oben 54
I 0 .
& /a .
6 => und dann wie
38 41 , 51 53
/ab
-
-
#0 oder
So
oder 18
eb (n (d) limes ausklamern
ab
.
-> =
e aus
(as)]
In
[efest
Lim .
und danach wie wei I
Ps
. .
(n(1) ist &
#c -
c(a -
6 =
E
In 100) as Invol -
co
Konvergenz bei Reihen
&free
Diffbarkeit einer Funktion
al
L n
I Bekannte Reihe ? O
·
Diff' bar :
man kann eine
Tangente
·
Geometrische Reihe
Aberall eindeutig anlegen und sie
ist nicht Senkreckt .
laufparameter k keine Tangenter
Earn
↳
senkrachte
-
*
1
191
↓
O =
1 q kommt oben im ->
3sp nicht diff'bar
q :
-
nur von
n =
D [div sonst
Exponent vor (In ,
In ,
-3n geht arch) ~
Diff'bar , Stetig
·
Harmonische Reihe
61 62
->
Kompl Zahlen geht auch
-
.
s ". solunge realteil 1
>
Zwischenwertsatz
n
· Eulerische Zahl
injektiv nicht injektiv
e= ! Konvargiert gegen ex
surjek- 1 :p :R
↑ Wire
Zwischenwertsatz 62
Wwi !
f
fiv
D() RLE1 :
1] Ist f [a , 6] - nimmt
Reihe-Nullfolge ? stetig so
, :
I Unbekannte ,
-
↑ (x) jeden Wert zwischen fla) und
↑
-
- ~ fa 1 x6] v(x) f(6) an
Lim
? -
.
E 1 nicht ID : /R
Wit
=
an = n ↑
as meta vix
Uwi
n
surjek-
-
u =
& R
vi)
&
falls nein -
divergent
tiv
-
- - odeshall
01) -
ist
setig
falls ja weitergucken
-
Nullfolge -e
54
61-62
# Unbekannte Reite ist
5 53
Nullfolge -
Konvergenzkritrien
Vorgehen ?
-
D .
I
Majoranten -
Minorantankritarium
Grossenordnung Majoranlenkriterium 3 sp Asymptotik
57/66
bu
Wachst
schneller wir wissen dass konw
->
an ist unsere folge & ,
.
f(x)
=
x + ODD Ste Binomische Formel
-
g(x) hat grossere E R falls &
=19uOnd . h . San Konvergiert g(x) =
x
lim
x+000-
I ) (wood-I E
Speziallfall- Grossenordnung I ↑ g(x) f(x) ? (po +
genf(x)
A
M inorantenkriterium x-
-
(falls A =
0 wachst schneller
=Ov
& wir wissen dass budiv
D
an ist unsere
Folge
-
, .
# X
-
falls Jn h divergent
nicht impliziert durch : !! oder durch :
f =
g
ur eine
& = d an
Genereke fall s e = an . .
WAS SCHNELLER WACHST : mier konnen sie auch
↳ ab einem bestimmten
mit : In
n
* Gilt nur bei
gebrochen-rationalen Ekt .
(nicht :
sin , cos ...
)
gete Quotientenkriterium
geinsched gegen e
·
gut
/Entertime weitergehen
1 Exponentiell X g(x) -
f(x) =
> x(f(x) -
g(x)) =
0
Polynomiel x R = Funktionen 54 -
62/65 -
66 besten Nenners vo n f(x) durch
2
C
Am Polycomendiv .
des
wie ober
f(x) resultat mit
Inx zanter von und danach das gax)
3
Logarithmisch wobei es auch so mit der
Wurzelkriterium vergleichen
4 Konst C
Konstante aussehen darf :
·
3sp : cos(x) , x2 x"5
f(x) ist unsere funktion -o
vergleich mit
g(x)
0000 (x)"0000 konv Polynome?
/x I
.
(n ,
= "Fakl'2
=>
div die Reihe ·
falls zahlergrad-neunergrad von f(x) = z
g--n g vong(X)
.
