Asignatura: Matemáticas
Curso: BACH - PAU
,Índice
19. Matrices ................................................................................................. 4
19.1 Definición .......................................................................................... 4
19.2 Clasificación ....................................................................................... 4
19.2.1 Matriz fila ................................................................................ 4
19.2.2 Matriz columna ....................................................................... 5
19.2.3 Matriz nula .............................................................................. 5
19.2.4 Matriz cuadrada ...................................................................... 5
19.2.5 Matriz rectangular ................................................................... 5
19.3 Tipos de matrices cuadradas ............................................................. 5
19.3.1 Matriz triangular superior ....................................................... 5
19.3.2 Matriz triangular inferior ......................................................... 5
19.3.3 Matriz diagonal........................................................................ 6
19.3.4 Matriz identidad o matriz unidad ............................................ 6
19.4 Matriz traspuesta .............................................................................. 6
19.5 Operaciones con matrices ................................................................. 7
19.5.1 Suma y resta ............................................................................ 7
19.5.2 Producto por un número ......................................................... 7
19.5.3 Producto de matrices .............................................................. 7
19.5.3.1 Matriz fila por matriz columna ................................ 7
19.5.3.2 Matriz por matriz ..................................................... 8
19.6 Rango de una matriz ......................................................................... 9
19.6.1 Combinación lineal de filas o columnas .................................. 9
19.6.2 Rango....................................................................................... 9
19.6.3 Método de Gauss .................................................................. 10
19.7 Matriz inversa .................................................................................. 10
19.8 Ecuaciones matriciales .................................................................... 11
20. Determinantes ..................................................................................... 11
20.1 Definición ........................................................................................ 11
, 20.2 Propiedades .................................................................................... 12
20.3 Menor complementario y adjunto .................................................. 13
20.3.1 Menor complementario ........................................................ 13
20.3.2 Adjunto de un elemento ....................................................... 13
20.4 Determinantes por adjuntos ........................................................... 13
20.5 Rango de una matriz ....................................................................... 14
20.5.1 Menor de una matriz ............................................................. 14
20.5.2 Rango por determinantes...................................................... 14
20.6 Cálculo de la inversa de una matriz ................................................. 15
20.6.1 Matriz de los adjuntos ........................................................... 15
20.6.2 Inversa ................................................................................... 15
21. Sistemas de ecuaciones ....................................................................... 15
21.1 Expresión matricial .......................................................................... 15
21.2 Clasificación ..................................................................................... 16
21.3 Teorema de Rouché – Fröbenius..................................................... 16
21.4 Método de Cramer .......................................................................... 16
,19. Matrices
19.1 Definición
• Una matriz de m filas y n columnas es una tabla de m x n de
números reales en m filas y n columnas.
• Los elementos de la matriz se escriben como !!" de tal manera que
" → fila y % → columna.
• Se llama dimensión de una matriz m x n aquella que tiene m filas y n
Fila
columnas.
Columna
!'' !'( … !'& 1º Fila
&# % & = ( !(' !(( … !(& *
!#' !#( … !#& m Fila, n columna
19.2 Clasificación
2º Columna
19.2.1 Matriz fila
• Aquella que solo tiene una fila:
&' % & = (!'' !'( … !'& )
19.2.2 Matriz columna
• Aquella que tiene una columna
!''
&# % ' = - !…
(' .
!#'
19.2.3 Matriz nula / Matriz cero (O)
• Aquella que todos los elementos son cero
0 0 … 0
(
&# % & = 0 0 … 0*
0 0 … 0
4
,19.2.4 Matriz cuadrada
• Aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas
!'' !'( … !'&
&& % & = ( !(' !(( … !(& *
!&' !&( … !&&
19.2.5 Matriz rectangular
• Aquella que tiene distinto número de filas que de columnas
!'' !'( … !'&
&# % & = ( !(' !(( … !(& *
!#' !#( … !#&
19.3 Tipos de matrices cuadradas
❊ Diagonal principal en una matriz cuadrada:
!'' !'( !')
&) % ) = (!(' !(( !() *
!)' !)( !))
