Asignatura: Matemáticas
Curso: ESO
,Índice
9. Funciones ................................................................................................. 5
9.1 Concepto de función ........................................................................... 5
9.2 Estudio gráfico de una función ............................................................ 5
9.2.1 Dominio y recorrido .................................................................. 6
9.2.2. Continuidad .............................................................................. 6
9.2.3 Puntos de corte ......................................................................... 6
9.2.4 Crecimiento y decrecimiento .................................................... 7
9.2.5 Máximos y mínimos .................................................................. 8
9.2.6 Periodicidad ............................................................................... 8
9.2.7 Simetría ..................................................................................... 8
9.3 Estudio analítico de dominios ............................................................. 9
9.4 Estudio analítico de puntos de corte ................................................. 10
9.5 Funciones a trozos............................................................................. 10
9.6 Composición de funciones ................................................................ 11
9.7 Asíntotas............................................................................................ 11
9.7.1 Asíntotas verticales ................................................................. 11
9.7.2 Asíntotas horizontales ............................................................. 12
9.7.3 Asíntotas oblicuas.................................................................... 12
9.8 Continuidad de una función a trozos ................................................ 12
9.9 Continuidad de funciones en valor absoluto..................................... 13
10. Funciones lineales, cuadráticas e hipérbolas ...................................... 14
10.1 Funciones polinómicas .................................................................... 14
10.1.1 Función lineal o de proporcionalidad directa ........................ 14
10.1.2 Función afín ........................................................................... 14
10.2 Función cuadrática .......................................................................... 15
10.3 Funciones de proporcionalidad inversa .......................................... 16
10.4 Función logarítmica ......................................................................... 16
10.5 Función exponencial........................................................................ 17
, 10.6 Función seno ................................................................................... 17
10.7 Función coseno ............................................................................... 17
10.8 Función tangente ............................................................................ 18
11. Inecuaciones ........................................................................................ 18
11.1 Desigualdad ..................................................................................... 18
11.2 Inecuaciones de 1º grado con una incógnita .................................. 19
11.3 Inecuaciones de 1º grado con dos incógnitas ................................. 19
11.4 Inecuaciones de 2º grado ................................................................ 20
11.5 Sistemas de dos inecuaciones con una incógnita............................ 20
11.6 Sistemas de dos inecuaciones con dos incógnitas .......................... 21
11.7 Inecuaciones racionales .................................................................. 22
12. Vectores y rectas ................................................................................. 23
12.1 Elementos de un vector .................................................................. 23
12.2 Coordenadas de un vector .............................................................. 23
12.3 Módulo de un vector ....................................................................... 23
12.4 Operaciones con vectores ............................................................... 23
12.4.1 Suma y resta .......................................................................... 23
12.4.2 Producto por un número ....................................................... 24
12.4.3 Producto escalar .................................................................... 24
12.5 Punto medio de un segmento ......................................................... 24
12.6 Vectores paralelos y perpendiculares ............................................. 24
12.7 Vectores gráficamente .................................................................... 24
12.7.1 Suma de vectores gráficamente ............................................ 25
12.8 Ecuaciones de la recta ..................................................................... 26
12.8.1 Ecuación vectorial ................................................................. 26
12.8.2 Ecuaciones paramétricas ...................................................... 26
12.8.3 Ecuación continua ................................................................. 26
12.8.4 Ecuación general ................................................................... 26
12.8.5 Ecuación punto-pendiente .................................................... 26
, 12.8.6 Ecuación explícita .................................................................. 26
12.9 Posiciones relativas de dos rectas ................................................... 26
12.10 Vector unitario .............................................................................. 27
12.11 Distancia entre dos puntos............................................................ 27
12.12 Punto simétrico a un punto ........................................................... 27
12.13 Distancia punto-recta / entre rectas ............................................. 28
13. Límites de una función ........................................................................ 29
13.1 Límite de una función en un punto ................................................. 29
13.2 Límites laterales .............................................................................. 29
13.3 Propiedades de los límites .............................................................. 30
13.4 Indeterminaciones .......................................................................... 31
13.4.1 Infinito entre infinito ............................................................. 31
13.4.2 Infinito menos infinito ........................................................... 32
13.4.3 Cero entre cero ..................................................................... 32
13.4.4 Número entre cero ................................................................ 33
13.4.5 Uno elevado a infinito ........................................................... 33
14. Derivadas ............................................................................................. 34
14.1 Reglas de derivación básicas y de funciones compuestas ............... 34
14.2 Propiedades de las derivadas .......................................................... 35
14.3 Interpretación geométrica de la derivada ....................................... 35
14.3.1 Ecuación de la recta tangente ............................................... 36
14.4 Regla de L’ Hôpital ........................................................................... 36
14.5 Monotonía de la función ................................................................. 36
14.5.1 Extremos relativos ................................................................. 38
,9. Funciones
9.1 Concepto de función
• Una función es una relación entre dos magnitudes o variables
numéricas, x e y de forma que para cada valor de x le corresponde un
único valor de y. Una función es una correspondencia.