.
.
↑
.
weitergehen
Aussage
↳ Voraussetzung schneller
1 keine Wachst
=
↳> die
asymptotisch
-
sp.: sin() , x x tank) nicht
, ,
Leibnizkriterium falls alternierendes Glied
· ->
:
Punktsymmetrisch zum
· Danach
folgende Operationen mit f(x) durchfuhren :
end/skigend)
Jet been steige Ursprung!
& jej Ursprung-- durch die
x-achse Asymptote
mess ist
-
· zG =
NG -
ger(ger)
need
->
n D
ger unger zG NG Horizontale Linie X-Achse
=
- -
parallel zy
=
x(u(x) (n(x) < x
lunger)- ger ger wobein eine Konstante & =D
xi
=
x an = Ant An = An+1 P Konv ger -> X
- = n
xx
=
= .
A
C =(n(x) ↑ I
sonst keine
=>
Teile Zahler und Nenner durch x"(n= hochster exp
Aussage weitergehen
:
(n
Loga Polynomiel x
-
-
zG grosse Faxen
· =
NG -
I
-
- > mache polynomen dir vom Zahler durch den Nenner :
Worgehen
.
bei Grossenordnung: 2
f(x)= anstalt der
P roduktzeichen :
Summe der
das Produkt SPEZIALFALL
zwischenglieder nehmen zG NG 1(ZG -NG 1)
:
wir
·
=
+
=
falls : * de ex schneller wachst =
fixed i
Gedanken berf(x) :
Geder f(x) =
2018
i
k =
1
Inle +
x) is *
er =
xaca
· BEI
=>
POLSTELLEN
Nullstellen
:
des
vertikale
Nenners
Asymptoten
, x
=
r .
cos4
X
=
r -
sing
etie= cost I isine
-
PLARFORM
weit=
(cos4+ isi
-
NORMALFORM
(e(n(x)(n(x) =
x(n(x)
z
yi
=
x +
ie
Euler : z = V .
2
A
~Im
r =
12) =
xxy -
(E)
r
y =
arctan -
I
Re
Wurzehziehen :
S . 18
Zah
derKomplexen
w
H -te wurzel
r
W
=
z - w
ei 2k)
-
+
z =
r . eit D z =
Pr
- -
, k =
0, 1
, ...,
n -
1
falls gerade n
komplexe Punkte
:
~
Lineare
falls ungerade :
-Komplex Konjugierte Punkte Ersatzfunkt . I
· reeller PunkI
- " =
r
Z
P
Pw
4z
Gleiche Steigung im
gleichen
Punkt
=
n
B eruhren sich im Punkt wo
herrscht
gleiche Steigung
18 -
16 · arctan
-> eindimensionale Fkt
rotation
.
·
-
·
Komplexe Zahl : - =
4Iπ
·
Komplexe Nullstellen
wiefestsind wirdaneben
wenn vir e
~ ,
· x ist sehr Klein und wir dirfen diese Lineare
approximation
senutregung
wie
↑
z .
E =
a 62
=
(z)2 sagt uns gross der
Fehler ist
+
3
- t -dxI
Absuter Fehler
wirvermen um ~ df =
1f
meet is - !)= (t)
1x
=
her heraws =
xx
refer ③ rechnete Grosse
zS= i a
·
Zo eine
Lsung der Gleichung
==
8 a ·
z
. multiplikation mit einer reellen Konstant
· -
E: spiegclung an der Im (akax) Achse da :
a k 0 =
zo
=
a + i6 E =
a -
ib -
E =
-
a + it
expli) Komplexen Zahl
~
n
einer
.
z Rotation
w
-
exp(i) =
expli E)) +
falls exp mit einer Konstante kommt wird
entsprechend gestaucht/gestreckt 1
↓ zustzlich
der X-Achse Ax
Quadranten
I
·
E Spiegelung an
Ax
21
&
Grad des Polynoms ↳
it E a
3
:
d h p(zi) 0 dann pl-zi) (aka p(Ei)) &
=
=
wenn
f(x) f(x)
,
f(x) f(x)
. .
