4052THECH SAMENVATTING
Theoretische Chemie
4052THECH
Samenvatting
Pagina 1 van 33
, 4052THECH SAMENVATTING
Inhoudsopgave
Inhoudsopgave 2
C1 Golven en deeltjes 3
C2 Wiskunde 5
C3 Postulaten 8
C4 Schrödingervergelijking 10
C5+6 Eenvoudige systemen 12
C7 Het waterstofatoom 16
C8 Variatietheorema 18
C9 Grotere atomen 21
C10 Born-Oppenheimer 23
C11 LCAO-MO 25
C12 MO-theorie 28
C13 Tweede rij van het PS 30
C14 Kwalitatieve MO-theorie 32
Pagina 2 van 33
, 4052THECH SAMENVATTING
C1 Golven en deeltjes
Aan het einde van de 19de eeuw was de klassieke natuurkunde ‘af’. Bepaalde fenomenen
(zwarte straling, chemische binding) konden daarmee niet verklaard worden. Het blijkt dat de
microscopische wereld zich niet hetzelfde gedraagt als de macroscopische wereld en dat daar
dus nieuwe wetten voor nodig waren, de kwantummechanica.
Dubbel-spleetexperiment
Bij het dubbel-spleetexperiment is er sprake van 2 spleten waar
deeltjes, golven en kwantumdeeltjes op af gestuurd worden en
waarvan de plek wordt gemeten op een scherm. Dit experiment kan
je ook met 1 spleet uitvoeren maar dan is het interferentiepatroon
veel lastiger te meten, dit zie je dan alleen in de satellieten.
Bij deeltjes werken de spleten onafhankelijk van elkaar en volgen
alle deeltjes een eigen traject en zijn ze ten alle tijden te lokaliseren.
Bij golven heb je bij 2 spleten te maken met een
interferentiepatroon waardoor de totale distributie niet meer de som
is van de 2 losse distributies. Golven kunnen ook niet op elk
moment gelokaliseerd worden. Dit volgt ook uit de wiskunde. Bij
golven met de vergelijkingen h1 = A1 cos (ω t + ϕ1 ) en
h2 = A2 cos (ω t + ϕ 2 ) met A1 = A2 (hier is geen sprake van een x-
term omdat alleen de plek van de detector beschouwd wordt). Het
⎛ ϕ1 − ϕ 2 ⎞ ⎛ ϕ + ϕ2 ⎞
optellen van deze golven levert: hR = 2A cos ⎜ ⎟ • cos ⎜ ω t + 1 ⎟ met de goniometrische
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛ a + b⎞ ⎛ a − b⎞
identiteit: cos ( a ) + cos ( b ) = 2 cos ⎜ ⎟ • cos ⎜ . Hieruit komt dat er sprake is van plekken
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎟⎠
⎛ ϕ1 − ϕ 2 ⎞ 1
waar minima ontstaan (destructieve interferentie): cos ⎜
⎝ ⎟⎠ = 0 dus bij ϕ1 − ϕ 2 = ∆ ϕ = π en
2 2
⎛ ϕ1 − ϕ 2 ⎞
constructieve inferentie (maxima): cos ⎜ = 1 en dus ∆ ϕ = 0 . Voor de intensiteit kan
⎝ 2 ⎟⎠
i(ω t+ϕ1 )
gebruik gemaakt worden van de eulerrelatie: eix = cos ( x ) + i • sin ( x ) en volgt: h1 = A1e en
h2 = A2 ei(ω t+ϕ2 ) . Dit geeft bij elkaar opgeteld: h1 + h2 = ( A1eiϕ1 + A2 eiϕ2 ) eiω t . De intensiteit in de
detector is: h1 + h2 = ( h1 + h2 ) • ( h1 + h2 ) = h1 + h2 + h1∗h2 + h1h2 ∗
2 ∗ 2 2
h1 + h2 + h1∗h2 + h1h2 ∗ = A12 + A2 2 + A1 A2 • e−i(ω t+ϕ1 )ei(ω t+ϕ2 ) + A1 A2 ei(ω t+ϕ1 )e−i(ω t+ϕ2 )
2 2
(
= A12 + A2 2 + A1 A2 e−i(ω t+ϕ1 )+i(ω t+ϕ2 ) + ei(ω t+ϕ1 )−i(ω t+ϕ2 ) )
= A12 + A2 2 + A A (e (
1 2
−i ϕ1 −ϕ 2 )
+ ei(ϕ1 −ϕ2 ) )
= A12 + A2 2 + A1 A2 • 2 cos (ϕ1 − ϕ 2 )
Bij kwantumdeeltjes geldt dat er op het scherm een interferentiepatroon ontstaat maar dat er wel
sprake is van een gelokaliseerd traject omdat je elk kwantumdeeltje los kan waarnemen.
h
Om deze golf- en deeltjeseigenschappen te combineren is er sprake van λ = . Dit verklaart ook
p
waarom kwantummechanische eigenschappen in het dagelijks leven geen rol spelen. De massa is
veel te groot en daarom de golflengte veel te klein.
Pagina 3 van 33
, 4052THECH SAMENVATTING
Foto-elektrisch effect
Het foto-elektrisch effect beschrijft hoe licht elektronen kan losmaken uit een metaal nadat je een
bepaalde frequentie bereikt hebt. Meer energie dan deze uittree-energie wordt gebruikt als
kinetische energie voor de elektronen. Met de klassieke fysica zou dit niet kloppen omdat licht als
golf een beetje energie aan alle elektronen zal geven. Dit toont aan dat fotonen als deeltjes
beschouwd kunnen worden. Dit zie je ook bij zwarte straling. Je gaat er daar vanuit dat elk foton
een vaste energie heeft met discrete stappen dus als deeltjes.
