50 Exercices Corrigés sur les Lois de Probabilité

, Prof:Tichicht Med Série : Lois de Probabilité


Exercice 1
Un élève répond complètement au hasard à un QCM de 10 questions indépendantes.
Chaque question propose 4 réponses dont une seule est correcte. On note X le nombre de
bonnes réponses.
a) Quelle est la loi de X ?
b) Calculer la probabilité d’obtenir exactement 4 bonnes réponses.
c) Calculer la probabilité d’avoir au moins une bonne réponse.



Solution
a) X représente le nombre de succès (bonnes réponses) lors de n = 10 épreuves indé-
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pendantes, chaque succès ayant la probabilité p = 4 . Donc X ∼ B 10, 4 .
    
10 1 4 3 6 1 729 153 090
b) P(X = 4) = = 210 · · = ≈ 0,1460.
4 4 4 256 4096 1 048 576
 10
c) P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 34 = 1 − 1 59 049
048 576 ≈ 1 − 0,0563 = 0,9437.




Exercice 2
Dans une loterie, chaque billet a une probabilité p = 0,02 d’être gagnant. On achète 5
billets. Soit X le nombre de billets gagnants.
a) Préciser la loi de X.
b) Calculer P(X = 2) et P(X ≥ 1).



Solution
a) X ∼ B(5; 0,02).
b) P(X = 2) = 52 (0,02)2 (0,98)3 = 10 × 0,0004 × 0,941192 = 0,003 77 (environ).



P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (0,98)5 ≈ 1 − 0,9039 = 0,0961.



Exercice 3
Le nombre mensuel de pannes d’une machine suit une loi de Poisson de paramètre λ = 2,5.
a) Calculer la probabilité d’observer exactement 3 pannes en un mois.
b) Quel est le nombre moyen de pannes par mois ? Quelle est la variance ?



Solution
2,53 15,625
a) P(X = 3) = e−2,5 = e−2,5 ≈ 0,08208 × 2,6042 ≈ 0,2138.
3! 6
b) Pour une loi de Poisson, E(X) = λ = 2,5 pannes/mois et Var(X) = λ = 2,5.




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