= 3 =
0 & Sattelpunkt ist ein
Wendepunkt
1 reelle
=
Falls Ungerade gibt es mindestens
ns
d h
e
...
&
neg Werte Nullstellen pos Werte
.
.
.
bei dem
fix) 0 is
.
p(z) (z )(z z) (z zn)
=
=
- - -
... -
f((x)f(x) 0 f((x) 0 f(x) =
&
*
=
Aufgaben
=
~ Bei solchen
sind Nullstelleni E IO , nS Wachsende
~Normal" Spiegelung an x-Achse z mon Fallende Grinsmay
Extrema mon
:
.
wichtig Randpunkte
.
ganz
.
Werte werte pos
Sattelpunkt
->
neg
.
. +
-
-
eie -
in ·
-
sp :
falls 1 eine NS ist(z =
1 +
ei) dann ist ein zi =
1 und somit
Steigung Steig ung
z r
E r e = betrachten
=
zu
=
.
.
p(1) =
&
f"(x) 0 f"(X)
cos(e) +irsine) cos(Y)-i sincel f"(x) f "(x) =
0 0
*
E
=
r
=
z
epunkt
=
r r
=
. - .
1)(z-c12)
-
falls 1 eine doppelte NS ist dann sind zwei zi =
, Konkav Wendepunkt
Konvex
it E ibweil
sinbergerade
·
z a a
i
+
=
-
(wenn auch
=
-
und p(1) =
0 i f(x) =
0 dann
Spiegelung an der Y-Achse" cos(-4) cos(4) eine 1i) ist ein i und Rechts- Sattelpunkt) meg .
Linksk-
Lokales Extremum
falls
:
NS 0 dann
=
ist(z z : ein pos
·. = = .
Krimmung
· +
Sin (-4)=-sin(t) krummung Isteigung Konst)
(E) ib p(il
zi=- i und somit 0 & pl-i) &
=
a Gerade
= =
Fkt
- +
-
:
I 0 .
& /a .
6 => und dann wie
38 41 , 51 53
/ab
-
-
#0 oder
So
oder 18
eb (n (d) limes ausklamern
ab
.
-> =
e aus
(as)]
In
[efest
Lim .
und danach wie wei I
Ps
. .
(n(1) ist &
#c -
c(a -
6 =
E
In 100) as Invol -
co
Konvergenz bei Reihen
&free
Diffbarkeit einer Funktion
al
L n
I Bekannte Reihe ? O
·
Diff' bar :
man kann eine
Tangente
·
Geometrische Reihe
Aberall eindeutig anlegen und sie
ist nicht Senkreckt .
laufparameter k keine Tangenter
Earn
↳
senkrachte
-
*
1
191
↓
O =
1 q kommt oben im ->
3sp nicht diff'bar
q :
-
nur von
n =
D [div sonst
Exponent vor (In ,
In ,
-3n geht arch) ~
Diff'bar , Stetig
·
Harmonische Reihe
61 62
->
Kompl Zahlen geht auch
-
.
s ". solunge realteil 1
>
Zwischenwertsatz
n
· Eulerische Zahl
injektiv nicht injektiv
e= ! Konvargiert gegen ex
surjek- 1 :p :R
↑ Wire
Zwischenwertsatz 62
Wwi !
f
fiv
D() RLE1 :
1] Ist f [a , 6] - nimmt
Reihe-Nullfolge ? stetig so
, :
I Unbekannte ,
-
↑ (x) jeden Wert zwischen fla) und
↑
-
- ~ fa 1 x6] v(x) f(6) an
Lim
? -
.
E 1 nicht ID : /R
Wit
=
an = n ↑
as meta vix
Uwi
n
surjek-
-
u =
& R
vi)
&
falls nein -
divergent
tiv
-
- - odeshall
01) -
ist
setig
falls ja weitergucken
-
Nullfolge -e
54
61-62
# Unbekannte Reite ist
5 53
Nullfolge -
Konvergenzkritrien
Vorgehen ?
