N∗ n+1
+c R
1 −1
x2 x
+
c ]0, +∞[ ou ] − ∞, 0[
√
√1 2 x+c ]0, +∞[
x
sin(x) − cos(x) + c R
cos(x) sin(x) + c R
1 π π
1 + tan2 (x) = cos2 (x)
tan(x) + c ]− 2
+ nπ, 2
+ nπ[, n ∈ N
ex ex +c R
sh(x) ch(x) + c R
ch(x) sh(x) + c R
√ 1
arcsin(x) + c ] − 1, 1[
1−x2
√−1 arccos +c ] − 1, 1[
1−x2
1
1+x2
arctan(x) + c R
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3.1 Primitives d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 Intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.1 Pour des fonctions à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.2 Pour des fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3 Méthodes d’intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3.1 Intégration directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3.3 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3.4 Intégration d’une fraction rationnelle (Intégration d’un élément simple
de première espèce) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3.5 Intégration des fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4 Intégrale et aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Dans tout le chapitre, I désigne un intervalle ouvert non vide de R et f : I → R une
fonction.
3.1 ) Primitives d’une fonction
Définition 3.1.1. Une fonction F est une primitive de f sur I, si et seulement si, elle est
dérivable sur I et pour tout x de I, F 0 (x) = f (x).
Exemples.
1) La fonction f : x 7→ 4x3 + 2x2 + x + 1 admet pour primitive sur R la fonction F : x 7→
x4 + 32 x3 + 12 x2 + x pour primitive sur R, en effet F 0 (x) = 4x3 + 2x2 + x + 1 = f (x).
2) La fonction x 7→ sin(x) est une primitive de la fonction x 7→ cos(x) sur R.
Théorème 3.1.1. Toute fonction continue sur I admet des primitives sur I.
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, CHAPITRE 3. PRIMITIVES ET INTÉGRALES
SECTION 3.1. PRIMITIVES D’UNE FONCTION
Théorème 3.1.2. Soit f une fonction continue sur I et F une primitive de f sur I. Toute
primitive de f sur I est de la forme G : x 7→ F (x) + c où c est une constante réelle.
Z
Notation. On note f (x) dx, l’ensemble de toutes les primitives de f sur l’intervalle I. Donc,
si F est une primitive de f sur I :
Z n o
f (x) dx = x →
7 F (x) + k | k ∈ R .
Théorème 3.1.3. Soient f une fonction continue sur un I, x0 ∈ I et y0 ∈ R. Alors, il existe
une primitive F de f , et une seule, telle que F (x0 ) = y0 .
Exemple. Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = cos(x) + 3x2 + 1.
Déterminer la primitive F de f sur R qui s’annule en 0.
L’ensemble des primitives de f sur R sont les fonctions
F (x) = sin(x) + x3 + x + c avec c ∈ R.
La condition F (0) = 0 impose c = 0.
Donc, la primitive de f qui s’annule pour x = 0 est la fonction sin(x) + x3 + x.
Propriétés 3.1.1. Soient f, g : I → R deux fonctions continues et α ∈ R. On a :
Z Z Z
(αf + g)(x)dx = α f (x)dx + g(x)dx (linéarité)
Tableau des primitives des fonctions usuelles
Fonction f Primitive F de f (c ∈ R) Domaine de validité
0 ( fonction nulle) c R
a où a ∈ R ax + c R
xn+1
x n , n ∈ N∗ n+1
+c R
1 −1
x2 x
+
c ]0, +∞[ ou ] − ∞, 0[
√
√1 2 x+c ]0, +∞[
x
sin(x) − cos(x) + c R
cos(x) sin(x) + c R
1 π π
1 + tan2 (x) = cos2 (x)
tan(x) + c ]− 2
+ nπ, 2
+ nπ[, n ∈ N
ex ex +c R
sh(x) ch(x) + c R
ch(x) sh(x) + c R
√ 1
arcsin(x) + c ] − 1, 1[
1−x2
√−1 arccos +c ] − 1, 1[
1−x2
1
1+x2
arctan(x) + c R
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