Stösse Quader parallel zu c: I = 1
12
m(a2 +b2 )
Übergreifende Formeln Kinematik Inelastischer Stoss Würfel: I = 16 ma2
Die Stosspartner bleiben nach dem Stoss aneinander Steiner’sche Satz: I = ISP +md2
Translation Rotation haften und bewegen sich gemeinsam. Es gilt keine
Kräfte Präzession
Energieerhaltung, nur Impulserhaltung.
Gewichtskraft: FG = mg Geschwindigkeit Winkelgeschwindigkeit
m1 v1,A +m2 v2,A = (m1 +m2 )vE Wird von aussen ein Drehmoment senkrecht an die
wirkt vom Schwerpunkt senkrecht nach unten. v = ṡ ω = θ̇
Drehachse eines Kreisels aufgebracht, so rotiert die
Normalkraft: FN = mg cos θ Beschleunigung Winkelbeschleunigung Drehachse mit der Präzessionswinkelgeschwindigkeit
a = v̇ = s̈ α = ω̇ = θ̈ Elastischer Stoss ωP um die ursprüngliche Figurenachse. Da nach
wirkt senkrecht auf die Auflagefläche mit Winkel θ.
Die Stosspartner bewegen sich nach dem Stoss der Drehimpulserhaltung für den drehenden Kreisel
Zentripetalkraft: FZP = mv
2
Masse Trägheitsmoment
r
R individuell weiter. Energie- und Impulserhaltung. die Änderung der Richtung seines Drehimpulses eine
ist zum Krümmungsmittelpunkt gerichtet. m I = r2 dm
m1 −m2 Kraft erfordert, gleichen sich bei der Präzession die
v1,E = v + 2m2 v
Haftreibung: FHR ≤ µHR FN Kraft Drehmoment m1 +m2 1,A m1 +m2 2,A Drehmomente der Schwerkraft und der Präzession
mit Haftreibungskoeffizient µHR . F = ma M = Iα = Ft r = F ` v2,E = 2m1
v + m2 −m1 v aus und es kommt zu einer gleichförmigen Drehbewe-
m1 +m2 1,A m1 +m2 2,A
gung.
Gleitreibung: FGR = µGR FN Impuls Drehimpuls
mit Gleitreibungskoeffizient µGR . p = mv L = Iω = pt r = p` Massenmittelpunktssystem ωp = mgr
L
= mgr
Iω
Newton’sche Reibung: FW = 1
cρvA kin. Energie Rotationsenergie Bei zwei Teilchen: xS = m1m
x1 +m2 x2 mit Abstand Auflagepunkt-Schwerpunkt r.
2 1 +m2
mit Fluidparameter c und Stirnfläche A. p2 2 2 2 2
E = 21 mv 2 = 2m E = Iω2 = mr2 v = L2I im Mittelpunktssystem wirkt kein Nettoimpuls.
Stokes’sche Reibung: FW = 6πηrv Arbeit Dreharbeit
für eine Kugel mit Radius r.
R
W = F ·ds
R
W = M ·dφ
Fluide
Konservative Kräfte: F =
dEpot
− ds Drehbewegungen Druck in einer statischen Flüssigkeit:
Leistung Drehleistung
wirkt in Richtung des sinkenden Potentials. p = p0 +ρgh
P = Ẇ = F ·v P = Ẇ = M ·ω Die Drehachse eines rollenden Körpers ist sein
Kraft aus Impuls: F = ṗ Impulssatz Drehimpulssatz Auflagepunkt. Bei frei drehenden Körpern ist die
Bernoulli-Gleichung für Druck entlang Strömung:
Ohne äussere Kraft gilt Impulserhaltung. F = ṗ M = L̇ Drehachse jene, um der sich jeder Punkt des Körpers
p+ρgh+ 21 ρv 2 = const
gleichförmig dreht.
