5Vwo: hoofdstuk 8: Meetkunde met coördinaten
Stelsels vergelijkingen/ kwadraat afsplitsen:
In de vorm: (x +a)2 +( y +b)2 =c
2 2
2 x+ 8 y =5 12 x+ 8 y=5 x + y −4 x +12 y−6=0
2 2
3 x−2 y=4 4 12 x−8 y=16 x −4 x+ y +12 y−6=0
14 x=21 (x−2)2−1+ ( y +5 )2 +25−6=0
x=1,5 ( x−2)2+( y +5)2=35
X invullen in de formule (x,y)=(1,5;..)
Evenwijdige (strijdig) lijnen:
k :ax +by =c enl : px+ qy=r
a b c
evenwijdig als: = ≠ is K // L
p q r
k : px+ ( p+ 1 ) y =5 enl : ( p−1 ) x + ( p−3 ) y=q
p ( p+ 1)
K // L dus =
( p−1) ( p−3)
p ( p−3 ) =( p−1 ) ( p +1 ) p= 1/3
De lijnen k en l zijn evenwijdig voor p=1/3 en voor q= R
Samenvallende (afhankelijk) lijnen: (speciale vorm van evenwijdigheid)
k :ax +by =c enl : px+ qy=r
a b c
samenvallend als : = =
p q r
k : px+ ( p+ 1 ) y =5 enl : ( p−1 ) x + ( p−3 ) y=q
1 1 1 2 2
p= invullen geeft k : x +1 y=5 en l:− x−2 y=q
3 3 3 3 3
1 1
1
3 3 5 1 5
= = = → q=−10
−2 2 q −2 q
−2
3 3
De lijnen k en l vallen samen voor p=1/3 en voor q=-10
Assenvergelijking van een lijn:
x y
De lijn k : + =1snijdt de x-as in het punt (a,0) en de y-as in het punt (0,b) met a ≠ 0 b ≠ 0
a b
x y
Snijdt de lijn l de assen in de punten (4,0) en (0,-5) dan krijg je l : + =1
4 −5
Kruisproduct geeft: −5 x+ 4 y =¿ 20
, De hoek tussen twee lijnen:
Voor de richtingshoek a van de lijn k geldt tan ( a )=rc k en −90 ° <a ≤ 90 °
Voor de hoek φ tussen twee lijnen met richtingshoeken a en b, waarbij a > b,
geldt φ=a−b als a−b ≤ 90 (grootste hoek minus kleinste hoek)
φ=180 °−( a−b ) als a−b> 90°
Bereken in graden nauwkeurig de hoek tussen de lijnen k :2 x−3 y=5 en l :5 x +2 y=3
2 x−3 y=5 5 x+ 2 y =3
−3 y=−2 x +5 2 y=−5 x +3
2 2 2 1 1 1
y= x −1 → rc k = y=−2 x +1 → rc l=−2
3 3 3 2 2 2
2 2
tan ( a )= a=tan−1
3 3 ()
=33,69 … ° 1
2
1
( )
tan ( b )=−2 b=tan −1 −2 =−68,19… °
2
a−b=33,69 °−−68,19 °=102 °
Gevraagde hoek is 180 °−102 °=78 °
Afstand tussen twee punten:
Voor de punten A(Xa, Ya) en B(Xb, Yb) geldt: de afstand tussen A en B is d(A,B) =
√( Xb−Xa)2 +(Yb−Ya)2=√ ∆ x 2 +∆ y 2 (Pythagoras)
De coördinaten van het midden (M) van het lijnstuk AB zijn
1 1
Xm= ( Xa+ Xb ) en Ym= (Ya+Yb)
2 2
Voor q > 0 zijn gegeven de punten A(0, q) en B(q, 5)
a. Druk de afstand tussen de punten A en B uit in q
2 2
d ( A , B ) =√ (q−0) +(5−q) ¿ √ q2 +25−10 q+ q2=√ 2 q2−10 q +25
b. Bereken exact de minimale afstand tussen A en B
2
d ( A , B ) =√ 2q −10 q+ 25
1 2 q−5
d’ (q)= 2
× ( 5 q−10 )= 2
2 √ 2 q −10 q+25 √ 2q −10 q+ 25
d’(q)=0 -> 2q-5=0
2q=5 q=2,5 (invullen in wortelfunctie geeft pos getal -> voldoet)
1
Minimale afstand is q (2,5)= √ 12,5=2 √ 2 (invullen in functie)
2
c. Bereken vanaf welke waarde van q de afstand tussen A en B groter is dan 7.
Voer in Y1= √ 2 x 2−10 x +25 en Y2=7 (schets maken)
Intersect geeft x= 6,772…. dus vanaf q=6,78 let op met afronden!!
Onderling loodrechte lijnen:
Als voor de lijnen k en l geldt dat Rck X Rcl = -1, dan staan de lijnen loodrecht op elkaar.