19.3.1 Matriz triangular superior
• Aquella en la que todos los elementos por debajo de la diagonal
principal son ceros
1 2 3
& = (0 5 6*
0 0 9
19.3.2 Matriz triangular inferior
• Aquella en la que todos los elementos por encima de la diagonal
principal son ceros
1 0 0
& = (3 5 0*
5 8 9
5
,19.3.3 Matriz diagonal
• Aquella en la que todos los elementos son 0 a excepción de la
diagonal principal
2 0 0
& = (0 8 0*
0 0 6
19.3.4 Matriz identidad / Matriz unidad (I)
• Aquella en la que todos los elementos son 0 a excepción de la
diagonal principal que son 1
1 0 0
& = (0 1 0*
0 0 1
19.4 Matriz traspuesta
• Se obtiene al cambiar las filas por las columnas. Se denomina (&* )
8 1
8 7 3
& = 7 4* → &* = :
( ;
1 4 7
3 7
❊ Matriz simétrica y antisimétrica PERO CUADRADAS:
• Simétrica: Ocurre cuando una matriz original es igual a la traspuesta
• Antisimétrica: Ocurre cuando una matriz original tiene distinto signo
a la traspuesta
❊ Propiedades de las matrices simétricas y antisimétricas:
1. En una matriz simétrica, los elementos simétricos respecto a la
diagonal principal son iguales
! = >
& = <= ? @B
> @ A
6
, 2. En una matriz antisimétrica, los elementos de la diagonal principal
son ceros y los simétricos respecto a la diagonal principal con
opuestos
0 −= −>
& = (= 0 −@*
> @ 0
19.5 Operaciones con matrices
19.5.1 Suma y resta
• Solo se pueden sumar y restar matrices que tengan la misma
dimensión. Se suman los números de la misma fila y columna y se
coloca en dicha fila o columna de la nueva matriz suma.
1 3 0 2 3 7
& = (−1 4 7 * D = (6 −4 0* →
2 −2 −2 0 3 1
3 6 7
→ & + D = (5 0 7 *
2 1 −1
19.5.2 Producto por un número
• Se multiplica cada uno de los elemntos de la matriz por el número.
2 3 7 4 6 14
D = (6 −4 0* → 2D = (12 −8 0 *
0 3 1 0 6 2
19.5.3 Producto de matrices
19.5.3.1 Matriz fila por matriz columna
• Para poder realizar el producto, la n de la matriz fila tiene que ser
igual a la m de la matriz columna. El resultado es una nueva matriz.
Se multiplica la fila 1 por la columna 1 y el resultado de la suma de
todo ello se coloca en la primera posición.
5
&'%+ = (1 3 −2 4) ; D+%' =- 1.→
0
−1
7
, → G = & · D; G = (1 · 5 + 3 · 1 + (−2) · 0 + 4 · (−1)); G = (4)
19.5.3.2 Matriz por matriz
• El producto de una matriz &# % & por otra matriz D& % , es otra
matriz G# % ,
• Para multiplicar matrices, estas deben cumplir que el número de
columnas de la primera matriz tiene que ser igual al número de filas
que la segunda matriz.
• El resultado es otra nueva matriz con el número de filas de la
primera y el número de columnas de la segunda.
1 3
1 2 0
&=: ; ;D = ( 4 7* →
3 1 4
−2 0
1 · 1 + 2 · 4 + 0 · (−2) 3·1+2·7+0·0
→&·D =I J
3 · 1 + 4 · 1 + 4 · (−2) 3·3+7·1+4·0
• Proceso:
o Primera fila por primera columna à 1º elemento
o Primera fila por segunda columna à 2º elemento
o Segunda fila por primera columna à 3º elemento
o Segunda fila por segunda columna à 4º elemento
❊ Propiedades del producto de matrices:
o Asociativa:& · (D · G ) = (& · D) · G
o Elemento neutro: & · K = K · & = &
o Distributiva: & · (D + G ) = & · D + & · G
o No conmutativa: & · D ≠ D · &
o Matriz original por su inversa: &-' · & = K
¡Cuidado con las igualdades notables!
(& + D)( ≠ &( + D ( + 2&D → (& + D)( = &( + D ( + &D + D&
8
, ❊ Identidad de ángulos dobles:
o Coseno: cos(2P ) = A>Q ( (P) − QR@( (P)
o Seno: QR@(2P ) = 2QR@(P)cos (P)
(*.(0)
o Tangente: ST(2P) = '-*.! (0)
❊ Identidad del ángulo mitad:
0 ' - 234 (0)
o QR@ : ( ; = ±V
(
0 ' 5 234 (0)
o A>Q : ( ; = ±V (
0 ' - 234 (0)
o ST : ; = ±V
( ' 5 234 (06)
❊ Razones trigonométricas de suma y resta de ángulos:
*.(0) ± *.(6)
o ST(P ± W) =
'±*.(0) · *.(6)
o A>Q(P ± W ) = cos(P ) · cos(W ) ± sen(W) · QR@(P)
o QR@(P ± W ) = cos(P ) · sen(W ) ± QR@(P ) · cos(W )
19.6 Rango de un matriz
19.6.1 Combinación lineal de filas o columnas
• Una fila o columna de una matriz depende linealmente de las otras
si se cumple que esta se puede poner en combinación lineal de ellas
1 2 3 Z'
(0 −1 2* Z( Z) = 2Z' + Z( → ["@R!\=R@SR ]R^R@]"R@SRQ
2 3 8 Z)
19.6.2 Rango
• El rango de una matriz es el número de filas o columnas no nulas
linealmente independientes.
• El rango por filas es igual al rango por columnas.
1 0 0
K = (0 1 0* → _@!T>(K ) = 3
0 0 1
9
, • Son tres filas linealmente independientes.
19.6.3 Método de Gauss
• Consiste en convertir la matriz inicial en otra matriz distinta cuyos
elementos por debajo de la diagonal principal sean ceros
• Si dos filas o dos columnas son proporcionales, se tachan / no se
toman en cuenta
• Si hay una fila de ceros, tampoco se toman en cuenta
• El rango de la matriz es el número de filas no nulas que tiene la
nueva matriz triangular
1 1 1 0 Z − 2Z 1 1 1 0
` = (2 1 −2 7* ( '
( −2 7*
Z) − 3Z' 2 1
3 2 2 1 3 2 2 1
1 1 1 0 1 1 1 0
(0 −1 −4 7* Z) − Z( (0 −1 −4 7 * → _!@T>(`) = 3
0 −1 −1 1 0 0 3 −6
19.7 Matriz inversa
• La matriz inversa de una matriz CUADRADA “A” de orden “n” es otra
matriz “&-' ” del mismo orden que cumple que “& · &-' = K” ó
“&-' · & = K”.
• Las matrices que tienen matriz inversa se llaman regulares o
invertibles y las que no la tienen se llaman singulares.
• Solo las matrices cuadradas pueden tener inversa.
• Una matriz cuadrada de orden”n” solo puede tener inversa si su
rango es “n”.
❊ Propiedades de una matriz inversa:
o La inversa de la inversa es la propia matriz:
§ (&-' )-' = &
o El orden de factores SÍ importa. Es el siguiente:
§ (& · D)-' = D -' · &-'
o La inversa de la traspuesta es la traspuesta de la inversa:
§ (&* )-' = (&-' )*
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Curso: BACH - PAU
,Índice
19. Matrices ................................................................................................. 4
19.1 Definición .......................................................................................... 4
19.2 Clasificación ....................................................................................... 4
19.2.1 Matriz fila ................................................................................ 4
19.2.2 Matriz columna ....................................................................... 5
19.2.3 Matriz nula .............................................................................. 5
19.2.4 Matriz cuadrada ...................................................................... 5
19.2.5 Matriz rectangular ................................................................... 5
19.3 Tipos de matrices cuadradas ............................................................. 5
19.3.1 Matriz triangular superior ....................................................... 5
19.3.2 Matriz triangular inferior ......................................................... 5
19.3.3 Matriz diagonal........................................................................ 6
19.3.4 Matriz identidad o matriz unidad ............................................ 6
19.4 Matriz traspuesta .............................................................................. 6
19.5 Operaciones con matrices ................................................................. 7
19.5.1 Suma y resta ............................................................................ 7
19.5.2 Producto por un número ......................................................... 7
19.5.3 Producto de matrices .............................................................. 7
19.5.3.1 Matriz fila por matriz columna ................................ 7
19.5.3.2 Matriz por matriz ..................................................... 8
19.6 Rango de una matriz ......................................................................... 9
19.6.1 Combinación lineal de filas o columnas .................................. 9
19.6.2 Rango....................................................................................... 9
19.6.3 Método de Gauss .................................................................. 10
19.7 Matriz inversa .................................................................................. 10
19.8 Ecuaciones matriciales .................................................................... 11
20. Determinantes ..................................................................................... 11
20.1 Definición ........................................................................................ 11
, 20.2 Propiedades .................................................................................... 12
20.3 Menor complementario y adjunto .................................................. 13
20.3.1 Menor complementario ........................................................ 13
20.3.2 Adjunto de un elemento ....................................................... 13
20.4 Determinantes por adjuntos ........................................................... 13
20.5 Rango de una matriz ....................................................................... 14
20.5.1 Menor de una matriz ............................................................. 14
20.5.2 Rango por determinantes...................................................... 14
20.6 Cálculo de la inversa de una matriz ................................................. 15
20.6.1 Matriz de los adjuntos ........................................................... 15
20.6.2 Inversa ................................................................................... 15
21. Sistemas de ecuaciones ....................................................................... 15
21.1 Expresión matricial .......................................................................... 15
21.2 Clasificación ..................................................................................... 16
21.3 Teorema de Rouché – Fröbenius..................................................... 16
21.4 Método de Cramer .......................................................................... 16
,19. Matrices
19.1 Definición
• Una matriz de m filas y n columnas es una tabla de m x n de
números reales en m filas y n columnas.