Auftriebskraft: FA = mg = ρV g Druck sinkt mit steigender Geschwindigkeit.
wobei m = ρV die Masse des verdrängten Fluids. Erhaltungssätze
Übersetzung Translation zu Rotation Venturi-Effekt (Bernoulli
bei ebener
Strömung):
Federkraft: FFe = −kx Impulserhaltung: Gibt es keine resultierende Kraft A2
wobei k die Federkonstante. auf ein System, so bleibt der Gesamtimpuls erhalten. Kreisbogen: s = rθ ∆p = 1
2
ρ v22 −v12 = 1 2
v
2 1
1
A2
−1
1 q1 q2 Tangentialgeschwindigkeit: vt = rω 2
Coulombkraft: FC = qE = 4π Energieerhaltung: Wirken nur konservative Kräfte,
0 r2 Tangentialbeschleunigung: at = rα Hagen-Poiseuille, Strömung in Rohr mit Länge ∆z:
wobei zweite Gleichung für zwei Punktladungen. so bleibt die Gesamtenergie des Systems erhalten. ∆p = 8η∆z
πR4
V̇
Lorentzkraft: FL = qv×B = Il×B Drehmoment/-impuls bezüglich einem Punkt
Richtung gemäss Rechter-Hand-Regel. Die Auftriebskraft ist betragsgleich mit der Gewicht-
Gleichf. beschl. Bewegungen Wirkt eine Kraft auf einen drehbaren Körper, so
p ist das Drehmoment abhängig von der tangentialen skraft des verdrängten Fluids.
± 2 −v
2a(s−s0 )+v0 0
s= at +v0 t+s0
1 2
2
⇔ t= a
Kraft Ft und dem Abstand r zum Drehpunkt. Ana-
log von der Gesamtkraft F und dem Abstand ` der
v = v02 +2a∆s
2
Wirkungslinie: M = Ft r = F ` Schwingungen
Arbeit und Energie
Der bezüglich einem Drehpunkt wirkende Drehim-
R R
Arbeit: W = F ·ds = F ·v dt Schräger Wurf Bei einer Schwingung mit Federkonstante k und
Nur Kräfte in Bewegungsrichtung leisten Arbeit. puls eines Teilchens ist abhängig vom tangentialen Auslenkung x gilt:
vx (t) = vx,0 = |v0 | cos θ Impuls pt und dem Abstand r zum Drehpunkt bzw.
Leistung: P = Ẇ = F v seinem Gesamtimpuls p und dem Abstand ` der F = −kx = ma
vy (t) = −gt+vy,0 mit vy,0 = |v0 | sin θ
2 Wirkungslinie: L = pt r = p` x(t) = A cos(ωt+δ)
p
Ekin = 1
2
mv 2 = 2m x(t) = vx,0 t+x0 und y(t) = − 12 gt2 +vy,0 t+y0 v(t) = −Aω sin(ωt+δ)
2
Epot = mgh Berechnung Trägheitsmomente a(t) = −Aω 2 cos(ωt+δ) = −ω 2 x
mit t = x−x
v
0
: y(x) = − 12 g x−x0
vx,0
+vy,0 x−x
v
0
+y0
EFeder = 1 x,0 x,0 Generell gilt, dass dm = ρdV , sodass über das
p
2
k∆x2 2 pk/m für Federschwinger
Reichweite R =
v0
sin 2θ Volumen integriert werden kann. Symmetrische,
Erot = 1
Iω 2 = L2 g
parallel zur Drehachse verlaufende Dimensionen der ω= g/l für Pendel
2 2I p
kontinuierlichen Masse sind konstant in r. Gilt für mgdSP /I für physikalisches Pendel
Wel = qU Kreisbewegung den Körper V = f (a, b, c), dann ist dV = dx dy dz.
2
Eel,C =1
qU = 12 qC = 1
CU 2
2
a = − vr = −ω 2 r und FZP = − mv
2
Gilt V = f (r), dann ist dV = f 0 (r)dr. Bewegungsgleichung: −F sin θ = mẍ = mrθ̈ p
2 2 r
Emag,L = 12 LI 2 wirkt nicht im Inertialsystem. Zylinder entlang Längsachse: I = 2
(r1 +r22 )
m 2 −F sin θ ≈ −F θ ⇒ θ̈+ mr F
θ=0 , ω= F
mr
Vollkugel: I = 25 mr2 gedämpft: ẍ+ m ẋ+ω0 x = 0
b 2
12
m(a2 +b2 )
Übergreifende Formeln Kinematik Inelastischer Stoss Würfel: I = 16 ma2
Die Stosspartner bleiben nach dem Stoss aneinander Steiner’sche Satz: I = ISP +md2
Translation Rotation haften und bewegen sich gemeinsam. Es gilt keine
Kräfte Präzession
Energieerhaltung, nur Impulserhaltung.