De lijn l :ax+ by=c staat loodrecht op de lijn l :bx−ay=d
Stel een vergelijking op van de lijn k die door het punt A(6,5) gaat en loodrecht staat op de
lijn l: y= 4x – 1
Stelsels vergelijkingen/ kwadraat afsplitsen:
In de vorm: (x +a)2 +( y +b)2 =c
2 2
2 x+ 8 y =5 12 x+ 8 y=5 x + y −4 x +12 y−6=0
2 2
3 x−2 y=4 4 12 x−8 y=16 x −4 x+ y +12 y−6=0
14 x=21 (x−2)2−1+ ( y +5 )2 +25−6=0
x=1,5 ( x−2)2+( y +5)2=35
X invullen in de formule (x,y)=(1,5;..)
Evenwijdige (strijdig) lijnen:
k :ax +by =c enl : px+ qy=r
a b c
evenwijdig als: = ≠ is K // L
p q r
k : px+ ( p+ 1 ) y =5 enl : ( p−1 ) x + ( p−3 ) y=q
p ( p+ 1)
K // L dus =
( p−1) ( p−3)
p ( p−3 ) =( p−1 ) ( p +1 ) p= 1/3
De lijnen k en l zijn evenwijdig voor p=1/3 en voor q= R
Samenvallende (afhankelijk) lijnen: (speciale vorm van evenwijdigheid)
k :ax +by =c enl : px+ qy=r
a b c
samenvallend als : = =
p q r
k : px+ ( p+ 1 ) y =5 enl : ( p−1 ) x + ( p−3 ) y=q
1 1 1 2 2
p= invullen geeft k : x +1 y=5 en l:− x−2 y=q
3 3 3 3 3
1 1
1
3 3 5 1 5
= = = → q=−10
−2 2 q −2 q
−2
3 3
De lijnen k en l vallen samen voor p=1/3 en voor q=-10
Assenvergelijking van een lijn:
x y
De lijn k : + =1snijdt de x-as in het punt (a,0) en de y-as in het punt (0,b) met a ≠ 0 b ≠ 0
a b
x y
Snijdt de lijn l de assen in de punten (4,0) en (0,-5) dan krijg je l : + =1
4 −5
Kruisproduct geeft: −5 x+ 4 y =¿ 20
, De hoek tussen twee lijnen:
Voor de richtingshoek a van de lijn k geldt tan ( a )=rc k en −90 ° <a ≤ 90 °
Voor de hoek φ tussen twee lijnen met richtingshoeken a en b, waarbij a > b,
geldt φ=a−b als a−b ≤ 90 (grootste hoek minus kleinste hoek)
φ=180 °−( a−b ) als a−b> 90°
Bereken in graden nauwkeurig de hoek tussen de lijnen k :2 x−3 y=5 en l :5 x +2 y=3
2 x−3 y=5 5 x+ 2 y =3
−3 y=−2 x +5 2 y=−5 x +3
2 2 2 1 1 1
y= x −1 → rc k = y=−2 x +1 → rc l=−2
3 3 3 2 2 2
2 2
tan ( a )= a=tan−1
3 3 ()
=33,69 … ° 1
2
1
( )
tan ( b )=−2 b=tan −1 −2 =−68,19… °
2
a−b=33,69 °−−68,19 °=102 °
Gevraagde hoek is 180 °−102 °=78 °
Afstand tussen twee punten:
Voor de punten A(Xa, Ya) en B(Xb, Yb) geldt: de afstand tussen A en B is d(A,B) =
√( Xb−Xa)2 +(Yb−Ya)2=√ ∆ x 2 +∆ y 2 (Pythagoras)
De coördinaten van het midden (M) van het lijnstuk AB zijn
1 1
Xm= ( Xa+ Xb ) en Ym= (Ya+Yb)
2 2
Voor q > 0 zijn gegeven de punten A(0, q) en B(q, 5)
a. Druk de afstand tussen de punten A en B uit in q
2 2
d ( A , B ) =√ (q−0) +(5−q) ¿ √ q2 +25−10 q+ q2=√ 2 q2−10 q +25
b. Bereken exact de minimale afstand tussen A en B
2
d ( A , B ) =√ 2q −10 q+ 25
1 2 q−5
d’ (q)= 2
× ( 5 q−10 )= 2
2 √ 2 q −10 q+25 √ 2q −10 q+ 25
d’(q)=0 -> 2q-5=0
2q=5 q=2,5 (invullen in wortelfunctie geeft pos getal -> voldoet)
1
Minimale afstand is q (2,5)= √ 12,5=2 √ 2 (invullen in functie)
2
c. Bereken vanaf welke waarde van q de afstand tussen A en B groter is dan 7.
Voer in Y1= √ 2 x 2−10 x +25 en Y2=7 (schets maken)
Intersect geeft x= 6,772…. dus vanaf q=6,78 let op met afronden!!
Onderling loodrechte lijnen:
Als voor de lijnen k en l geldt dat Rck X Rcl = -1, dan staan de lijnen loodrecht op elkaar.
De lijn l :ax+ by=c staat loodrecht op de lijn l :bx−ay=d
Stel een vergelijking op van de lijn k die door het punt A(6,5) gaat en loodrecht staat op de
lijn l: y= 4x – 1