• Los elementos de la matriz se escriben como !!" de tal manera que
" → fila y % → columna.
• Se llama dimensión de una matriz m x n aquella que tiene m filas y n
Fila
columnas.
Columna
!'' !'( … !'& 1º Fila
&# % & = ( !(' !(( … !(& *
!#' !#( … !#& m Fila, n columna
19.2 Clasificación
2º Columna
19.2.1 Matriz fila
• Aquella que solo tiene una fila:
&' % & = (!'' !'( … !'& )
19.2.2 Matriz columna
• Aquella que tiene una columna
!''
&# % ' = - !…
(' .
!#'
19.2.3 Matriz nula / Matriz cero (O)
• Aquella que todos los elementos son cero
0 0 … 0
(
&# % & = 0 0 … 0*
0 0 … 0
4
,19.2.4 Matriz cuadrada
• Aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas
!'' !'( … !'&
&& % & = ( !(' !(( … !(& *
!&' !&( … !&&
19.2.5 Matriz rectangular
• Aquella que tiene distinto número de filas que de columnas
!'' !'( … !'&
&# % & = ( !(' !(( … !(& *
!#' !#( … !#&
19.3 Tipos de matrices cuadradas
❊ Diagonal principal en una matriz cuadrada:
!'' !'( !')
&) % ) = (!(' !(( !() *
!)' !)( !))
19.3.1 Matriz triangular superior
• Aquella en la que todos los elementos por debajo de la diagonal
principal son ceros
1 2 3
& = (0 5 6*
0 0 9
19.3.2 Matriz triangular inferior
• Aquella en la que todos los elementos por encima de la diagonal
principal son ceros
1 0 0
& = (3 5 0*
5 8 9
5
,19.3.3 Matriz diagonal
• Aquella en la que todos los elementos son 0 a excepción de la
diagonal principal
2 0 0
& = (0 8 0*
0 0 6
19.3.4 Matriz identidad / Matriz unidad (I)
• Aquella en la que todos los elementos son 0 a excepción de la
diagonal principal que son 1
1 0 0
& = (0 1 0*
0 0 1
19.4 Matriz traspuesta
• Se obtiene al cambiar las filas por las columnas. Se denomina (&* )
8 1
8 7 3
& = 7 4* → &* = :
( ;
1 4 7
3 7
❊ Matriz simétrica y antisimétrica PERO CUADRADAS:
• Simétrica: Ocurre cuando una matriz original es igual a la traspuesta
• Antisimétrica: Ocurre cuando una matriz original tiene distinto signo
a la traspuesta
❊ Propiedades de las matrices simétricas y antisimétricas:
1. En una matriz simétrica, los elementos simétricos respecto a la
diagonal principal son iguales
! = >
& = <= ? @B
> @ A
6
, 2. En una matriz antisimétrica, los elementos de la diagonal principal
son ceros y los simétricos respecto a la diagonal principal con
opuestos
0 −= −>
& = (= 0 −@*
> @ 0
19.5 Operaciones con matrices
19.5.1 Suma y resta
• Solo se pueden sumar y restar matrices que tengan la misma
dimensión. Se suman los números de la misma fila y columna y se
coloca en dicha fila o columna de la nueva matriz suma.
1 3 0 2 3 7
& = (−1 4 7 * D = (6 −4 0* →
2 −2 −2 0 3 1
3 6 7
→ & + D = (5 0 7 *
2 1 −1
19.5.2 Producto por un número
• Se multiplica cada uno de los elemntos de la matriz por el número.
2 3 7 4 6 14
D = (6 −4 0* → 2D = (12 −8 0 *
0 3 1 0 6 2
19.5.3 Producto de matrices
19.5.3.1 Matriz fila por matriz columna
• Para poder realizar el producto, la n de la matriz fila tiene que ser
igual a la m de la matriz columna. El resultado es una nueva matriz.
Se multiplica la fila 1 por la columna 1 y el resultado de la suma de
todo ello se coloca en la primera posición.
