Asignatura: Matemáticas
Curso: BACH - PAU
,Índice
22. Vectores en el espacio ........................................................................... 5
22.1 Combinación lineal de vectores ........................................................ 5
22.1.1 Bases........................................................................................ 5
22.2 Aplicaciones de los vectores ............................................................. 6
22.2.1 Vector posición ........................................................................ 6
22.2.2 Punto medio ............................................................................ 6
22.2.3 Dependencia e independencia lineal de vectores ................... 6
22.2.4 Vectores paralelos y puntos alineados .................................... 6
22.3 Producto escalar................................................................................ 7
22.3.1 Interpretación geométrica ...................................................... 7
22.3.2 Propiedades............................................................................. 7
22.3.3 Aplicaciones del producto escalar ........................................... 8
22.4 Producto vectorial ............................................................................. 8
22.4.1 Definición ................................................................................ 8
22.4.2 Interpretación geométrica ...................................................... 8
22.4.3 Propiedades............................................................................. 9
22.4.4 Coordenadas ........................................................................... 9
22.4.5 Aplicaciones del producto vectorial ........................................ 9
22.5 Producto mixto ................................................................................ 10
22.5.1 Definición .............................................................................. 10
22.5.2 Interpretación geométrica .................................................... 10
22.5.3 Aplicaciones del producto mixto ........................................... 10
23. Rectas y planos en el espacio .............................................................. 10
23.1 Ecuaciones de la recta ..................................................................... 10
23.1.1 Ecuación vectorial ................................................................. 10
23.1.2 Ecuaciones paramétricas ....................................................... 10
23.1.3 Ecuación continua ................................................................. 10
23.1.4 Ecuaciones implícitas o cartesianas....................................... 11
, 23.2 Ecuaciones del plano ....................................................................... 11
23.2.1 Ecuación vectorial ................................................................. 11
23.2.2 Ecuaciones paramétricas ....................................................... 11
23.2.3 Ecuación implícita o general .................................................. 11
23.3 Puntos alineados y coplanarios ....................................................... 12
23.3.1 Puntos alineados ................................................................... 12
23.3.2 Puntos coplanarios ................................................................ 12
23.4 Vectores .......................................................................................... 12
23.4.1 Vector perpendicular al plano ............................................... 12
23.4.2 Vector director de una recta expresada con dos planos ....... 12
23.5 Posiciones relativas de una recta y un plano .................................. 13
23.6 Posiciones relativas de dos planos .................................................. 14
23.7 Posiciones relativas de tres planos.................................................. 14
23.8 Posiciones relativas de dos rectas ................................................... 14
23.9 Haces de planos............................................................................... 15
23.9.1 Haz de planos paralelos ......................................................... 15
23.9.2 Haz de planos secantes ......................................................... 15
23.10 Perpendicular común .................................................................... 16
24. Ángulos y distancias ............................................................................ 16
24.1 Ángulos en el espacio ...................................................................... 16
24.1.1 Ángulos entre dos rectas ....................................................... 16
24.1.2 Ángulos entre una recta y un plano ...................................... 16
24.1.3 Ángulos entre dos planos ...................................................... 16
24.2 Proyecciones ortogonales ............................................................... 16
24.2.1 Proyección ortogonal de un punto ........................................ 16
24.2.1.1 Sobre una recta ..................................................... 16
24.2.1.2 Sobre un plano....................................................... 17
24.2.2 Proyección ortogonal de una recta sobre un plano .............. 17
24.3 Puntos simétricos ............................................................................ 18
24.3.1 Simétricos respecto a otro punto .......................................... 18
, 24.3.2 Simétricos respecto a una recta ............................................ 18
24.3.3 Simétricos respecto a un plano ............................................. 18
24.4 Distancias ........................................................................................ 19
24.4.1 Distancia entre dos puntos.................................................... 19
24.4.2 Distancia de un punto a un plano.......................................... 19
24.4.3 Distancia entre dos planos .................................................... 19
24.4.4 Distancia entre una recta y un plano..................................... 19
24.4.5 Distancia entre un punto y una recta .................................... 19
24.4.6 Distancia entre rectas ............................................................ 19
24.5 Lugares geométricos ....................................................................... 20
24.5.1 Superficies equidistantes ...................................................... 20
24.5.2 Superficie esférica ................................................................. 20
,22. Vectores en el espacio
22.1 Combinación lineal de vectores
• Un vector !⃗ es combinación lineal de los vectores #
$$$$⃗! , #
$$$$⃗" , … $$$$⃗
##
cuando se puede expresar de la forma
#
$⃗ = )! · $$$$⃗
#! + )" · $$$$⃗
#" + ⋯ + )# · $$$$⃗
##
• Se dice que !⃗ es combinación lineal de esos vectores cuando
#
$⃗ = )! · $$$$⃗
#! + )" · $$$$⃗
#" + ⋯ + )# · $$$$⃗
##
• Un conjunto de vectores son linealmente independientes si no se
pueden poner en combinación lineal
#
$⃗ ≠ )! · $$$$⃗
#! + )" · $$$$⃗
#" + ⋯ + )# · $$$$⃗
##
22.1.1 Bases
• Una base está formada por vectores linealmente independientes
que coincide con el número de dimensiones. Espacio: 3 / Plano: 2
ℬ = {# $$⃗} / ℬ = {#
$⃗ , !⃗ , 0 $⃗ , !⃗ }
¡En el espacio no puede haber más de tres vectores linealmente
independientes!
¡Cualquier vector externo puede ponerse linelamente dependiente con
una base / puede ponerse en combinación lineal con una base!
Ejemplo:
1 0 0
$⃗
ℬ = 34⃗ , 5⃗ , 67 → 9 = :0 1 0=
0 0 1
5
,22.2 Aplicaciones de los vectores
22.2.1 Vector posición
>(@! , @" , @$ ) → Su vector posición es: $$$$$⃗
B>(@! , @" , @$ )
$$$$$⃗
B>
22.2.2 Punto medio
@! + E! @" + E" @$ + E$
>(@! , @" , @$ ) ; D (E! , E" , E$ ) → F G , , I
2 2 2
22.2.3 Dependencia e independencia lineal de vectores
• Dados J vectores:
o Son linealmente independientes (K% ) cuando el rango de la
matriz que forman sus coordenadas es J: L@JMN = J → (K% )
o Son linealmente dependientes cuando el rango de la matriz
es menor que J: L@JMN < J → (K& )
22.2.4 Vectores paralelos y puntos alineados
• Dos vectores son paralelos si son linealmente dependientes (K& )
(sus coordenadas son proporcionales)
$$$$$⃗ Q >R
• Tres puntos (A, B, C) están alineados si los vectores >D $$$$$⃗ son
linealmente dependientes
6
,22.3 Producto escalar *14.4.3*
$⃗ = (#! , #" , #$ ) ; !⃗ = (!! , !" , !$ )
#
• #
$⃗ · !⃗ = (#! ∙ !! ) + (#" ∙ !" ) + (#$ ∙ !$ )
• #
$⃗ ∙ !⃗ = |#
$⃗| ∙ |!⃗| ∙ cos X
• #
$⃗ ∙ !⃗ = Y(#! )" + (#" )" + (#$ )" · Y(!! )" + (!" )" + (!$ )" ∙ cos X
22.3.1 Interpretación geométrica
• La interpretación geométrica se basa en la proyección gráfica de un
vector sobre otro, como se muestra a continuación:
!⃗
Z[NQ'(⃗ !⃗ #
$⃗
(⃗ ∙ ,
' (⃗ (⃗
'
• Z[NQ'(⃗ !⃗ = |'
. |
· |'.|
En rojo el módulo de la proyección y en azul el vector unitario de u, la
dirección y el sentido de la proyección.
22.3.2 Propiedades
• El producto escalar del mismo vector es el cuadrado de su módulo.
# $⃗ = |#
$⃗ ∙ # $⃗| ∙ |#
$⃗| ∙ cos 0° ; #
$⃗ ∙ # $⃗|"
$⃗ = |#
• El producto escalar cumple la propiedad conmutativa
#
$⃗ ∙ !⃗ = !⃗ ∙ #
$⃗
• El producto escalar cumple la propiedad distributiva
$⃗(!⃗ + 0
# $$⃗) = #
$⃗ · !⃗ + #
$⃗ · 0
$$⃗
7
, • El producto por un número se establece de la siguiente manera:
!⃗(@ · #
$⃗) = @(#
$⃗ · !⃗)
22.3.3 Aplicaciones del producto escalar
ZN^_`_!N: ÁJM#bN @M#cN
• Sacar ángulos entre dos vectores ]deM@`_!N: ÁJM#bN NE`#^N
Re[N: ÁJM#bN _M#@b @ 1
22.4 Producto vectorial
22.4.1 Definición
• El resultado del producto vectorial es otro vector que tiene
o Módulo: |# $⃗ ∧ !⃗ | = |#
$⃗| ∙ |!⃗| ∙ sen X
o Dirección: Perpendicular a #$⃗ y a !⃗
o Sentido: Determinado por la regla de la mano derecha
22.4.2 Interpretación geométrica
• El módulo del producto vectorial de los vectores es igual al área del
paralelogramo que lo definen los vectores
#
$⃗
!⃗
/
• Á[e@ = E · ℎ ; jsen X = |'(⃗|k ; Á[e@ = |!⃗| · |#
$⃗| · sen X ;
Á[e@ = |#
$⃗ ∧ !⃗|
8
,22.4.3 Propiedades
• El módulo del producto vectorial del mismo vector es igual a cero:
|#
$⃗ ∧ # $⃗|" ∙ sen 0° = 0
$⃗| = |#
• El producto vectorial es anticonmutativa:
#
$⃗ ∧ !⃗ = −!⃗ ∧ #
$⃗
• El producto por un número se expresa de la siguiente manera:
(@ · #
$⃗) ∧ !⃗ = @ (#
$⃗ ∧ !⃗ ) = #
$⃗ ∧ (@ · !⃗)
• No cumple la propiedad asociativa:
#
$⃗ ∧ (!⃗ · 0
$$⃗) ≠ (#
$⃗ · !⃗) ∧ 0
$$⃗
• Si el producto vectorial es cero, los vectores son paralelos entre sí:
#
$⃗ ∧ !⃗ = 0 ; #
$⃗ // !⃗
22.4.4 Coordenadas
4⃗ 5⃗ 6$⃗ #" #$ #! #$ #! #"
m #$ m = n ! n n n n $⃗
#
$⃗ ∧ !⃗ = #! #"
" !$ 4
⃗ − !! !$ 5
⃗ + !! !" n 6
!! !" !$
22.4.5 Aplicaciones del producto vectorial
• Cálculo de un vector perpendicular a otros dos
• Cálculo de una base ortogonal
ℬ = {#
$⃗ , (#
$⃗ ∧ !⃗ ), #
$⃗ ∧ (#
$⃗ ∧ !⃗ )}
• Cálculo de áreas:
o Paralelogramo: |#
$⃗ ∧ !⃗ |
|' (⃗|
(⃗ ∧ ,
o Triángulo:
"
9
, 22.5 Producto mixto
22.5.1 Definición
• [# $$⃗] = #
$⃗, !⃗, 0 $⃗ ∧(!⃗ ∧ $$⃗ )
0
22.5.2 Interpretación geométrica
• El valor absoluto del producto mixto es el volumen del
paralelepípedo definido por ellos
q = |[# $$⃗]|
$⃗, !⃗, 0
#! #" #$
Expresión del producto mixto: [# $$⃗] = r !!
$⃗, !⃗, 0 !" !$ r
0! 0" 0$
22.5.3 Aplicaciones del producto mixto
• Volúmenes:
o Paralelepípedo: q = |[# $$⃗]|
$⃗, !⃗, 0
|['
(⃗,,
(⃗,3
((⃗]|
o Tetraedro: q = 5
23. Rectas y planos en el espacio
23.1 Ecuaciones de la recta
• Para hallar las ecuaciones de la recta necesitaremos un punto y un
vector o dos puntos. Z (s, Q, t) Z6 (s6 , Q6 , t6 ) !⃗ = (!! , !" , !$ )
23.1.1 Ecuación vectorial
• (x, y, z) = (s6 , Q6 , t6 ) + t(!! , !" , !$ )
23.1.2 Ecuaciones paramétricas
s = s6 + !! `
• yQ = Q6 + !" `
t = t6 + !$ `
23.1.3 Ecuación continua
787! 989! :8:!
• = =
," ,# ,$
10
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,Índice
22. Vectores en el espacio ........................................................................... 5
22.1 Combinación lineal de vectores ........................................................ 5
22.1.1 Bases........................................................................................ 5
22.2 Aplicaciones de los vectores ............................................................. 6
22.2.1 Vector posición ........................................................................ 6
22.2.2 Punto medio ............................................................................ 6
22.2.3 Dependencia e independencia lineal de vectores ................... 6
22.2.4 Vectores paralelos y puntos alineados .................................... 6
22.3 Producto escalar................................................................................ 7
22.3.1 Interpretación geométrica ...................................................... 7
22.3.2 Propiedades............................................................................. 7
22.3.3 Aplicaciones del producto escalar ........................................... 8
22.4 Producto vectorial ............................................................................. 8
22.4.1 Definición ................................................................................ 8
22.4.2 Interpretación geométrica ...................................................... 8
22.4.3 Propiedades............................................................................. 9
22.4.4 Coordenadas ........................................................................... 9
22.4.5 Aplicaciones del producto vectorial ........................................ 9
22.5 Producto mixto ................................................................................ 10
22.5.1 Definición .............................................................................. 10
22.5.2 Interpretación geométrica .................................................... 10
22.5.3 Aplicaciones del producto mixto ........................................... 10
23. Rectas y planos en el espacio .............................................................. 10
23.1 Ecuaciones de la recta ..................................................................... 10
23.1.1 Ecuación vectorial ................................................................. 10
23.1.2 Ecuaciones paramétricas ....................................................... 10
23.1.3 Ecuación continua ................................................................. 10
23.1.4 Ecuaciones implícitas o cartesianas....................................... 11
, 23.2 Ecuaciones del plano ....................................................................... 11
23.2.1 Ecuación vectorial ................................................................. 11
23.2.2 Ecuaciones paramétricas ....................................................... 11
23.2.3 Ecuación implícita o general .................................................. 11
23.3 Puntos alineados y coplanarios ....................................................... 12
23.3.1 Puntos alineados ................................................................... 12
23.3.2 Puntos coplanarios ................................................................ 12
23.4 Vectores .......................................................................................... 12
23.4.1 Vector perpendicular al plano ............................................... 12
23.4.2 Vector director de una recta expresada con dos planos ....... 12
23.5 Posiciones relativas de una recta y un plano .................................. 13
23.6 Posiciones relativas de dos planos .................................................. 14
23.7 Posiciones relativas de tres planos.................................................. 14
23.8 Posiciones relativas de dos rectas ................................................... 14
23.9 Haces de planos............................................................................... 15
23.9.1 Haz de planos paralelos ......................................................... 15
23.9.2 Haz de planos secantes ......................................................... 15
23.10 Perpendicular común .................................................................... 16
24. Ángulos y distancias ............................................................................ 16
24.1 Ángulos en el espacio ...................................................................... 16
24.1.1 Ángulos entre dos rectas ....................................................... 16
24.1.2 Ángulos entre una recta y un plano ...................................... 16
24.1.3 Ángulos entre dos planos ...................................................... 16
24.2 Proyecciones ortogonales ............................................................... 16
24.2.1 Proyección ortogonal de un punto ........................................ 16
24.2.1.1 Sobre una recta ..................................................... 16
24.2.1.2 Sobre un plano....................................................... 17
24.2.2 Proyección ortogonal de una recta sobre un plano .............. 17
24.3 Puntos simétricos ............................................................................ 18
24.3.1 Simétricos respecto a otro punto .......................................... 18
, 24.3.2 Simétricos respecto a una recta ............................................ 18
24.3.3 Simétricos respecto a un plano ............................................. 18
24.4 Distancias ........................................................................................ 19
24.4.1 Distancia entre dos puntos.................................................... 19
24.4.2 Distancia de un punto a un plano.......................................... 19
24.4.3 Distancia entre dos planos .................................................... 19
24.4.4 Distancia entre una recta y un plano..................................... 19
24.4.5 Distancia entre un punto y una recta .................................... 19
24.4.6 Distancia entre rectas ............................................................ 19
24.5 Lugares geométricos ....................................................................... 20
24.5.1 Superficies equidistantes ...................................................... 20
24.5.2 Superficie esférica ................................................................. 20
,22. Vectores en el espacio
22.1 Combinación lineal de vectores
• Un vector !⃗ es combinación lineal de los vectores #
$$$$⃗! , #
$$$$⃗" , … $$$$⃗
##
cuando se puede expresar de la forma
#
$⃗ = )! · $$$$⃗
#! + )" · $$$$⃗
#" + ⋯ + )# · $$$$⃗
##
• Se dice que !⃗ es combinación lineal de esos vectores cuando
#
$⃗ = )! · $$$$⃗
#! + )" · $$$$⃗
#" + ⋯ + )# · $$$$⃗
##
• Un conjunto de vectores son linealmente independientes si no se
pueden poner en combinación lineal
#
$⃗ ≠ )! · $$$$⃗
#! + )" · $$$$⃗
#" + ⋯ + )# · $$$$⃗
##
22.1.1 Bases
• Una base está formada por vectores linealmente independientes
que coincide con el número de dimensiones. Espacio: 3 / Plano: 2
ℬ = {# $$⃗} / ℬ = {#
$⃗ , !⃗ , 0 $⃗ , !⃗ }
¡En el espacio no puede haber más de tres vectores linealmente
independientes!
¡Cualquier vector externo puede ponerse linelamente dependiente con
una base / puede ponerse en combinación lineal con una base!
Ejemplo:
1 0 0
$⃗
ℬ = 34⃗ , 5⃗ , 67 → 9 = :0 1 0=
0 0 1
5
,22.2 Aplicaciones de los vectores
22.2.1 Vector posición
>(@! , @" , @$ ) → Su vector posición es: $$$$$⃗
B>(@! , @" , @$ )
$$$$$⃗
B>
22.2.2 Punto medio
@! + E! @" + E" @$ + E$
>(@! , @" , @$ ) ; D (E! , E" , E$ ) → F G , , I
2 2 2
22.2.3 Dependencia e independencia lineal de vectores
• Dados J vectores:
o Son linealmente independientes (K% ) cuando el rango de la
matriz que forman sus coordenadas es J: L@JMN = J → (K% )
o Son linealmente dependientes cuando el rango de la matriz
es menor que J: L@JMN < J → (K& )
22.2.4 Vectores paralelos y puntos alineados
• Dos vectores son paralelos si son linealmente dependientes (K& )
(sus coordenadas son proporcionales)
$$$$$⃗ Q >R
• Tres puntos (A, B, C) están alineados si los vectores >D $$$$$⃗ son
linealmente dependientes
6
,22.3 Producto escalar *14.4.3*
$⃗ = (#! , #" , #$ ) ; !⃗ = (!! , !" , !$ )
#
• #
$⃗ · !⃗ = (#! ∙ !! ) + (#" ∙ !" ) + (#$ ∙ !$ )
• #
$⃗ ∙ !⃗ = |#
$⃗| ∙ |!⃗| ∙ cos X
• #
$⃗ ∙ !⃗ = Y(#! )" + (#" )" + (#$ )" · Y(!! )" + (!" )" + (!$ )" ∙ cos X
22.3.1 Interpretación geométrica
• La interpretación geométrica se basa en la proyección gráfica de un
vector sobre otro, como se muestra a continuación:
!⃗
Z[NQ'(⃗ !⃗ #
$⃗
(⃗ ∙ ,
' (⃗ (⃗
'
• Z[NQ'(⃗ !⃗ = |'
. |
· |'.|
En rojo el módulo de la proyección y en azul el vector unitario de u, la
dirección y el sentido de la proyección.
22.3.2 Propiedades
• El producto escalar del mismo vector es el cuadrado de su módulo.
# $⃗ = |#
$⃗ ∙ # $⃗| ∙ |#
$⃗| ∙ cos 0° ; #
$⃗ ∙ # $⃗|"
$⃗ = |#
• El producto escalar cumple la propiedad conmutativa
#
$⃗ ∙ !⃗ = !⃗ ∙ #
$⃗
• El producto escalar cumple la propiedad distributiva
$⃗(!⃗ + 0
# $$⃗) = #
$⃗ · !⃗ + #
$⃗ · 0
$$⃗
7
, • El producto por un número se establece de la siguiente manera:
!⃗(@ · #
$⃗) = @(#
$⃗ · !⃗)
22.3.3 Aplicaciones del producto escalar
ZN^_`_!N: ÁJM#bN @M#cN
• Sacar ángulos entre dos vectores ]deM@`_!N: ÁJM#bN NE`#^N
Re[N: ÁJM#bN _M#@b @ 1
22.4 Producto vectorial
22.4.1 Definición
• El resultado del producto vectorial es otro vector que tiene
o Módulo: |# $⃗ ∧ !⃗ | = |#
$⃗| ∙ |!⃗| ∙ sen X
o Dirección: Perpendicular a #$⃗ y a !⃗
o Sentido: Determinado por la regla de la mano derecha
22.4.2 Interpretación geométrica
• El módulo del producto vectorial de los vectores es igual al área del
paralelogramo que lo definen los vectores
#
$⃗
!⃗
/
• Á[e@ = E · ℎ ; jsen X = |'(⃗|k ; Á[e@ = |!⃗| · |#
$⃗| · sen X ;
Á[e@ = |#
$⃗ ∧ !⃗|
8
,22.4.3 Propiedades
• El módulo del producto vectorial del mismo vector es igual a cero:
|#
$⃗ ∧ # $⃗|" ∙ sen 0° = 0
$⃗| = |#
• El producto vectorial es anticonmutativa:
#
$⃗ ∧ !⃗ = −!⃗ ∧ #
$⃗
• El producto por un número se expresa de la siguiente manera:
(@ · #
$⃗) ∧ !⃗ = @ (#
$⃗ ∧ !⃗ ) = #
$⃗ ∧ (@ · !⃗)
• No cumple la propiedad asociativa:
#
$⃗ ∧ (!⃗ · 0
$$⃗) ≠ (#
$⃗ · !⃗) ∧ 0
$$⃗
• Si el producto vectorial es cero, los vectores son paralelos entre sí:
#
$⃗ ∧ !⃗ = 0 ; #
$⃗ // !⃗
22.4.4 Coordenadas
4⃗ 5⃗ 6$⃗ #" #$ #! #$ #! #"
m #$ m = n ! n n n n $⃗
#
$⃗ ∧ !⃗ = #! #"
" !$ 4
⃗ − !! !$ 5
⃗ + !! !" n 6
!! !" !$
22.4.5 Aplicaciones del producto vectorial
• Cálculo de un vector perpendicular a otros dos
• Cálculo de una base ortogonal
ℬ = {#
$⃗ , (#
$⃗ ∧ !⃗ ), #
$⃗ ∧ (#
$⃗ ∧ !⃗ )}
• Cálculo de áreas:
o Paralelogramo: |#
$⃗ ∧ !⃗ |
|' (⃗|
(⃗ ∧ ,
o Triángulo:
"
9
, 22.5 Producto mixto
22.5.1 Definición
• [# $$⃗] = #
$⃗, !⃗, 0 $⃗ ∧(!⃗ ∧ $$⃗ )
0
22.5.2 Interpretación geométrica
• El valor absoluto del producto mixto es el volumen del
paralelepípedo definido por ellos
q = |[# $$⃗]|
$⃗, !⃗, 0
#! #" #$
Expresión del producto mixto: [# $$⃗] = r !!
$⃗, !⃗, 0 !" !$ r
0! 0" 0$
22.5.3 Aplicaciones del producto mixto
• Volúmenes:
o Paralelepípedo: q = |[# $$⃗]|
$⃗, !⃗, 0
|['
(⃗,,
(⃗,3
((⃗]|
o Tetraedro: q = 5
23. Rectas y planos en el espacio
23.1 Ecuaciones de la recta
• Para hallar las ecuaciones de la recta necesitaremos un punto y un
vector o dos puntos. Z (s, Q, t) Z6 (s6 , Q6 , t6 ) !⃗ = (!! , !" , !$ )
23.1.1 Ecuación vectorial
• (x, y, z) = (s6 , Q6 , t6 ) + t(!! , !" , !$ )
23.1.2 Ecuaciones paramétricas
s = s6 + !! `
• yQ = Q6 + !" `
t = t6 + !$ `
23.1.3 Ecuación continua
787! 989! :8:!
• = =
," ,# ,$
10
