Tichicht Mohamed Lycée Salmane Elfarissi-Temara 1BAC SE BIOF2
Dérivation et étude des fonctions
Résumé de cours – 2BAC Sciences Physiques et SVT
Adapté au programme 1BAC SE BIOF2
Rédigé par : Tichicht Mohamed | Lycée Salmane Elfarissi | 2025/2026
Dérivabilité en un point
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I. On dit que f est dérivable en a
si la limite suivante existe et est finie :
f (x) − f (a)
lim = ℓ ∈ R.
x→a x−a
Le nombre ℓ est appelé nombre dérivé de f en a et noté f ′ (a).
Dérivabilité à droite – Dérivabilité à gauche
Propriété
f (x) − f (a)
— f est dérivable à droite en a si x→a
lim = ℓd ∈ R. On note fd′ (a) = ℓd .
x>a
x−a
f (x) − f (a)
— f est dérivable à gauche en a si x→a
lim = ℓg ∈ R. On note fg′ (a) = ℓg .
x<a
x−a
Propriété
f est dérivable en a si et seulement si f est dérivable à droite et à gauche en a et
fd′ (a) = fg′ (a).
Interprétation géométrique – Tangente
Propriété
Si f est dérivable en a, alors la courbe (Cf ) admet une tangente au point A(a, f (a))
d’équation :
y = f ′ (a)(x − a) + f (a).
La fonction affine x 7→ f ′ (a)(x − a) + f (a) est appelée fonction affine tangente à f en
a.
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, Tichicht Mohamed Lycée Salmane Elfarissi-Temara 1BAC SE BIOF2
Tableau récapitulatif – Dérivabilité
Limite Interprétation géométrique Exemple graphique
f (x) − f (a)
lim = ℓ ∈ R∗ (Cf ) admet une tangente de pente ℓ
x→a x−a
f (x) − f (a)
lim =0 Tangente horizontale
x→a x−a
Demi-tangentes (dérivabilité à gauche/droite)
Demi-tangentes
Limite Interprétation Équation
(
f (x) − f (a) y = ℓ (x − a) + f
lim = ℓ ∈ R∗ (Cf ) admet une demi-tangente à droite (pente ℓ)
x→a
x>a
x−a x≥a
(
f (x) − f (a) y = f (a)
lim =0 (Cf ) admet une demi-tangente horizontale à droite
x→a
x>a
x−a x≥a
(
f (x) − f (a) y = ℓ (x − a) + f
lim = ℓ ∈ R∗ (Cf ) admet une demi-tangente à gauche (pente ℓ)
x→a
x<a
x−a x≤a
(
f (x) − f (a) y = f (a)
lim =0 (Cf ) admet une demi-tangente horizontale à gauche
x→a
x<a
x−a x≤a
Cas où f n’est pas dérivable en a
Remarque
Point anguleux : si f est dérivable à droite et à gauche en a mais fd′ (a) ̸= fg′ (a),
alors (Cf ) admet deux demi-tangentes distinctes. Le point A(a, f (a)) est appelé point
anguleux.
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Dérivation et étude des fonctions
Résumé de cours – 2BAC Sciences Physiques et SVT
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Dérivabilité en un point
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I. On dit que f est dérivable en a
si la limite suivante existe et est finie :
f (x) − f (a)
lim = ℓ ∈ R.
x→a x−a
Le nombre ℓ est appelé nombre dérivé de f en a et noté f ′ (a).
Dérivabilité à droite – Dérivabilité à gauche
Propriété
f (x) − f (a)
— f est dérivable à droite en a si x→a
lim = ℓd ∈ R. On note fd′ (a) = ℓd .
x>a
x−a
f (x) − f (a)
— f est dérivable à gauche en a si x→a
lim = ℓg ∈ R. On note fg′ (a) = ℓg .
x<a
x−a
Propriété
f est dérivable en a si et seulement si f est dérivable à droite et à gauche en a et
fd′ (a) = fg′ (a).
Interprétation géométrique – Tangente
Propriété
Si f est dérivable en a, alors la courbe (Cf ) admet une tangente au point A(a, f (a))
d’équation :
y = f ′ (a)(x − a) + f (a).
La fonction affine x 7→ f ′ (a)(x − a) + f (a) est appelée fonction affine tangente à f en
a.
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Tableau récapitulatif – Dérivabilité
Limite Interprétation géométrique Exemple graphique
f (x) − f (a)
lim = ℓ ∈ R∗ (Cf ) admet une tangente de pente ℓ
x→a x−a
f (x) − f (a)
lim =0 Tangente horizontale
x→a x−a
Demi-tangentes (dérivabilité à gauche/droite)
Demi-tangentes
Limite Interprétation Équation
(
f (x) − f (a) y = ℓ (x − a) + f
lim = ℓ ∈ R∗ (Cf ) admet une demi-tangente à droite (pente ℓ)
x→a
x>a
x−a x≥a
(
f (x) − f (a) y = f (a)
lim =0 (Cf ) admet une demi-tangente horizontale à droite
x→a
x>a
x−a x≥a
(
f (x) − f (a) y = ℓ (x − a) + f
lim = ℓ ∈ R∗ (Cf ) admet une demi-tangente à gauche (pente ℓ)
x→a
x<a
x−a x≤a
(
f (x) − f (a) y = f (a)
lim =0 (Cf ) admet une demi-tangente horizontale à gauche
x→a
x<a
x−a x≤a
Cas où f n’est pas dérivable en a
Remarque
Point anguleux : si f est dérivable à droite et à gauche en a mais fd′ (a) ̸= fg′ (a),
alors (Cf ) admet deux demi-tangentes distinctes. Le point A(a, f (a)) est appelé point
anguleux.
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