-
D .
I
Majoranten -
Minorantankritarium
Grossenordnung Majoranlenkriterium 3 sp Asymptotik
57/66
bu
Wachst
schneller wir wissen dass konw
->
an ist unsere folge & ,
.
f(x)
=
x + ODD Ste Binomische Formel
-
g(x) hat grossere E R falls &
=19uOnd . h . San Konvergiert g(x) =
x
lim
x+000-
I ) (wood-I E
Speziallfall- Grossenordnung I ↑ g(x) f(x) ? (po +
genf(x)
A
M inorantenkriterium x-
-
(falls A =
0 wachst schneller
=Ov
& wir wissen dass budiv
D
an ist unsere
Folge
-
, .
# X
-
falls Jn h divergent
nicht impliziert durch : !! oder durch :
f =
g
ur eine
& = d an
Genereke fall s e = an . .
WAS SCHNELLER WACHST : mier konnen sie auch
↳ ab einem bestimmten
mit : In
n
* Gilt nur bei
gebrochen-rationalen Ekt .
(nicht :
sin , cos ...
)
gete Quotientenkriterium
geinsched gegen e
·
gut
/Entertime weitergehen
1 Exponentiell X g(x) -
f(x) =
> x(f(x) -
g(x)) =
0
Polynomiel x R = Funktionen 54 -
62/65 -
66 besten Nenners vo n f(x) durch
2
C
Am Polycomendiv .
des
wie ober
f(x) resultat mit
Inx zanter von und danach das gax)
3
Logarithmisch wobei es auch so mit der
Wurzelkriterium vergleichen
4 Konst C
Konstante aussehen darf :
·
3sp : cos(x) , x2 x"5
f(x) ist unsere funktion -o
vergleich mit
g(x)
0000 (x)"0000 konv Polynome?
/x I
.
(n ,
= "Fakl'2
=>
div die Reihe ·
falls zahlergrad-neunergrad von f(x) = z
g--n g vong(X)
.
.
.
↑
.
weitergehen
Aussage
↳ Voraussetzung schneller
1 keine Wachst
=
↳> die
asymptotisch
-
sp.: sin() , x x tank) nicht
, ,
Leibnizkriterium falls alternierendes Glied
· ->
:
Punktsymmetrisch zum
· Danach
folgende Operationen mit f(x) durchfuhren :
end/skigend)
Jet been steige Ursprung!
& jej Ursprung-- durch die
x-achse Asymptote
mess ist
-
· zG =
NG -
ger(ger)
need
->
n D
ger unger zG NG Horizontale Linie X-Achse
=
- -
parallel zy
=
x(u(x) (n(x) < x
lunger)- ger ger wobein eine Konstante & =D
xi
=
x an = Ant An = An+1 P Konv ger -> X
- = n
xx
=
= .
A
C =(n(x) ↑ I
sonst keine
=>
Teile Zahler und Nenner durch x"(n= hochster exp
Aussage weitergehen
:
(n
Loga Polynomiel x
-
-
zG grosse Faxen
· =
NG -
I
-
- > mache polynomen dir vom Zahler durch den Nenner :
Worgehen
.
bei Grossenordnung: 2
f(x)= anstalt der
P roduktzeichen :
Summe der
das Produkt SPEZIALFALL
zwischenglieder nehmen zG NG 1(ZG -NG 1)
:
wir
·
=
+
=
falls : * de ex schneller wachst =
fixed i
Gedanken berf(x) :
Geder f(x) =
2018
i
k =
1
Inle +
x) is *
er =
xaca
· BEI
=>
POLSTELLEN
Nullstellen
:
des
vertikale
Nenners
Asymptoten
, x
=
r .
cos4
X
=
r -
sing
etie= cost I isine
-
PLARFORM
weit=
(cos4+ isi
-
NORMALFORM
(e(n(x)(n(x) =
x(n(x)
z
yi
=
x +
ie
Euler : z = V .