Gewichtskraft: FG = mg Geschwindigkeit Winkelgeschwindigkeit
m1 v1,A +m2 v2,A = (m1 +m2 )vE Wird von aussen ein Drehmoment senkrecht an die
wirkt vom Schwerpunkt senkrecht nach unten. v = ṡ ω = θ̇
Drehachse eines Kreisels aufgebracht, so rotiert die
Normalkraft: FN = mg cos θ Beschleunigung Winkelbeschleunigung Drehachse mit der Präzessionswinkelgeschwindigkeit
a = v̇ = s̈ α = ω̇ = θ̈ Elastischer Stoss ωP um die ursprüngliche Figurenachse. Da nach
wirkt senkrecht auf die Auflagefläche mit Winkel θ.
Die Stosspartner bewegen sich nach dem Stoss der Drehimpulserhaltung für den drehenden Kreisel
Zentripetalkraft: FZP = mv
2
Masse Trägheitsmoment
r
R individuell weiter. Energie- und Impulserhaltung. die Änderung der Richtung seines Drehimpulses eine
ist zum Krümmungsmittelpunkt gerichtet. m I = r2 dm
m1 −m2 Kraft erfordert, gleichen sich bei der Präzession die
v1,E = v + 2m2 v
Haftreibung: FHR ≤ µHR FN Kraft Drehmoment m1 +m2 1,A m1 +m2 2,A Drehmomente der Schwerkraft und der Präzession
mit Haftreibungskoeffizient µHR . F = ma M = Iα = Ft r = F ` v2,E = 2m1
v + m2 −m1 v aus und es kommt zu einer gleichförmigen Drehbewe-
m1 +m2 1,A m1 +m2 2,A
gung.
Gleitreibung: FGR = µGR FN Impuls Drehimpuls
mit Gleitreibungskoeffizient µGR . p = mv L = Iω = pt r = p` Massenmittelpunktssystem ωp = mgr
L
= mgr
Iω
Newton’sche Reibung: FW = 1
cρvA kin. Energie Rotationsenergie Bei zwei Teilchen: xS = m1m
x1 +m2 x2 mit Abstand Auflagepunkt-Schwerpunkt r.
2 1 +m2
mit Fluidparameter c und Stirnfläche A. p2 2 2 2 2
E = 21 mv 2 = 2m E = Iω2 = mr2 v = L2I im Mittelpunktssystem wirkt kein Nettoimpuls.
Stokes’sche Reibung: FW = 6πηrv Arbeit Dreharbeit
für eine Kugel mit Radius r.
R
W = F ·ds
R
W = M ·dφ
Fluide
Konservative Kräfte: F =
dEpot
− ds Drehbewegungen Druck in einer statischen Flüssigkeit:
Leistung Drehleistung
wirkt in Richtung des sinkenden Potentials. p = p0 +ρgh
P = Ẇ = F ·v P = Ẇ = M ·ω Die Drehachse eines rollenden Körpers ist sein
Kraft aus Impuls: F = ṗ Impulssatz Drehimpulssatz Auflagepunkt. Bei frei drehenden Körpern ist die
Bernoulli-Gleichung für Druck entlang Strömung:
Ohne äussere Kraft gilt Impulserhaltung. F = ṗ M = L̇ Drehachse jene, um der sich jeder Punkt des Körpers
p+ρgh+ 21 ρv 2 = const
gleichförmig dreht.
Auftriebskraft: FA = mg = ρV g Druck sinkt mit steigender Geschwindigkeit.
wobei m = ρV die Masse des verdrängten Fluids. Erhaltungssätze
Übersetzung Translation zu Rotation Venturi-Effekt (Bernoulli
bei ebener
Strömung):
Federkraft: FFe = −kx Impulserhaltung: Gibt es keine resultierende Kraft A2
wobei k die Federkonstante. auf ein System, so bleibt der Gesamtimpuls erhalten. Kreisbogen: s = rθ ∆p = 1
2
ρ v22 −v12 = 1 2
v
2 1
1
A2
−1
1 q1 q2 Tangentialgeschwindigkeit: vt = rω 2
Coulombkraft: FC = qE = 4π Energieerhaltung: Wirken nur konservative Kräfte,
0 r2 Tangentialbeschleunigung: at = rα Hagen-Poiseuille, Strömung in Rohr mit Länge ∆z:
wobei zweite Gleichung für zwei Punktladungen. so bleibt die Gesamtenergie des Systems erhalten. ∆p = 8η∆z
πR4
V̇
Lorentzkraft: FL = qv×B = Il×B Drehmoment/-impuls bezüglich einem Punkt
Richtung gemäss Rechter-Hand-Regel. Die Auftriebskraft ist betragsgleich mit der Gewicht-
Gleichf. beschl. Bewegungen Wirkt eine Kraft auf einen drehbaren Körper, so
p ist das Drehmoment abhängig von der tangentialen skraft des verdrängten Fluids.
± 2 −v
2a(s−s0 )+v0 0
s= at +v0 t+s0
1 2
2
⇔ t= a
Kraft Ft und dem Abstand r zum Drehpunkt. Ana-
log von der Gesamtkraft F und dem Abstand ` der
v = v02 +2a∆s
2
Wirkungslinie: M = Ft r = F ` Schwingungen
Arbeit und Energie
Der bezüglich einem Drehpunkt wirkende Drehim-
R R
Arbeit: W = F ·ds = F ·v dt Schräger Wurf Bei einer Schwingung mit Federkonstante k und
Nur Kräfte in Bewegungsrichtung leisten Arbeit. puls eines Teilchens ist abhängig vom tangentialen Auslenkung x gilt:
vx (t) = vx,0 = |v0 | cos θ Impuls pt und dem Abstand r zum Drehpunkt bzw.
Leistung: P = Ẇ = F v seinem Gesamtimpuls p und dem Abstand ` der F = −kx = ma
vy (t) = −gt+vy,0 mit vy,0 = |v0 | sin θ
2 Wirkungslinie: L = pt r = p` x(t) = A cos(ωt+δ)
p
Ekin = 1
2
mv 2 = 2m x(t) = vx,0 t+x0 und y(t) = − 12 gt2 +vy,0 t+y0 v(t) = −Aω sin(ωt+δ)
2
Epot = mgh Berechnung Trägheitsmomente a(t) = −Aω 2 cos(ωt+δ) = −ω 2 x
mit t = x−x
v
0
: y(x) = − 12 g x−x0
vx,0
+vy,0 x−x
v
0
+y0
EFeder = 1 x,0 x,0 Generell gilt, dass dm = ρdV , sodass über das
p
2
k∆x2 2 pk/m für Federschwinger
Reichweite R =
v0
sin 2θ Volumen integriert werden kann. Symmetrische,
Erot = 1
Iω 2 = L2 g
parallel zur Drehachse verlaufende Dimensionen der ω= g/l für Pendel
2 2I p
kontinuierlichen Masse sind konstant in r. Gilt für mgdSP /I für physikalisches Pendel
Wel = qU Kreisbewegung den Körper V = f (a, b, c), dann ist dV = dx dy dz.
2
Eel,C =1
qU = 12 qC = 1
CU 2
2
a = − vr = −ω 2 r und FZP = − mv
2
Gilt V = f (r), dann ist dV = f 0 (r)dr. Bewegungsgleichung: −F sin θ = mẍ = mrθ̈ p
2 2 r
Emag,L = 12 LI 2 wirkt nicht im Inertialsystem. Zylinder entlang Längsachse: I = 2
(r1 +r22 )
m 2 −F sin θ ≈ −F θ ⇒ θ̈+ mr F
θ=0 , ω= F
mr
Vollkugel: I = 25 mr2 gedämpft: ẍ+ m ẋ+ω0 x = 0
b 2
