Advanced Engineering Mathematics SI Edition 8th Edition ONeil Solutions Manual | Digital Pdf Download

Advanced Engineering Mathematics
SI Edition 8th Edition ONeil Solutions
Manual | Digital Pdf Download

,Second-Order Differential Equations g. g.




2.1 The Linear Second-Order Equation
g. g. g.




1. It is a routine exercise in differentiation to show
g. g. g. g. g. g. g. g.




g. that y1(x)
g. and
g. g.y2(x) g. are g.solutions g.of the
g.




g. homogeneous equation, while yp(x) is a solution g. g. g. g. g. g.




g. of g.the g. nonhomogeneous g. equation. g. The
g. Wronskian of y1(x) and y2(x) is g. g. g. g. g.




W (x) = g. g. g . g .
sin(6x) = —6 sin2(x) — 6 sin2(x) = —6,
g. g. g. g. g. g. g.
g .



cos(6
x)
g. 6 cos(6x)
g. g . g . —
6 sin(6x)g.




and this is nonzero for all x, so these solutions
g. g. g. g. g. g. g. g. g.




g. are linearly independent on the real line. The
g. g. g. g. g. g. g.




general
g. g. solution g. of the
g. nonhomogeneous
g.




differential equation is
g. g. g.




1
y = c1 sin(6x) + c2 cos(6x) + 36(x — 1).
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.




For the initial value problem, we need
g. g. g. g. g. g.




1
y(0) = c2 — 36 = —5
g. g. g. g.
g.
g.




so c2 = —
g. g. g.




179/36. And g .

, 1
y′(0) = 2 = 6c1 +
g. g. g. g. g. g.




36

so c1 = 71/216. The unique solution of the initial value problem is
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.




71 179 1
y(x) = 216 sin(6x) —
g. g.
g.
g. g .
36 cos(6x) + 36(x — 1).
g .
g. g. g. g.




2. The Wronskian of e4x and e−4x is
g. g. g. g. g. g.




e4x e−4x
W (x) =
g. g. g .
4e4x —4e−4x = —8 /= 0 g . g. g. g.




39




© 2018 Cengage Learning. All Rights reserved. May not be scanned, copied or
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.



g. duplicated, or posted to a publicly accessible website, in whole or in part.
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.

, 40 CHAPTER 2. g. g. g. SECOND-ORDER DIFFERENTIAL g.




g. EQUATIONS


so these solutions of the associated homogeneous
g. g. g. g. g. g.




g. equation are indepen-dent. With the particular
g. g. g. g. g.




g. solution yp(x) of the nonhomogeneous equation,
g. g. g. g. g.




g. this equation has general solution
g. g. g. g.




y(x) =1 c e4x2 + c 4e−4x — 1 x2 — 1 . g. g. g.
g.
32 g. g. g. g. g. g. g. g. g.




From the initial conditions we obtain
g. g. g. g. g.




1
y(0) = c1 + c2 — 32 = 12
g. g. g. g. g. g.
g.
g.




and

y′(0) = 4c1 — 4c2 = 3.g. g. g. g. g. g.




Solve these to obtain c1 = 409/64 and c2 = 361/64 to obtain the
g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g. g.




g. solution

y(x) = 409 e4x
64 +
g.
361 e−4x — 1 x2 — 1 .
64
g.
4 32
g.
g. g.
g.
g. g.
g.
g. g.
g. g.




3. The associated homogeneous equation has
g. g. g. g.




g. solutions e−2x and e−x. Their Wronskian is
g. g. g. g. g. g.




e−2x e−x −3x
W (x) = g. g. g .
—2e−2x —e−x g . = e g.




© 2018 Cengage Learning. All Rights reserved. May not be scanned, copied or duplicated, or posted to a publicly accessible website, in whole or in part.