Ejemplo:
NO es una función ya que para
un valor de x le corresponden
dos valores de y
SI es una función ya que para
un valor de x le corresponden
un único valor de y
9.2 Estudio gráfico de una función
• Para analizar gráficamente una función, hay que analizar las
siguientes características.
5
,9.2.1 Dominio y recorrido
• El dominio de una función ("(") ) es el conjunto de todos los valores
que toma la variable independiente (x). Se representa
$%& (") ó $ (").
• El dominio puede ser un valor concreto del eje x o en la mayoría de
las ocasiones es un intervalo o unión de intervalos.
o [3 +,-%. /0..,1% (2,-%. 34/-531%)
o (3 +,-%. ,630.7% (2,-%. 89 34/-531% )
9.2.2 Continuidad
• Una función es continua cuando se puede dibujar sin levantar el lápiz
del papel (de un solo trazo). En los puntos donde se levanta el lápiz
(es discontinua) se dice que la función presenta una discontinuidad.
La forma de expresar las discontinuidades es indicando el valor de x
en el que se levanta el lápiz.
¡Si la discontinuidad no es infinita, decimos que esa discontinuidad
tiene salto finito, pero si la discontinuidad es infinita, decimos que
esa discontinuidad tiene salto infinito!
Discontinua Continua
9.2.3 Puntos de corte
• Son los puntos donde corta la función en los ejes cartesianos.
o Eje y: (0, y)
o Eje x: (x, 0)
6
,9.2.4 Crecimiento y decrecimiento.
• El crecimiento y el decrecimiento para un valor de x se trata de
estudiar en qué intervalo la función es creciente y en cuales es
decreciente.
• Si "($) > "(%) la función es creciente entre a y b.
Ejemplo:
"($)
"($) > "(%) : >, "54/3ó4 /.0/0
"(%)
• Si "($) < "(%) la función es decreciente entre a y b
Ejemplo:
"($)
"($) < "(%) : >, "54/3ó4 10/.0/0
"(%)
• Si "($) = "(%) la función es constante entre a y b
Ejemplo:
"($) = "(%) : >, "54/3ó4 0? /%4?7,470
"($) "(%)
7
,9.2.5 Máximos y mínimos
• Una función continua tiene un máximo en el punto de la gráfica
donde la función entra creciendo y sale decreciendo. NO tiene un
máximo si la función solo crece sin salir decreciendo.
• Una función continua tiene un mínimo en el punto de la gráfica
donde la función entra decreciendo y sale creciendo. NO tiene un
mínimo si la función solo decrece sin salir creciendo.
9.2.6 Periodicidad
• Una función es periódica cuando su gráfica se repite cada cierto
intervalo. Un ejemplo de funciones periódicas son las funciones que
miden ángulos (funciones trigonométricas). Ejemplo: Si es periódica
se repite por cada cierto valor/intervalo.
9.2.7 Simetría
• Una función presenta simetría respecto al eje y (eje de ordenadas)
cuando cumple "(&") = "(") . En este caso decimos que la función
presenta simetría par (si doblo por eje y, se monta una encima de la
otra).
• Una función presenta simetría respecto al origen de coordenadas
cuando se cumple "(&") = −"(") . A esta simetría se la denomina
simetría impar. (si doblo por el eje de ordenadas y luego por el eje x,
se monta una función encima de la otra).
Ejemplo:
Simétrica par Simétrica impar
8
, 9.3 Estudio analítico de dominios
A) Dominio en una función polinómica:
• "(") = A(") ; $%& (" ) = ℝ Ya que la x se puede sustituir por
cualquier valor que le demos como si es C o números
fraccionarios
• Dominio: Conjunto de valores que toma la variable
independiente x.
B) Dominio en una función racional:
'(")
• "(") = ; $%& (" ) = D∀ F ∈ ℝ: I(") ≠ 0L
((")
X pertenece a cualquier número de la recta real mientras que el denominador no sea 0
Ejemplo:
)
• "(") = ; F + 2 = 0 ; F = −2 ; O%-: $%& (" ) = ℝ − {−2}
"*+
C) Dominio en una función irracional:
» En una función irracional cuyo índice sea PAR, el radicando solo
podrá ser cero o un número mayor que cero por lo que para
decir su dominio tendremos que hacer “una inecuación la cual
será el radicando mayor o igual que cero”.
• "(") = √F + − 1 ; $%& (") = (−∞, −1]⋃[1, ∞)
• Solución: F + − 1 ≥ 0 ; (F + 1)(F − 1) ≥ 0
- + (F + 1 )
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
- + (F − 1 )
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
+ - - +
(F − 1)(F + 1)
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Y ∈ (−∞, −1]⋃[1, ∞)
9
, D) Dominio en una función logarítmica:
» En una función logarítmica, (Z = log ) F) la F nunca podrá ser
menor que cero por lo que siempre será “F > 0”.
• "(") = log , (F − 9) ; $%& (") = (9, ∞)
• Solución: F − 9 > 0; F > 9 → Y ∈ (9, ∞)
9.4 Estudio analítico de puntos de corte
- Eje x; y=0 Para sacar los puntos de corte donde corta la función, sustituiremos en la
formula la y por 0 para sacar los puntos de corte con el eje x y la x por 0 para
- Eje y; x=0
sacar los puntos de corte con el eje y.
9.5 Funciones a trozos
• Una función definida a trozos es aquella cuya expresión analítica
contiene más de una fórmula: para distintos valores de la variable
independiente "x" se deben usar distintas fórmulas que permitan
calcular la imagen "y" que les corresponde.
Ejemplo:
2F − 1 ?3 F ≤ −3
• Z = `F + ?3 − 3 < F ≤ 2
3F ?3 F > 2
1º Tramo: 2º Tramo: 3º Tramo:
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Curso: ESO
,Índice
9. Funciones ................................................................................................. 5
9.1 Concepto de función ........................................................................... 5
9.2 Estudio gráfico de una función ............................................................ 5
9.2.1 Dominio y recorrido .................................................................. 6
9.2.2. Continuidad .............................................................................. 6
9.2.3 Puntos de corte ......................................................................... 6
9.2.4 Crecimiento y decrecimiento .................................................... 7
9.2.5 Máximos y mínimos .................................................................. 8
9.2.6 Periodicidad ............................................................................... 8
9.2.7 Simetría ..................................................................................... 8
9.3 Estudio analítico de dominios ............................................................. 9
9.4 Estudio analítico de puntos de corte ................................................. 10
9.5 Funciones a trozos............................................................................. 10
9.6 Composición de funciones ................................................................ 11
9.7 Asíntotas............................................................................................ 11
9.7.1 Asíntotas verticales ................................................................. 11
9.7.2 Asíntotas horizontales ............................................................. 12
9.7.3 Asíntotas oblicuas.................................................................... 12
9.8 Continuidad de una función a trozos ................................................ 12
9.9 Continuidad de funciones en valor absoluto..................................... 13
10. Funciones lineales, cuadráticas e hipérbolas ...................................... 14
10.1 Funciones polinómicas .................................................................... 14
10.1.1 Función lineal o de proporcionalidad directa ........................ 14
10.1.2 Función afín ........................................................................... 14
10.2 Función cuadrática .......................................................................... 15
10.3 Funciones de proporcionalidad inversa .......................................... 16
10.4 Función logarítmica ......................................................................... 16
10.5 Función exponencial........................................................................ 17
, 10.6 Función seno ................................................................................... 17
10.7 Función coseno ............................................................................... 17
10.8 Función tangente ............................................................................ 18
11. Inecuaciones ........................................................................................ 18
11.1 Desigualdad ..................................................................................... 18
11.2 Inecuaciones de 1º grado con una incógnita .................................. 19
11.3 Inecuaciones de 1º grado con dos incógnitas ................................. 19
11.4 Inecuaciones de 2º grado ................................................................ 20
11.5 Sistemas de dos inecuaciones con una incógnita............................ 20
11.6 Sistemas de dos inecuaciones con dos incógnitas .......................... 21
11.7 Inecuaciones racionales .................................................................. 22
12. Vectores y rectas ................................................................................. 23
12.1 Elementos de un vector .................................................................. 23
12.2 Coordenadas de un vector .............................................................. 23
12.3 Módulo de un vector ....................................................................... 23
12.4 Operaciones con vectores ............................................................... 23
12.4.1 Suma y resta .......................................................................... 23
12.4.2 Producto por un número ....................................................... 24
12.4.3 Producto escalar .................................................................... 24
12.5 Punto medio de un segmento ......................................................... 24
12.6 Vectores paralelos y perpendiculares ............................................. 24
12.7 Vectores gráficamente .................................................................... 24
12.7.1 Suma de vectores gráficamente ............................................ 25
12.8 Ecuaciones de la recta ..................................................................... 26
12.8.1 Ecuación vectorial ................................................................. 26
12.8.2 Ecuaciones paramétricas ...................................................... 26
12.8.3 Ecuación continua ................................................................. 26
12.8.4 Ecuación general ................................................................... 26
12.8.5 Ecuación punto-pendiente .................................................... 26
, 12.8.6 Ecuación explícita .................................................................. 26
12.9 Posiciones relativas de dos rectas ................................................... 26
12.10 Vector unitario .............................................................................. 27
12.11 Distancia entre dos puntos............................................................ 27
12.12 Punto simétrico a un punto ........................................................... 27
12.13 Distancia punto-recta / entre rectas ............................................. 28
13. Límites de una función ........................................................................ 29
13.1 Límite de una función en un punto ................................................. 29
13.2 Límites laterales .............................................................................. 29
13.3 Propiedades de los límites .............................................................. 30
13.4 Indeterminaciones .......................................................................... 31
13.4.1 Infinito entre infinito ............................................................. 31
13.4.2 Infinito menos infinito ........................................................... 32
13.4.3 Cero entre cero ..................................................................... 32
13.4.4 Número entre cero ................................................................ 33
13.4.5 Uno elevado a infinito ........................................................... 33
14. Derivadas ............................................................................................. 34
14.1 Reglas de derivación básicas y de funciones compuestas ............... 34
14.2 Propiedades de las derivadas .......................................................... 35
14.3 Interpretación geométrica de la derivada ....................................... 35
14.3.1 Ecuación de la recta tangente ............................................... 36
14.4 Regla de L’ Hôpital ........................................................................... 36
14.5 Monotonía de la función ................................................................. 36
14.5.1 Extremos relativos ................................................................. 38
,9. Funciones
9.1 Concepto de función
• Una función es una relación entre dos magnitudes o variables
numéricas, x e y de forma que para cada valor de x le corresponde un
único valor de y. Una función es una correspondencia.
Ejemplo:
NO es una función ya que para
un valor de x le corresponden
dos valores de y
SI es una función ya que para
un valor de x le corresponden
un único valor de y
9.2 Estudio gráfico de una función
• Para analizar gráficamente una función, hay que analizar las
siguientes características.
5
,9.2.1 Dominio y recorrido
• El dominio de una función ("(") ) es el conjunto de todos los valores
que toma la variable independiente (x). Se representa
$%& (") ó $ (").
• El dominio puede ser un valor concreto del eje x o en la mayoría de
las ocasiones es un intervalo o unión de intervalos.
o [3 +,-%. /0..,1% (2,-%. 34/-531%)
o (3 +,-%. ,630.7% (2,-%. 89 34/-531% )
9.2.2 Continuidad
• Una función es continua cuando se puede dibujar sin levantar el lápiz
del papel (de un solo trazo). En los puntos donde se levanta el lápiz
(es discontinua) se dice que la función presenta una discontinuidad.
La forma de expresar las discontinuidades es indicando el valor de x
en el que se levanta el lápiz.
¡Si la discontinuidad no es infinita, decimos que esa discontinuidad
tiene salto finito, pero si la discontinuidad es infinita, decimos que
esa discontinuidad tiene salto infinito!
Discontinua Continua
9.2.3 Puntos de corte
• Son los puntos donde corta la función en los ejes cartesianos.
o Eje y: (0, y)
o Eje x: (x, 0)
6
,9.2.4 Crecimiento y decrecimiento.
• El crecimiento y el decrecimiento para un valor de x se trata de
estudiar en qué intervalo la función es creciente y en cuales es
decreciente.
• Si "($) > "(%) la función es creciente entre a y b.
Ejemplo:
"($)
"($) > "(%) : >, "54/3ó4 /.0/0
"(%)
• Si "($) < "(%) la función es decreciente entre a y b
Ejemplo:
"($)
"($) < "(%) : >, "54/3ó4 10/.0/0
"(%)
• Si "($) = "(%) la función es constante entre a y b
Ejemplo:
"($) = "(%) : >, "54/3ó4 0? /%4?7,470
"($) "(%)
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,9.2.5 Máximos y mínimos
• Una función continua tiene un máximo en el punto de la gráfica
donde la función entra creciendo y sale decreciendo. NO tiene un
máximo si la función solo crece sin salir decreciendo.
• Una función continua tiene un mínimo en el punto de la gráfica
donde la función entra decreciendo y sale creciendo. NO tiene un
mínimo si la función solo decrece sin salir creciendo.
9.2.6 Periodicidad
• Una función es periódica cuando su gráfica se repite cada cierto
intervalo. Un ejemplo de funciones periódicas son las funciones que
miden ángulos (funciones trigonométricas). Ejemplo: Si es periódica
se repite por cada cierto valor/intervalo.
9.2.7 Simetría
• Una función presenta simetría respecto al eje y (eje de ordenadas)
cuando cumple "(&") = "(") . En este caso decimos que la función
presenta simetría par (si doblo por eje y, se monta una encima de la
otra).
• Una función presenta simetría respecto al origen de coordenadas
cuando se cumple "(&") = −"(") . A esta simetría se la denomina
simetría impar. (si doblo por el eje de ordenadas y luego por el eje x,
se monta una función encima de la otra).
Ejemplo:
Simétrica par Simétrica impar
8
, 9.3 Estudio analítico de dominios
A) Dominio en una función polinómica:
• "(") = A(") ; $%& (" ) = ℝ Ya que la x se puede sustituir por
cualquier valor que le demos como si es C o números
fraccionarios
• Dominio: Conjunto de valores que toma la variable
independiente x.
B) Dominio en una función racional:
'(")
• "(") = ; $%& (" ) = D∀ F ∈ ℝ: I(") ≠ 0L
((")
X pertenece a cualquier número de la recta real mientras que el denominador no sea 0
Ejemplo:
)
• "(") = ; F + 2 = 0 ; F = −2 ; O%-: $%& (" ) = ℝ − {−2}
"*+
C) Dominio en una función irracional:
» En una función irracional cuyo índice sea PAR, el radicando solo
podrá ser cero o un número mayor que cero por lo que para
decir su dominio tendremos que hacer “una inecuación la cual
será el radicando mayor o igual que cero”.
• "(") = √F + − 1 ; $%& (") = (−∞, −1]⋃[1, ∞)
• Solución: F + − 1 ≥ 0 ; (F + 1)(F − 1) ≥ 0
- + (F + 1 )
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
- + (F − 1 )
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
+ - - +
(F − 1)(F + 1)
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Y ∈ (−∞, −1]⋃[1, ∞)
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, D) Dominio en una función logarítmica:
» En una función logarítmica, (Z = log ) F) la F nunca podrá ser
menor que cero por lo que siempre será “F > 0”.
• "(") = log , (F − 9) ; $%& (") = (9, ∞)
• Solución: F − 9 > 0; F > 9 → Y ∈ (9, ∞)
9.4 Estudio analítico de puntos de corte
- Eje x; y=0 Para sacar los puntos de corte donde corta la función, sustituiremos en la
formula la y por 0 para sacar los puntos de corte con el eje x y la x por 0 para
- Eje y; x=0
sacar los puntos de corte con el eje y.
9.5 Funciones a trozos
• Una función definida a trozos es aquella cuya expresión analítica
contiene más de una fórmula: para distintos valores de la variable
independiente "x" se deben usar distintas fórmulas que permitan
calcular la imagen "y" que les corresponde.
Ejemplo:
2F − 1 ?3 F ≤ −3
• Z = `F + ?3 − 3 < F ≤ 2
3F ?3 F > 2
1º Tramo: 2º Tramo: 3º Tramo:
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