Pagina 4 van 33
Theoretische Chemie
4052THECH
Samenvatting
Pagina 1 van 33
, 4052THECH SAMENVATTING
Inhoudsopgave
Inhoudsopgave 2
C1 Golven en deeltjes 3
C2 Wiskunde 5
C3 Postulaten 8
C4 Schrödingervergelijking 10
C5+6 Eenvoudige systemen 12
C7 Het waterstofatoom 16
C8 Variatietheorema 18
C9 Grotere atomen 21
C10 Born-Oppenheimer 23
C11 LCAO-MO 25
C12 MO-theorie 28
C13 Tweede rij van het PS 30
C14 Kwalitatieve MO-theorie 32
Pagina 2 van 33
, 4052THECH SAMENVATTING
C1 Golven en deeltjes
Aan het einde van de 19de eeuw was de klassieke natuurkunde ‘af’. Bepaalde fenomenen
(zwarte straling, chemische binding) konden daarmee niet verklaard worden. Het blijkt dat de
microscopische wereld zich niet hetzelfde gedraagt als de macroscopische wereld en dat daar
dus nieuwe wetten voor nodig waren, de kwantummechanica.
Dubbel-spleetexperiment
Bij het dubbel-spleetexperiment is er sprake van 2 spleten waar
deeltjes, golven en kwantumdeeltjes op af gestuurd worden en
waarvan de plek wordt gemeten op een scherm. Dit experiment kan
je ook met 1 spleet uitvoeren maar dan is het interferentiepatroon
veel lastiger te meten, dit zie je dan alleen in de satellieten.
Bij deeltjes werken de spleten onafhankelijk van elkaar en volgen
alle deeltjes een eigen traject en zijn ze ten alle tijden te lokaliseren.
Bij golven heb je bij 2 spleten te maken met een
interferentiepatroon waardoor de totale distributie niet meer de som
is van de 2 losse distributies. Golven kunnen ook niet op elk
moment gelokaliseerd worden. Dit volgt ook uit de wiskunde. Bij
golven met de vergelijkingen h1 = A1 cos (ω t + ϕ1 ) en
h2 = A2 cos (ω t + ϕ 2 ) met A1 = A2 (hier is geen sprake van een x-
term omdat alleen de plek van de detector beschouwd wordt). Het
⎛ ϕ1 − ϕ 2 ⎞ ⎛ ϕ + ϕ2 ⎞
optellen van deze golven levert: hR = 2A cos ⎜ ⎟ • cos ⎜ ω t + 1 ⎟ met de goniometrische
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛ a + b⎞ ⎛ a − b⎞
identiteit: cos ( a ) + cos ( b ) = 2 cos ⎜ ⎟ • cos ⎜ . Hieruit komt dat er sprake is van plekken
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎟⎠
⎛ ϕ1 − ϕ 2 ⎞ 1
waar minima ontstaan (destructieve interferentie): cos ⎜
⎝ ⎟⎠ = 0 dus bij ϕ1 − ϕ 2 = ∆ ϕ = π en
2 2
⎛ ϕ1 − ϕ 2 ⎞
constructieve inferentie (maxima): cos ⎜ = 1 en dus ∆ ϕ = 0 . Voor de intensiteit kan
⎝ 2 ⎟⎠
i(ω t+ϕ1 )
gebruik gemaakt worden van de eulerrelatie: eix = cos ( x ) + i • sin ( x ) en volgt: h1 = A1e en
h2 = A2 ei(ω t+ϕ2 ) . Dit geeft bij elkaar opgeteld: h1 + h2 = ( A1eiϕ1 + A2 eiϕ2 ) eiω t . De intensiteit in de
detector is: h1 + h2 = ( h1 + h2 ) • ( h1 + h2 ) = h1 + h2 + h1∗h2 + h1h2 ∗
2 ∗ 2 2
h1 + h2 + h1∗h2 + h1h2 ∗ = A12 + A2 2 + A1 A2 • e−i(ω t+ϕ1 )ei(ω t+ϕ2 ) + A1 A2 ei(ω t+ϕ1 )e−i(ω t+ϕ2 )
2 2
(
= A12 + A2 2 + A1 A2 e−i(ω t+ϕ1 )+i(ω t+ϕ2 ) + ei(ω t+ϕ1 )−i(ω t+ϕ2 ) )
= A12 + A2 2 + A A (e (
1 2
−i ϕ1 −ϕ 2 )
+ ei(ϕ1 −ϕ2 ) )
= A12 + A2 2 + A1 A2 • 2 cos (ϕ1 − ϕ 2 )
Bij kwantumdeeltjes geldt dat er op het scherm een interferentiepatroon ontstaat maar dat er wel
sprake is van een gelokaliseerd traject omdat je elk kwantumdeeltje los kan waarnemen.
h
Om deze golf- en deeltjeseigenschappen te combineren is er sprake van λ = . Dit verklaart ook
p
waarom kwantummechanische eigenschappen in het dagelijks leven geen rol spelen. De massa is
veel te groot en daarom de golflengte veel te klein.
Pagina 3 van 33
, 4052THECH SAMENVATTING
Foto-elektrisch effect
Het foto-elektrisch effect beschrijft hoe licht elektronen kan losmaken uit een metaal nadat je een
bepaalde frequentie bereikt hebt. Meer energie dan deze uittree-energie wordt gebruikt als
kinetische energie voor de elektronen. Met de klassieke fysica zou dit niet kloppen omdat licht als
golf een beetje energie aan alle elektronen zal geven. Dit toont aan dat fotonen als deeltjes
beschouwd kunnen worden. Dit zie je ook bij zwarte straling. Je gaat er daar vanuit dat elk foton
een vaste energie heeft met discrete stappen dus als deeltjes.
Pagina 4 van 33
