Solution Manual for Calculus for Scientists and
Engineers 1st Edition by Briggs Cochran and Gillett
Contents
9 Sequences and In nite Series 3
9.1 An Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
9.2 Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
9.3 In nite Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9.4 The Divergence and Integral Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
9.5 The Ratio, Root, and Comparison Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
9.6 Alternating Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
9.7 Chapter Nine Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
10 Power Series 57
10.1 Approximating Functions With Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
10.2 Properties of Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.3 Taylor Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
10.4 Working with Taylor Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.5 Chapter Ten Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
11 Parametric and Polar Curves 109
11.1 Parametric Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
11.2 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
11.3 Calculus in Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
11.4 Conic Sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
11.5 Chapter Eleven Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
12 Vectors and Vector-Valued Functions 199
12.1 Vectors in the Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
12.2 Vectors in Three Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
12.3 Dot Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
12.4 Cross Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
12.5 Lines and Curves in Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
12.6 Calculus of Vector-Valued Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
, 12.7 Motion in Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
12.8 Lengths of Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
12.9 Curvature and Normal Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
12.10 Chapter Twelve Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
13 Functions of Several Variables 291
13.1 Planes and Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
13.2 Graphs and Level Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
,13.3 Limits and Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
13.4 Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
13.5 The Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
13.6 Directional Derivatives and the Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
13.7 Tangent Planes and Linear Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
, 2 CONTENTS
13.8 Maximum/Minimum Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....360
13.9 Lagrange Multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....369
13.10 Chapter Thirteen Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....378
14 Multiple Integration 395
14.1 Double Integrals over Rectangular Regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....395
14.2 Double Integrals over General Regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....401
14.3 Double Integrals in Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....417
14.4 Triple Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....430
14.5 Triple Integrals in Cylindrical and Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . .....438
14.6 Integrals for Mass Calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....447
14.7 Change of Variables in Multiple Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....454
14.8 Chapter Fourteen Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....465
15 Vector Calculus 477
15.1 Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....477
15.2 Line Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....488
15.3 Conservative Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....495
15.4 Green’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....500
15.5 Divergence and Curl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....509
15.6 Surface Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....518
15.7 Stokes’ Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....527
15.8 The Divergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....533
15.9 Chapter Fifteen Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....542
Engineers 1st Edition by Briggs Cochran and Gillett
Contents
9 Sequences and In nite Series 3
9.1 An Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
9.2 Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
9.3 In nite Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9.4 The Divergence and Integral Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
9.5 The Ratio, Root, and Comparison Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
9.6 Alternating Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
9.7 Chapter Nine Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
10 Power Series 57
10.1 Approximating Functions With Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
10.2 Properties of Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.3 Taylor Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
10.4 Working with Taylor Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.5 Chapter Ten Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
11 Parametric and Polar Curves 109
11.1 Parametric Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
11.2 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
11.3 Calculus in Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
11.4 Conic Sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
11.5 Chapter Eleven Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
12 Vectors and Vector-Valued Functions 199
12.1 Vectors in the Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
12.2 Vectors in Three Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
12.3 Dot Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
12.4 Cross Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
12.5 Lines and Curves in Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
12.6 Calculus of Vector-Valued Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
, 12.7 Motion in Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
12.8 Lengths of Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
12.9 Curvature and Normal Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
12.10 Chapter Twelve Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
13 Functions of Several Variables 291
13.1 Planes and Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
13.2 Graphs and Level Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
,13.3 Limits and Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
13.4 Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
13.5 The Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
13.6 Directional Derivatives and the Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
13.7 Tangent Planes and Linear Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
, 2 CONTENTS
13.8 Maximum/Minimum Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....360
13.9 Lagrange Multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....369
13.10 Chapter Thirteen Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....378
14 Multiple Integration 395
14.1 Double Integrals over Rectangular Regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....395
14.2 Double Integrals over General Regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....401
14.3 Double Integrals in Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....417
14.4 Triple Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....430
14.5 Triple Integrals in Cylindrical and Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . .....438
14.6 Integrals for Mass Calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....447
14.7 Change of Variables in Multiple Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....454
14.8 Chapter Fourteen Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....465
15 Vector Calculus 477
15.1 Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....477
15.2 Line Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....488
15.3 Conservative Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....495
15.4 Green’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....500
15.5 Divergence and Curl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....509
15.6 Surface Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....518
15.7 Stokes’ Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....527
15.8 The Divergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....533
15.9 Chapter Fifteen Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....542