2
A
~Im
r =
12) =
xxy -
(E)
r
y =
arctan -
I
Re
Wurzehziehen :
S . 18
Zah
derKomplexen
w
H -te wurzel
r
W
=
z - w
ei 2k)
-
+
z =
r . eit D z =
Pr
- -
, k =
0, 1
, ...,
n -
1
falls gerade n
komplexe Punkte
:
~
Lineare
falls ungerade :
-Komplex Konjugierte Punkte Ersatzfunkt . I
· reeller PunkI
- " =
r
Z
P
Pw
4z
Gleiche Steigung im
gleichen
Punkt
=
n
B eruhren sich im Punkt wo
herrscht
gleiche Steigung
18 -
16 · arctan
-> eindimensionale Fkt
rotation
.
·
-
·
Komplexe Zahl : - =
4Iπ
·
Komplexe Nullstellen
wiefestsind wirdaneben
wenn vir e
~ ,
· x ist sehr Klein und wir dirfen diese Lineare
approximation
senutregung
wie
↑
z .
E =
a 62
=
(z)2 sagt uns gross der
Fehler ist
+
3
- t -dxI
Absuter Fehler
wirvermen um ~ df =
1f
meet is - !)= (t)
1x
=
her heraws =
xx
refer ③ rechnete Grosse
zS= i a
·
Zo eine
Lsung der Gleichung
==
8 a ·
z
. multiplikation mit einer reellen Konstant
· -
E: spiegclung an der Im (akax) Achse da :
a k 0 =
zo
=
a + i6 E =
a -
ib -
E =
-
a + it
expli) Komplexen Zahl
~
n
einer
.
z Rotation
w
-
exp(i) =
expli E)) +
falls exp mit einer Konstante kommt wird
entsprechend gestaucht/gestreckt 1
↓ zustzlich
der X-Achse Ax
Quadranten
I
·
E Spiegelung an
Ax
21
&
Grad des Polynoms ↳
it E a
3
:
d h p(zi) 0 dann pl-zi) (aka p(Ei)) &
=
=
wenn
f(x) f(x)
,
f(x) f(x)
. .
= 3 =
0 & Sattelpunkt ist ein
Wendepunkt
1 reelle
=
Falls Ungerade gibt es mindestens
ns
d h
e
...
&
neg Werte Nullstellen pos Werte
.
.
.
bei dem
fix) 0 is
.
p(z) (z )(z z) (z zn)
=
=
- - -
... -
f((x)f(x) 0 f((x) 0 f(x) =
&
*
=
Aufgaben
=
~ Bei solchen
sind Nullstelleni E IO , nS Wachsende
~Normal" Spiegelung an x-Achse z mon Fallende Grinsmay
Extrema mon
:
.
wichtig Randpunkte
.
ganz
.
Werte werte pos
Sattelpunkt
->
neg
.
. +
-
-
eie -
in ·
-
sp :
falls 1 eine NS ist(z =
1 +
ei) dann ist ein zi =
1 und somit
Steigung Steig ung
z r
E r e = betrachten
=
zu
=
.
.
p(1) =
&
f"(x) 0 f"(X)
cos(e) +irsine) cos(Y)-i sincel f"(x) f "(x) =
0 0
*
E
=
r
=
z
epunkt
=
r r
=
. - .
1)(z-c12)
-
falls 1 eine doppelte NS ist dann sind zwei zi =
, Konkav Wendepunkt
Konvex
it E ibweil
sinbergerade
·
z a a
i
+
=
-
(wenn auch
=
-
und p(1) =
0 i f(x) =
0 dann
Spiegelung an der Y-Achse" cos(-4) cos(4) eine 1i) ist ein i und Rechts- Sattelpunkt) meg .
Linksk-
Lokales Extremum
falls
:
NS 0 dann
=
ist(z z : ein pos
·. = = .
Krimmung
· +
Sin (-4)=-sin(t) krummung Isteigung Konst)
(E) ib p(il
zi=- i und somit 0 & pl-i) &
=
a Gerade
= =
Fkt
- +
-
:
