Asignatura: Matemáticas
Curso: BACH - PAU
,Índice
25. Límites y continuidad ............................................................................ 4
25.1 Límites que conviene conocer ........................................................... 4
25.2 Orden de preferencia del infinito ...................................................... 4
25.3 Indeterminaciones ............................................................................ 4
25.3.1 Cero por infinito ...................................................................... 4
25.3.2 Cero elevado a cero ................................................................. 5
25.4 Continuidad ....................................................................................... 5
25.4.1 Tipos de discontinuidades ....................................................... 5
25.4.2 Funciones en valor absoluto.................................................... 5
25.5 Teorema de Bolzano.......................................................................... 6
25.6 Teorema de Darboux ......................................................................... 7
25.7 Teorema de Weierstrass ................................................................... 7
26. Derivadas ............................................................................................... 8
26.1 Tasa de variación media .................................................................... 8
26.2 Interpretación geométrica ................................................................ 8
26.3 Derivadas laterales ............................................................................ 8
26.4 Derivación logarítmica ...................................................................... 9
26.5 Teorema de Rolle .............................................................................. 9
26.6 Teorema del valor medio ................................................................ 10
26.7 Teorema del valor generalizado ...................................................... 10
27. Funciones (Repaso) .............................................................................. 10
27.1 Dominio ........................................................................................... 10
27.2 Paridad ............................................................................................ 11
27.3 Asíntotas.......................................................................................... 12
27.4 Monotonía ....................................................................................... 13
27.5 Curvatura ......................................................................................... 15
28. Integrales ............................................................................................. 16
28.1 Definición ........................................................................................ 16
,28.2 Integrales inmediatas ...................................................................... 16
28.2.1 Potenciales ............................................................................ 16
28.2.2 Logarítmicas .......................................................................... 16
28.2.3 Exponencial ........................................................................... 16
28.2.4 Seno ....................................................................................... 16
28.2.5 Coseno ................................................................................... 16
28.2.6 Tangente................................................................................ 16
28.2.7 Arco seno ............................................................................... 17
28.2.8 Arco coseno ........................................................................... 17
28.2.9 Arco tangente ........................................................................ 17
28.3 Métodos de integración .................................................................. 17
28.3.1 Integración por partes ........................................................... 17
28.3.2 Integrales racionales ............................................................. 18
28.3.2.1 División de polinomios........................................... 18
28.3.2.2 Descomposición de denominador ......................... 18
28.3.3 Cambio de variable ................................................................ 19
28.3.4 Integrales definidas ............................................................... 20
28.3.4.1 Área encerrada bajo una curva.............................. 20
29. Indeterminaciones ....................................................................... 21
29.1 Infinito entre infinito ................................................................ 21
29.2 Infinito menos infinito .............................................................. 22
29.3 Cero entre cero ........................................................................ 22
29.4 Número entre cero ................................................................... 23
29.5 Uno elevado a infinito .............................................................. 23
,25. Límites y continuidad
25.1 Límites que conviene conocer
• lim $%& ( − lim *+$ ( − lim ,- ( −→ El límite no existe.
!→# !→# !→#
Siempre va a ser un número pero el límite nunca está definido
% % %
• lim $%& ! − lim ! − lim ,- −→ El límite no existe.
!→$ !→$ !→$ !
• lim /& ( = −∞ − lim /& ( = +∞
!→$! !→&#
25.2 Orden de preferencia del infinito
log ( < ( < ( ' < 6 !
• Su uso será la alternativa a L’Hôpital
Ejemplo:
() !
• lim = 7+8 +89%& 9% :8%;%8%&*<6 9%/ <&;<&<,+ = 0
!→# ! "
() ! # %/! $
• lim " = = >:/<*+ L’Hôpital = lim = =0
!→# ! # !→# ,! # #
25.3 Indeterminaciones *29*
25.3.1 Cero por infinito
• En estas indeterminaciones busco aplicar L’Hôpital. Para ello bajo al
%
denominador uno de los productos como -
(%)
Ejemplo:
%!'
!&% (). / $
• lim ( ln G ! H = ∞ · 0 = lim '
%
= $ = >:/<*+ L’Hôpital =
!→# !→# %
1
− (0
= lim + ( (0
= lim 0 =1
!→# −1/( 0 !→# ( + (
4
,25.3.2 Cero elevado a cero
• Para resolver esta indeterminación usaremos la siguiente expresión:
> = % () 1 ; ln % () 1 = ln > ; ln > = ln > ✓
Ejemplo:
' '
' ' ,-.%/
% (% (23 () (23
• lim G!H = 0$ = > ; % %→* (+ % = % %→* (% =
!→#
7+8 +89%& 9% :8%;%8%&*<6 9%/ <&<;<&<,+ = % $ = 1
25.4 Continuidad
• Una función es continua en un punto ( = (4 si se cumple que.
1. Existe la función en el punto → ∃ ;(!0 )
2. Existe el límite de la función → ∃ lim ;(!)
!→!0
3. ;(!0 ) = lim1 ;(!) = lim! ;(!)
!→!0 !→!0
25.4.1 Tipos de discontinuidades
• Evitable: ∃ lim ;(!) pero:
!→!0
o ;(!0 ) ≠ lim ;(!)
!→!0
o La función no está definida en el punto: ;(!0) =
Indeterminación
• De salto finito: ∄ lim ;(!) → lim1 ;(!) ≠ lim! ;(!)
!→!0 !→!0 !→!0
o Los límites laterales no coinciden y no son infinito
• De salto infinito: Si alguno de los límites laterales o los dos son
infinito
o lim ;(!) = ±∞ / lim1 ;(!) / lim! ;(!) = ±∞
!→!0 !→!0 !→!0
25.4.2 Funciones en valor absoluto
• Si tenemos una función en valor absoluto, debemos hacer lo
siguiente:
1. Igualar en valor absoluto a cero y sacar valores de x
2. Establecer la parte en valor absoluto de la función en positivo o
en negativo según esté a la izquierda o a la derecha de x
3. Poner ≤ ó ≥ donde quiera. No importa
5
,Ejemplo:
%
• ;(!) = |( − 3| + |2( + 1| → ( = 3 W ( = −
0
i<-&+ ;(!) = |( − 3| + |2( + 1|:
- - +
- -1/2 + 3 +
1
⎧ −(( − 3) − (2( + 1) $< ( ≤ −
⎪ 2
;(!) = 1
⎨−(( − 3) + (2( + 1) $< − < ( ≤ 3
⎪ 2
⎩ (( − 3) + (2( + 1) $< ( > 3
25.5 Teorema de Bolzano
• Si una función es continua en un intervalo [6, a] y, además, el signo
de ;(7) ≠ ;(8) , entonces existe un número perteneciente al intervalo
[6, a] tal que ;(9) = 0 −→ ∃ c ∈ (e, f) / g(:) = h
6
,25.6 Teorema de Darboux
• Si una función ;(!) es continua en [6, a], entonces en el intervalo
(6, a ) ;(!) toma todos los valores comprendidos entre ;(7) y ;(8)
• Se puede afirmar que la función existe en el intervalo [;(7) , ;(8) ]
25.7 Teorema de Weierstrass
• Si una función es continua en el intervalo [6, a], entonces en ese
intervalo se alcanzará un máximo y un mínimo absolutos
7
,26. Derivadas
26.1 Tasa de variación media
-(2) ;-(3)
• TVM =
8;7
-(%) ;-(%0 )
Definición de derivada: ;′(!0) = lim
!→!0 ! ; !0
26.2 Interpretación geométrica
• La derivada es la pendiente de la recta tangente en un punto
o Recta tangente *18.3.1*: W − ;(!0 ) = ;′(!0 ) (( − (4 )
%
o Recta normal: W − ;(!0) = − (( − (4 )
-<(%0 )
1
o'4=>7? = −
;′(!0 )
7((4 , ;(!0 ))
26.3 Derivadas laterales
• Como la derivada es un límite, se tiene que cumplir que para que
exista la derivada, los límites laterales han de ser iguales. Entonces,
para que exista la derivada de una función continua en un punto,
sus derivadas laterales han de existir y ser iguales. Se dice entonces
que la función es derivable en ese punto.
¡Una función continua puede ser derivable o no pero para que sea
derivable es necesario que sea continua en dicho punto!
(Las funciones en valor absoluto son siempre continuas y nunca derivables)
8
,Ejemplo:
( − 2 $< ( < −2 1 $< ( < −2 ; < (;01 ) = 1
<
;(!) p → ; (!) p ;q <
3( + 2 $< ( ≥ −2 3 $< ( ≥ −2 ; (;0! ) = 3
;′(;01) ≠ ;′(;0! ) No es derivable en ( = −2. Es derivable en ℝ − {−2}
26.4 Derivación logarítmica
• Para derivar una función exponencial es necesario sacar logaritmo
neperiano y derivar a ambos lados de la igualdad.
Ejemplo:
; < (!) $%& (
;(!) = ( @A) ! ; ln ;(!) = sen ( ln ( ; = cos ( ln ( + ;
;(!) (
BC' ! BC' !
;′(!) = ;(!) Gcos ( ln ( + H ; ;′(!) = (( @A) ! ) Gcos ( ln ( + H
! !
26.5 Teorema de Rolle
• Si una función es continua en el intervalo [6, a], derivable en el
intervalo (6, a) y, además, se cumple que ;(7) = ;(8) , entonces
∃ c ∈ (e, f) / g′(:) = h
¡Recordad que en máximos y mínimos de la función, la derivada es cero!
;′(D) = 0
9
, 26.6 Teorema del valor medio
• Si una función es continua en [6, a] y derivable en (6, a), entonces
E(4) ;E(5)
∃ c ∈ (e, f) / g< (:) = F;G
26.7 Teorema del valor generalizado
• Si dos funciones son continuas en [6, a] y derivables en (6, a),
E6 (7) E(4) ;E(5)
entonces ∃ c ∈ (e, f) / =H
H6 (7) (4) ;H(5)
27. Funciones *Repaso*
27.1 Dominio *9.3*
A) Dominio en una función polinómica:
• ;(!) = 7(!) ; x+o (; ) = ℝ Ya que la x se puede sustituir por
cualquier valor que le demos como si es y o números
fraccionarios
• Dominio: Conjunto de valores que toma la variable
independiente x.
B) Dominio en una función racional:
I(%)
• ;(!) = J ; x+o (; ) = z∀ ( ∈ ℝ: |(!) ≠ 0}
(%)
X pertenece a cualquier número de la recta real mientras que el denominador no sea 0
Ejemplo:
D
• ;(!) = !&0 ; ( + 2 = 0 ; ( = −2 ; i+/: x+o (; ) = ℝ − {−2}
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Curso: BACH - PAU
,Índice
25. Límites y continuidad ............................................................................ 4
25.1 Límites que conviene conocer ........................................................... 4
25.2 Orden de preferencia del infinito ...................................................... 4
25.3 Indeterminaciones ............................................................................ 4
25.3.1 Cero por infinito ...................................................................... 4
25.3.2 Cero elevado a cero ................................................................. 5
25.4 Continuidad ....................................................................................... 5
25.4.1 Tipos de discontinuidades ....................................................... 5
25.4.2 Funciones en valor absoluto.................................................... 5
25.5 Teorema de Bolzano.......................................................................... 6
25.6 Teorema de Darboux ......................................................................... 7
25.7 Teorema de Weierstrass ................................................................... 7
26. Derivadas ............................................................................................... 8
26.1 Tasa de variación media .................................................................... 8
26.2 Interpretación geométrica ................................................................ 8
26.3 Derivadas laterales ............................................................................ 8
26.4 Derivación logarítmica ...................................................................... 9
26.5 Teorema de Rolle .............................................................................. 9
26.6 Teorema del valor medio ................................................................ 10
26.7 Teorema del valor generalizado ...................................................... 10
27. Funciones (Repaso) .............................................................................. 10
27.1 Dominio ........................................................................................... 10
27.2 Paridad ............................................................................................ 11
27.3 Asíntotas.......................................................................................... 12
27.4 Monotonía ....................................................................................... 13
27.5 Curvatura ......................................................................................... 15
28. Integrales ............................................................................................. 16
28.1 Definición ........................................................................................ 16
,28.2 Integrales inmediatas ...................................................................... 16
28.2.1 Potenciales ............................................................................ 16
28.2.2 Logarítmicas .......................................................................... 16
28.2.3 Exponencial ........................................................................... 16
28.2.4 Seno ....................................................................................... 16
28.2.5 Coseno ................................................................................... 16
28.2.6 Tangente................................................................................ 16
28.2.7 Arco seno ............................................................................... 17
28.2.8 Arco coseno ........................................................................... 17
28.2.9 Arco tangente ........................................................................ 17
28.3 Métodos de integración .................................................................. 17
28.3.1 Integración por partes ........................................................... 17
28.3.2 Integrales racionales ............................................................. 18
28.3.2.1 División de polinomios........................................... 18
28.3.2.2 Descomposición de denominador ......................... 18
28.3.3 Cambio de variable ................................................................ 19
28.3.4 Integrales definidas ............................................................... 20
28.3.4.1 Área encerrada bajo una curva.............................. 20
29. Indeterminaciones ....................................................................... 21
29.1 Infinito entre infinito ................................................................ 21
29.2 Infinito menos infinito .............................................................. 22
29.3 Cero entre cero ........................................................................ 22
29.4 Número entre cero ................................................................... 23
29.5 Uno elevado a infinito .............................................................. 23
,25. Límites y continuidad
25.1 Límites que conviene conocer
• lim $%& ( − lim *+$ ( − lim ,- ( −→ El límite no existe.
!→# !→# !→#
Siempre va a ser un número pero el límite nunca está definido
% % %
• lim $%& ! − lim ! − lim ,- −→ El límite no existe.
!→$ !→$ !→$ !
• lim /& ( = −∞ − lim /& ( = +∞
!→$! !→&#
25.2 Orden de preferencia del infinito
log ( < ( < ( ' < 6 !
• Su uso será la alternativa a L’Hôpital
Ejemplo:
() !
• lim = 7+8 +89%& 9% :8%;%8%&*<6 9%/ <&;<&<,+ = 0
!→# ! "
() ! # %/! $
• lim " = = >:/<*+ L’Hôpital = lim = =0
!→# ! # !→# ,! # #
25.3 Indeterminaciones *29*
25.3.1 Cero por infinito
• En estas indeterminaciones busco aplicar L’Hôpital. Para ello bajo al
%
denominador uno de los productos como -
(%)
Ejemplo:
%!'
!&% (). / $
• lim ( ln G ! H = ∞ · 0 = lim '
%
= $ = >:/<*+ L’Hôpital =
!→# !→# %
1
− (0
= lim + ( (0
= lim 0 =1
!→# −1/( 0 !→# ( + (
4
,25.3.2 Cero elevado a cero
• Para resolver esta indeterminación usaremos la siguiente expresión:
> = % () 1 ; ln % () 1 = ln > ; ln > = ln > ✓
Ejemplo:
' '
' ' ,-.%/
% (% (23 () (23
• lim G!H = 0$ = > ; % %→* (+ % = % %→* (% =
!→#
7+8 +89%& 9% :8%;%8%&*<6 9%/ <&<;<&<,+ = % $ = 1
25.4 Continuidad
• Una función es continua en un punto ( = (4 si se cumple que.
1. Existe la función en el punto → ∃ ;(!0 )
2. Existe el límite de la función → ∃ lim ;(!)
!→!0
3. ;(!0 ) = lim1 ;(!) = lim! ;(!)
!→!0 !→!0
25.4.1 Tipos de discontinuidades
• Evitable: ∃ lim ;(!) pero:
!→!0
o ;(!0 ) ≠ lim ;(!)
!→!0
o La función no está definida en el punto: ;(!0) =
Indeterminación
• De salto finito: ∄ lim ;(!) → lim1 ;(!) ≠ lim! ;(!)
!→!0 !→!0 !→!0
o Los límites laterales no coinciden y no son infinito
• De salto infinito: Si alguno de los límites laterales o los dos son
infinito
o lim ;(!) = ±∞ / lim1 ;(!) / lim! ;(!) = ±∞
!→!0 !→!0 !→!0
25.4.2 Funciones en valor absoluto
• Si tenemos una función en valor absoluto, debemos hacer lo
siguiente:
1. Igualar en valor absoluto a cero y sacar valores de x
2. Establecer la parte en valor absoluto de la función en positivo o
en negativo según esté a la izquierda o a la derecha de x
3. Poner ≤ ó ≥ donde quiera. No importa
5
,Ejemplo:
%
• ;(!) = |( − 3| + |2( + 1| → ( = 3 W ( = −
0
i<-&+ ;(!) = |( − 3| + |2( + 1|:
- - +
- -1/2 + 3 +
1
⎧ −(( − 3) − (2( + 1) $< ( ≤ −
⎪ 2
;(!) = 1
⎨−(( − 3) + (2( + 1) $< − < ( ≤ 3
⎪ 2
⎩ (( − 3) + (2( + 1) $< ( > 3
25.5 Teorema de Bolzano
• Si una función es continua en un intervalo [6, a] y, además, el signo
de ;(7) ≠ ;(8) , entonces existe un número perteneciente al intervalo
[6, a] tal que ;(9) = 0 −→ ∃ c ∈ (e, f) / g(:) = h
6
,25.6 Teorema de Darboux
• Si una función ;(!) es continua en [6, a], entonces en el intervalo
(6, a ) ;(!) toma todos los valores comprendidos entre ;(7) y ;(8)
• Se puede afirmar que la función existe en el intervalo [;(7) , ;(8) ]
25.7 Teorema de Weierstrass
• Si una función es continua en el intervalo [6, a], entonces en ese
intervalo se alcanzará un máximo y un mínimo absolutos
7
,26. Derivadas
26.1 Tasa de variación media
-(2) ;-(3)
• TVM =
8;7
-(%) ;-(%0 )
Definición de derivada: ;′(!0) = lim
!→!0 ! ; !0
26.2 Interpretación geométrica
• La derivada es la pendiente de la recta tangente en un punto
o Recta tangente *18.3.1*: W − ;(!0 ) = ;′(!0 ) (( − (4 )
%
o Recta normal: W − ;(!0) = − (( − (4 )
-<(%0 )
1
o'4=>7? = −
;′(!0 )
7((4 , ;(!0 ))
26.3 Derivadas laterales
• Como la derivada es un límite, se tiene que cumplir que para que
exista la derivada, los límites laterales han de ser iguales. Entonces,
para que exista la derivada de una función continua en un punto,
sus derivadas laterales han de existir y ser iguales. Se dice entonces
que la función es derivable en ese punto.
¡Una función continua puede ser derivable o no pero para que sea
derivable es necesario que sea continua en dicho punto!
(Las funciones en valor absoluto son siempre continuas y nunca derivables)
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,Ejemplo:
( − 2 $< ( < −2 1 $< ( < −2 ; < (;01 ) = 1
<
;(!) p → ; (!) p ;q <
3( + 2 $< ( ≥ −2 3 $< ( ≥ −2 ; (;0! ) = 3
;′(;01) ≠ ;′(;0! ) No es derivable en ( = −2. Es derivable en ℝ − {−2}
26.4 Derivación logarítmica
• Para derivar una función exponencial es necesario sacar logaritmo
neperiano y derivar a ambos lados de la igualdad.
Ejemplo:
; < (!) $%& (
;(!) = ( @A) ! ; ln ;(!) = sen ( ln ( ; = cos ( ln ( + ;
;(!) (
BC' ! BC' !
;′(!) = ;(!) Gcos ( ln ( + H ; ;′(!) = (( @A) ! ) Gcos ( ln ( + H
! !
26.5 Teorema de Rolle
• Si una función es continua en el intervalo [6, a], derivable en el
intervalo (6, a) y, además, se cumple que ;(7) = ;(8) , entonces
∃ c ∈ (e, f) / g′(:) = h
¡Recordad que en máximos y mínimos de la función, la derivada es cero!
;′(D) = 0
9
, 26.6 Teorema del valor medio
• Si una función es continua en [6, a] y derivable en (6, a), entonces
E(4) ;E(5)
∃ c ∈ (e, f) / g< (:) = F;G
26.7 Teorema del valor generalizado
• Si dos funciones son continuas en [6, a] y derivables en (6, a),
E6 (7) E(4) ;E(5)
entonces ∃ c ∈ (e, f) / =H
H6 (7) (4) ;H(5)
27. Funciones *Repaso*
27.1 Dominio *9.3*
A) Dominio en una función polinómica:
• ;(!) = 7(!) ; x+o (; ) = ℝ Ya que la x se puede sustituir por
cualquier valor que le demos como si es y o números
fraccionarios
• Dominio: Conjunto de valores que toma la variable
independiente x.
B) Dominio en una función racional:
I(%)
• ;(!) = J ; x+o (; ) = z∀ ( ∈ ℝ: |(!) ≠ 0}
(%)
X pertenece a cualquier número de la recta real mientras que el denominador no sea 0
Ejemplo:
D
• ;(!) = !&0 ; ( + 2 = 0 ; ( = −2 ; i+/: x+o (; ) = ℝ − {−2}
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