Leerdoelen H1 (Propositielogica):
Weten wat proposities zijn: Een uitspraak die waar of onwaar kan zijn; het heeft een
waarheidswaarde.
Formules van de propositielogica kunnen lezen: Als er een formule staat, lees je hem als het
ware andersom en plak je letterlijk propositieletters met connectieven aan de zin. Dus
bijvoorbeeld: Als Zara haar beer of pyjama niet heeft, huilt ze en slaapt ze niet. Je ziet direct
dat er een implicatie staat (als….dan).
Je krijgt dan: (¬(𝑏 ∨ 𝑝)) → (ℎ ∧ ¬𝑠). Vervolgens kun je de waarheidstabel opstellen van
deze formule. Het is belangrijk dat je ziet dat het woordje ‘niet’ zowel betrekking heeft op de
beer als de pyjama. In de tweede zin heeft het woordje ‘niet’ alleen betrekking op slapen.
Propositielogische formules kunnen opstellen m.b.v. de vijf logische connectieven: De vijf
logische connectieven zijn niet (¬, negatie), of (∨, disjunctie), en (∧, conjunctie), als…dan (→
, implicatie) en dan en slechts alleen dan (↔, equivalentie). Je kijkt goed naar het bereik van
het connectief wanneer je een zin formuleert in een propositieformule (zie vorige leerdoel).
Ook is het belangrijk dus goed te kijken naar woorden als ‘niet’, ‘en’, ‘of’, ‘als…dan’ en ‘dan
en slechts alleen dan’.
Weten wat deelformules zijn: Formules bestaan uit deelformules. Stel (𝑝 ∧ 𝑞) → ¬𝑟, dan zijn
p, q, r en ¬𝑟 deelformules van (𝑝 ∧ 𝑞) → ¬𝑟. 𝑝 ∧ 𝑞 is een deelformule van (𝑝 ∧ 𝑞) → ¬𝑟.
(𝑝 ∧ 𝑞) → ¬𝑟 is ook een deelformule van (𝑝 ∧ 𝑞) → ¬𝑟. Connectieven zijn zelf geen
deelformules, maar kunnen wél bij een deelformule horen. Je kijkt eerst naar de
propositieletters en een eventuele negatievariant. Daarna kijk je naar de losse formules en
daarna de gehele formule. Dit is tevens de volgorde bij het opstellen van een
waarheidstabel.
Het bereik van connectieven in deelformules aangeven: Dat deel of de delen van de formule
waar het connectief betrekking op heeft, vaak afhankelijk van haakjes. Door onderstreping
geef je het bereik van het connectief aan. (𝑝 ∧ 𝑞) → ¬𝑟, waarbij de conjunctieteken
betrekking heeft op propositieletters ‘p’ en ‘q’. Het negatieteken hoort alleen bij ‘r’. Het
implicatieteken heeft betrekking op ‘(𝑝 ∧ 𝑞)’ en ‘¬𝑟’.
Waarheidstabellen van connectieven kennen: Als ‘p’ is 1, dan is ‘¬𝑝’ is 0. Als ‘p’ is 0, dan is
¬𝑝 is 1. De formule ‘𝑝 ∧ 𝑞’ is alleen waar (1) als zowel p als q waar zijn (1). De formule
‘𝑝 ∨ 𝑞’ is waar (1) als p of q waar zijn (1), of als ze allebei waar zijn (1). Dus als p en q
onwaar zijn (0) is ‘𝑝 ∨ 𝑞’ ook onwaar (0). De formule ‘φ → ψ’ is alleen onwaar (0) als φ waar
is (1) en ψ onwaar is (0). De formule ‘φ ↔ ψ’ is alleen waar (1) als φ en ψ waar zijn (1) en
wanneer φ en ψ onwaar zijn (0).
Waarheidstabellen maken voor propositielogische formules: Als voorbeeld
(𝑝 ∨ ¬𝑞) ↔ (𝑝 → 𝑞):
, p q (p ∨ ¬ q) ↔ (p → q)
1 1 1 1 0 1 1 1 1 1
1 0 1 1 1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 1 1
0 0 0 1 1 0 1 0 1 0
1 3 2 1 4 1 3 1
De (𝑝 ∨ ¬𝑞) ↔ (𝑝 → 𝑞) is dus alleen waar als zowel p en q waar zijn (1) of wanneer p en q
onwaar zijn (0).
Kunnen werken met niet-standaardconnectieven als waarheidstabel gegeven is: Als
voorbeeld: ‘nand’, ofwel niet zowel p als q. Dit betekent dat p en q niet beide tegelijk waar
kunnen zijn en dus is ‘p nand q’ alleen onwaar (0) als zowel p als q waar zijn (1). ‘nor’ is
alleen waar als zowel p als q onwaar zijn (0), alleen dan is ‘p nor q’ waar (1).
Uitspraken in gewone taal kunnen omzetten naar formules in de propositielogica: Kijken
welke propositieletters je kunt gebruiken; daarna ook kijken met welke connectieven je te
maken hebt en kijken wat het bereik van deze connectieven is. Daarmee kun je gemakkelijk
een formule opstellen.
,Leerdoelen H2 (Wetten van de propositielogica):
Weten wat waarderingen zijn: Een toekenning van waarheidswaarden aan propositieletters.
Dit kan dan waar of onwaar zijn.
De begrippen tautologie, contradictie, contingentie, logische equivalentie en logisch gevolg
kennen en hanteren: Een tautologie is een formule in de propositielogica die waar is voor
elke waardering. Een contradictie is een formule in de propositielogica die onwaar is voor
elke waardering. Een contingentie is een formule in de propositielogica die geen tautologie is
en ook geen contradictie; de formule is minstens waar voor één waardering en onwaar voor
één waardering.
Logisch equivalent wil zeggen dat twee formules voor iedere waardering dezelfde
waarheidswaarden hebben. Als φ en ψ logisch equivalent zijn, dan noteren we φ ⇔ ψ. Er
geldt een logische equivalentie als beide formules een logisch gevolg van elkaar zijn, ofwel
φ ⇒ ψ én ψ ⇒ φ, dan geldt φ ⇔ ψ.
De formule ψ is een logisch gevolg van φ1,... φ𝑛 als elke waardering die alle φ1,... φ𝑛 waar
maakt, ook ψ waar maakt: φ1,... φ𝑛 ⇒ ψ.
Het begrip standaardtautologie kennen: Een conjunctieve normaalvorm (CNV) is
bijvoorbeeld een tautologie als ieder conjunct waar is. Dit gebeurt dan en slechts alleen dan
als ieder conjunct een propositieletter (𝑝) en een propositieletter met negatie heeft (¬𝑝).
Weten wat ⊤ (verum) en ⊥ (falsum) zijn en hoe ze gebruikt worden: Alle tautologieën zijn
logisch equivalent en om een willekeurige tautologie aan te geven, wordt vaak gedaan met ⊤
(verum). Om dus een formule, of een standaardtautologie, korter te schrijven, kun je ⊤
gebruiken. Andersom, als je te maken hebt met een formule die een contradictie is, dan kun
je dit verkorten met ⊥ (falsum). Standaardcontracties (𝑝 ∧ ¬𝑝) worden vaak aangegeven
met het symbool ⊥.
Standaardequivalenties met betrekking tot de connectieven kennen en kunnen gebruiken, in
het bijzonder voor het normaliseren van een formule tot een DNV dan wel CNV: In de
afbeelding hieronder zie je de standaardequivalenties. Als je een formule wilt normaliseren
in een disjunctieve normaalvorm (DNV), dan doe je het volgende:
(1) Vervang eerst → en ↔ met behulp van implicatie- en equivalentie-eliminatie.
(2) Duw de negaties naar binnen tot aan de propositieletters met dubbele negatie en De
Morgan.
(3) Distribueer ∧ over ∨.
Al wil je een formule normaliseren in een conjunctieve normaalvorm (CNV), dan doe je het
volgende:
(1) Vervang eerst → en ↔ met behulp van implicatie- en equivalentie-eliminatie.
, (2) Duw de negaties naar binnen tot aan de propositieletters met dubbele negatie en De
Morgan.
(3) Distribueer ∨ over ∧.
In principe geldt dus voor CNV en DNV hetzelfde, maar stap 3 het distribueren van de
conjuctietekens en disjunctietekens gebeurt net andersom.
Commutativiteit is de eigenschap die zegt dat een bewerking op twee uitdrukkingen ook in
de omgekeerde volgorde mag worden uitgevoerd; dit geldt voor conjuncties en disjuncties,
maar ook voor dubbele implicaties (desda).
Associativiteit is als het niet uitmaakt in welke volgorde de bewerkingen op getallen
gebeuren. Ook nu geldt het weer dat disjuncties en conjuncties associatief zijn.
Distributiviteit staat in het teken van het verspreiden van operaties in de logica. ∧ 𝑒𝑛 ∨ zijn
distributief over elkaar, want: φ ∧ (ψ ∨ χ) ⇔ (φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ ψ) én
φ ∨ (ψ ∧ χ) ⇔ (φ ∨ ψ) ∧ (φ ∨ ψ).
Idempotentie zegt dat een bewerking op twee gelijke argumenten weer hetzelfde element
oplevert. Ook hier zijn ∧ en ∨ idempotent: φ ∨ φ ⇔ φ én φ ∧ φ ⇔ φ.
Absorptie: ∧ 𝑒𝑛 ∨ voldoen aan de absorptiewetten. Absorptie kun je weergeven als:
φ ∧ (φ ∨ ψ) ⇔ φ én φ ∨ (φ ∧ ψ) ⇔ φ.\
Alle tautologieën zijn logisch equivalent en om een willekeurige tautologie aan te geven,
wordt vaak gedaan met ⊤ (verum). Standaardcontracties (𝑝 ∧ ¬𝑝) worden vaak
aangegeven met het symbool ⊥ (falsum).
Dubbele negatie wil zeggen dat ¬¬φ ⇔ φ.
De Wetten van De Morgan stelt men in staat de negatie ‘buiten de haakjes te halen’, mits
we dan de conjunctie in disjunctie omzetten, en omgekeerd: (1) ¬(φ ∧ ψ) ⇔ ¬φ ∨ ¬ψ én
(2) ¬(φ ∨ ψ) ⇔ ¬φ ∧ ¬ψ.
Implicatie-eliminatie: Omdat we equivalenties ook op deelformules mogen toepassen,
betekent dit dat we een implicatie altijd kunnen vervangen door een disjunctie met een
negatie: φ → ψ ⇔ ¬φ ∨ ψ.
Equivalentie-eliminatie: Equivalenties kun je ook vervangen door negaties, disjuncties en
conjuncties: φ ↔ ψ ⇔ (φ ∧ ψ) ∨ (¬φ ∧ ¬ψ).
Weten wat proposities zijn: Een uitspraak die waar of onwaar kan zijn; het heeft een
waarheidswaarde.
Formules van de propositielogica kunnen lezen: Als er een formule staat, lees je hem als het
ware andersom en plak je letterlijk propositieletters met connectieven aan de zin. Dus
bijvoorbeeld: Als Zara haar beer of pyjama niet heeft, huilt ze en slaapt ze niet. Je ziet direct
dat er een implicatie staat (als….dan).
Je krijgt dan: (¬(𝑏 ∨ 𝑝)) → (ℎ ∧ ¬𝑠). Vervolgens kun je de waarheidstabel opstellen van
deze formule. Het is belangrijk dat je ziet dat het woordje ‘niet’ zowel betrekking heeft op de
beer als de pyjama. In de tweede zin heeft het woordje ‘niet’ alleen betrekking op slapen.
Propositielogische formules kunnen opstellen m.b.v. de vijf logische connectieven: De vijf
logische connectieven zijn niet (¬, negatie), of (∨, disjunctie), en (∧, conjunctie), als…dan (→
, implicatie) en dan en slechts alleen dan (↔, equivalentie). Je kijkt goed naar het bereik van
het connectief wanneer je een zin formuleert in een propositieformule (zie vorige leerdoel).
Ook is het belangrijk dus goed te kijken naar woorden als ‘niet’, ‘en’, ‘of’, ‘als…dan’ en ‘dan
en slechts alleen dan’.
Weten wat deelformules zijn: Formules bestaan uit deelformules. Stel (𝑝 ∧ 𝑞) → ¬𝑟, dan zijn
p, q, r en ¬𝑟 deelformules van (𝑝 ∧ 𝑞) → ¬𝑟. 𝑝 ∧ 𝑞 is een deelformule van (𝑝 ∧ 𝑞) → ¬𝑟.
(𝑝 ∧ 𝑞) → ¬𝑟 is ook een deelformule van (𝑝 ∧ 𝑞) → ¬𝑟. Connectieven zijn zelf geen
deelformules, maar kunnen wél bij een deelformule horen. Je kijkt eerst naar de
propositieletters en een eventuele negatievariant. Daarna kijk je naar de losse formules en
daarna de gehele formule. Dit is tevens de volgorde bij het opstellen van een
waarheidstabel.
Het bereik van connectieven in deelformules aangeven: Dat deel of de delen van de formule
waar het connectief betrekking op heeft, vaak afhankelijk van haakjes. Door onderstreping
geef je het bereik van het connectief aan. (𝑝 ∧ 𝑞) → ¬𝑟, waarbij de conjunctieteken
betrekking heeft op propositieletters ‘p’ en ‘q’. Het negatieteken hoort alleen bij ‘r’. Het
implicatieteken heeft betrekking op ‘(𝑝 ∧ 𝑞)’ en ‘¬𝑟’.
Waarheidstabellen van connectieven kennen: Als ‘p’ is 1, dan is ‘¬𝑝’ is 0. Als ‘p’ is 0, dan is
¬𝑝 is 1. De formule ‘𝑝 ∧ 𝑞’ is alleen waar (1) als zowel p als q waar zijn (1). De formule
‘𝑝 ∨ 𝑞’ is waar (1) als p of q waar zijn (1), of als ze allebei waar zijn (1). Dus als p en q
onwaar zijn (0) is ‘𝑝 ∨ 𝑞’ ook onwaar (0). De formule ‘φ → ψ’ is alleen onwaar (0) als φ waar
is (1) en ψ onwaar is (0). De formule ‘φ ↔ ψ’ is alleen waar (1) als φ en ψ waar zijn (1) en
wanneer φ en ψ onwaar zijn (0).
Waarheidstabellen maken voor propositielogische formules: Als voorbeeld
(𝑝 ∨ ¬𝑞) ↔ (𝑝 → 𝑞):
, p q (p ∨ ¬ q) ↔ (p → q)
1 1 1 1 0 1 1 1 1 1
1 0 1 1 1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 1 1
0 0 0 1 1 0 1 0 1 0
1 3 2 1 4 1 3 1
De (𝑝 ∨ ¬𝑞) ↔ (𝑝 → 𝑞) is dus alleen waar als zowel p en q waar zijn (1) of wanneer p en q
onwaar zijn (0).
Kunnen werken met niet-standaardconnectieven als waarheidstabel gegeven is: Als
voorbeeld: ‘nand’, ofwel niet zowel p als q. Dit betekent dat p en q niet beide tegelijk waar
kunnen zijn en dus is ‘p nand q’ alleen onwaar (0) als zowel p als q waar zijn (1). ‘nor’ is
alleen waar als zowel p als q onwaar zijn (0), alleen dan is ‘p nor q’ waar (1).
Uitspraken in gewone taal kunnen omzetten naar formules in de propositielogica: Kijken
welke propositieletters je kunt gebruiken; daarna ook kijken met welke connectieven je te
maken hebt en kijken wat het bereik van deze connectieven is. Daarmee kun je gemakkelijk
een formule opstellen.
,Leerdoelen H2 (Wetten van de propositielogica):
Weten wat waarderingen zijn: Een toekenning van waarheidswaarden aan propositieletters.
Dit kan dan waar of onwaar zijn.
De begrippen tautologie, contradictie, contingentie, logische equivalentie en logisch gevolg
kennen en hanteren: Een tautologie is een formule in de propositielogica die waar is voor
elke waardering. Een contradictie is een formule in de propositielogica die onwaar is voor
elke waardering. Een contingentie is een formule in de propositielogica die geen tautologie is
en ook geen contradictie; de formule is minstens waar voor één waardering en onwaar voor
één waardering.
Logisch equivalent wil zeggen dat twee formules voor iedere waardering dezelfde
waarheidswaarden hebben. Als φ en ψ logisch equivalent zijn, dan noteren we φ ⇔ ψ. Er
geldt een logische equivalentie als beide formules een logisch gevolg van elkaar zijn, ofwel
φ ⇒ ψ én ψ ⇒ φ, dan geldt φ ⇔ ψ.
De formule ψ is een logisch gevolg van φ1,... φ𝑛 als elke waardering die alle φ1,... φ𝑛 waar
maakt, ook ψ waar maakt: φ1,... φ𝑛 ⇒ ψ.
Het begrip standaardtautologie kennen: Een conjunctieve normaalvorm (CNV) is
bijvoorbeeld een tautologie als ieder conjunct waar is. Dit gebeurt dan en slechts alleen dan
als ieder conjunct een propositieletter (𝑝) en een propositieletter met negatie heeft (¬𝑝).
Weten wat ⊤ (verum) en ⊥ (falsum) zijn en hoe ze gebruikt worden: Alle tautologieën zijn
logisch equivalent en om een willekeurige tautologie aan te geven, wordt vaak gedaan met ⊤
(verum). Om dus een formule, of een standaardtautologie, korter te schrijven, kun je ⊤
gebruiken. Andersom, als je te maken hebt met een formule die een contradictie is, dan kun
je dit verkorten met ⊥ (falsum). Standaardcontracties (𝑝 ∧ ¬𝑝) worden vaak aangegeven
met het symbool ⊥.
Standaardequivalenties met betrekking tot de connectieven kennen en kunnen gebruiken, in
het bijzonder voor het normaliseren van een formule tot een DNV dan wel CNV: In de
afbeelding hieronder zie je de standaardequivalenties. Als je een formule wilt normaliseren
in een disjunctieve normaalvorm (DNV), dan doe je het volgende:
(1) Vervang eerst → en ↔ met behulp van implicatie- en equivalentie-eliminatie.
(2) Duw de negaties naar binnen tot aan de propositieletters met dubbele negatie en De
Morgan.
(3) Distribueer ∧ over ∨.
Al wil je een formule normaliseren in een conjunctieve normaalvorm (CNV), dan doe je het
volgende:
(1) Vervang eerst → en ↔ met behulp van implicatie- en equivalentie-eliminatie.
, (2) Duw de negaties naar binnen tot aan de propositieletters met dubbele negatie en De
Morgan.
(3) Distribueer ∨ over ∧.
In principe geldt dus voor CNV en DNV hetzelfde, maar stap 3 het distribueren van de
conjuctietekens en disjunctietekens gebeurt net andersom.
Commutativiteit is de eigenschap die zegt dat een bewerking op twee uitdrukkingen ook in
de omgekeerde volgorde mag worden uitgevoerd; dit geldt voor conjuncties en disjuncties,
maar ook voor dubbele implicaties (desda).
Associativiteit is als het niet uitmaakt in welke volgorde de bewerkingen op getallen
gebeuren. Ook nu geldt het weer dat disjuncties en conjuncties associatief zijn.
Distributiviteit staat in het teken van het verspreiden van operaties in de logica. ∧ 𝑒𝑛 ∨ zijn
distributief over elkaar, want: φ ∧ (ψ ∨ χ) ⇔ (φ ∧ ψ) ∨ (φ ∧ ψ) én
φ ∨ (ψ ∧ χ) ⇔ (φ ∨ ψ) ∧ (φ ∨ ψ).
Idempotentie zegt dat een bewerking op twee gelijke argumenten weer hetzelfde element
oplevert. Ook hier zijn ∧ en ∨ idempotent: φ ∨ φ ⇔ φ én φ ∧ φ ⇔ φ.
Absorptie: ∧ 𝑒𝑛 ∨ voldoen aan de absorptiewetten. Absorptie kun je weergeven als:
φ ∧ (φ ∨ ψ) ⇔ φ én φ ∨ (φ ∧ ψ) ⇔ φ.\
Alle tautologieën zijn logisch equivalent en om een willekeurige tautologie aan te geven,
wordt vaak gedaan met ⊤ (verum). Standaardcontracties (𝑝 ∧ ¬𝑝) worden vaak
aangegeven met het symbool ⊥ (falsum).
Dubbele negatie wil zeggen dat ¬¬φ ⇔ φ.
De Wetten van De Morgan stelt men in staat de negatie ‘buiten de haakjes te halen’, mits
we dan de conjunctie in disjunctie omzetten, en omgekeerd: (1) ¬(φ ∧ ψ) ⇔ ¬φ ∨ ¬ψ én
(2) ¬(φ ∨ ψ) ⇔ ¬φ ∧ ¬ψ.
Implicatie-eliminatie: Omdat we equivalenties ook op deelformules mogen toepassen,
betekent dit dat we een implicatie altijd kunnen vervangen door een disjunctie met een
negatie: φ → ψ ⇔ ¬φ ∨ ψ.
Equivalentie-eliminatie: Equivalenties kun je ook vervangen door negaties, disjuncties en
conjuncties: φ ↔ ψ ⇔ (φ ∧ ψ) ∨ (¬φ ∧ ¬ψ).