5
&'%+ = (1 3 −2 4) ; D+%' =- 1.→
0
−1
7
, → G = & · D; G = (1 · 5 + 3 · 1 + (−2) · 0 + 4 · (−1)); G = (4)
19.5.3.2 Matriz por matriz
• El producto de una matriz &# % & por otra matriz D& % , es otra
matriz G# % ,
• Para multiplicar matrices, estas deben cumplir que el número de
columnas de la primera matriz tiene que ser igual al número de filas
que la segunda matriz.
• El resultado es otra nueva matriz con el número de filas de la
primera y el número de columnas de la segunda.
1 3
1 2 0
&=: ; ;D = ( 4 7* →
3 1 4
−2 0
1 · 1 + 2 · 4 + 0 · (−2) 3·1+2·7+0·0
→&·D =I J
3 · 1 + 4 · 1 + 4 · (−2) 3·3+7·1+4·0
• Proceso:
o Primera fila por primera columna à 1º elemento
o Primera fila por segunda columna à 2º elemento
o Segunda fila por primera columna à 3º elemento
o Segunda fila por segunda columna à 4º elemento
❊ Propiedades del producto de matrices:
o Asociativa:& · (D · G ) = (& · D) · G
o Elemento neutro: & · K = K · & = &
o Distributiva: & · (D + G ) = & · D + & · G
o No conmutativa: & · D ≠ D · &
o Matriz original por su inversa: &-' · & = K
¡Cuidado con las igualdades notables!
(& + D)( ≠ &( + D ( + 2&D → (& + D)( = &( + D ( + &D + D&
8
, ❊ Identidad de ángulos dobles:
o Coseno: cos(2P ) = A>Q ( (P) − QR@( (P)
o Seno: QR@(2P ) = 2QR@(P)cos (P)
(*.(0)
o Tangente: ST(2P) = '-*.! (0)
❊ Identidad del ángulo mitad:
0 ' - 234 (0)
o QR@ : ( ; = ±V
(
0 ' 5 234 (0)
o A>Q : ( ; = ±V (
0 ' - 234 (0)
o ST : ; = ±V
( ' 5 234 (06)
❊ Razones trigonométricas de suma y resta de ángulos:
*.(0) ± *.(6)
o ST(P ± W) =
'±*.(0) · *.(6)
o A>Q(P ± W ) = cos(P ) · cos(W ) ± sen(W) · QR@(P)
o QR@(P ± W ) = cos(P ) · sen(W ) ± QR@(P ) · cos(W )
19.6 Rango de un matriz
19.6.1 Combinación lineal de filas o columnas
• Una fila o columna de una matriz depende linealmente de las otras
si se cumple que esta se puede poner en combinación lineal de ellas
1 2 3 Z'
(0 −1 2* Z( Z) = 2Z' + Z( → ["@R!\=R@SR ]R^R@]"R@SRQ
2 3 8 Z)
19.6.2 Rango
• El rango de una matriz es el número de filas o columnas no nulas
linealmente independientes.
• El rango por filas es igual al rango por columnas.
1 0 0
K = (0 1 0* → _@!T>(K ) = 3
0 0 1
9
, • Son tres filas linealmente independientes.
19.6.3 Método de Gauss
• Consiste en convertir la matriz inicial en otra matriz distinta cuyos
elementos por debajo de la diagonal principal sean ceros
• Si dos filas o dos columnas son proporcionales, se tachan / no se
toman en cuenta
• Si hay una fila de ceros, tampoco se toman en cuenta
• El rango de la matriz es el número de filas no nulas que tiene la
nueva matriz triangular
1 1 1 0 Z − 2Z 1 1 1 0
` = (2 1 −2 7* ( '
( −2 7*
Z) − 3Z' 2 1
3 2 2 1 3 2 2 1
1 1 1 0 1 1 1 0
(0 −1 −4 7* Z) − Z( (0 −1 −4 7 * → _!@T>(`) = 3
0 −1 −1 1 0 0 3 −6
19.7 Matriz inversa
• La matriz inversa de una matriz CUADRADA “A” de orden “n” es otra
matriz “&-' ” del mismo orden que cumple que “& · &-' = K” ó
“&-' · & = K”.
• Las matrices que tienen matriz inversa se llaman regulares o
invertibles y las que no la tienen se llaman singulares.
• Solo las matrices cuadradas pueden tener inversa.
• Una matriz cuadrada de orden”n” solo puede tener inversa si su
rango es “n”.
❊ Propiedades de una matriz inversa:
o La inversa de la inversa es la propia matriz:
§ (&-' )-' = &
o El orden de factores SÍ importa. Es el siguiente:
§ (& · D)-' = D -' · &-'
o La inversa de la traspuesta es la traspuesta de la inversa:
§ (&* )-' = (&-' )*
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