Explicación teórica
Ecuaciones Diferenciales No Homogéneas: Métodos de Potencias
Las ecuaciones diferenciales lineales decíamos que la solución total de una ecuación diferencial de
esta que era no homogénea era precisamente la solución a la homogénea más la particular ya está
en nuestra solución cuando llamamos serie de potencias vamos a asumir que una solución que de
esta forma desde n 0 hasta infinito es eso n x a la n contiene ya la solución a la homogénea y la
solución a la particular.
Definición de Serie de Potencias
Una serie de potencias en x - a es una serie infinita de la forma ∑∞
𝑛 = 0𝑐𝑛(𝑥−𝑎);; También, se dice
(−1)𝑛+1
que esa serie es una serie de potencias centrada en a; por ejemplo, es ∑∞
𝑛 =1 𝑛2
una serie de
potencias en x centrada en cero.
El conjunto de soluciones de un sistema lineal de primer orden homogéneo tiene estructura de
espacio afín siendo su espacio vectorial asociado al conjunto de soluciones del sistema lineal
homogéneo el desarrollo tenerte este resultado es muy similar al que se realizaba para determinar
las estructuras de las soluciones de las ecuaciones diferenciales de orden superior previamente se
demuestre que una solución general del sistema no homogéneo se puede obtener a partir de una
solución particular de este y la solución general del sistema homogéneo este resultado ya que está
en el estudio para las ecuaciones lineales de primer orden y de orden superior es esencial para
resolver sistemas no homogéneos.
Para una ecuación dada:
se representa primero p(x) y q(x)por series de potencias en potencias de x (o de (x−x0)) si se desea
obtener soluciones de potencias de (x−x0). En muchas ocasiones son polinomios p(x)
y q(x)entonces no es necesario hacer nada en primer paso. Después se supone una solución en la
forma de una serie de potencias con coeficientes desconocidos.
Y esta serie y la obtenida al derivar terminó a término:
, Se introduce en la ecuación. A continuación, se agrupan las potencias semejantes de x y la suma
de los coeficientes de cada potencia de x que se presente se iguala a cero, empezando con los
términos constantes, los términos que incluyen a x, los términos que incluyen a x2 etc. Se
obtienen así relaciones a partir de las cuales es posible determinar de manera sucesiva los
coeficientes desconocidos.
Explicación Práctica
Es decir: consiste en buscar una solución de la ecuación diferencial que pueda expresarse como
una serie de potencias, es decir, una expresión de este tipo:
𝑦′ = 𝑦
𝑦 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥 2 + 𝑐3 𝑥 3 + 𝑐4 𝑥 4 …
Hay algo muy importante que recordar y es que muchas funciones de las que vemos en cálculo las
funciones elementales pueden representarse precisamente como una suma de este tipo, por
ejemplo, las exponenciales el seno del coseno se pueden representar como series de potencias
Entonces lo que se hace es suponer que la solución de esta ecuación diferencial se puede expresar
como una serie de potencias a partir de ahí al hacer la sustitución aquí lo que se va a encontrar es
que estos coeficientes de esta suma infinita o de este polinomio infinito y al encontrar esos
coeficientes pues ya estaríamos encontrando la solución de la ecuación diferencial expresada
como una suma de potencias y esto de aquí también se puede representar en su forma más
compacta con esta anotación
∞
𝑦 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥 + 𝑐3 𝑥 𝑐4 𝑥 + ⋯ = ∑ 𝑐𝑛 𝑥 𝑛
2 3 4
𝑛=0
la anotación sigma anotación de sumatoria en esta anotación fíjense que indicamos en qué valor
inicia el índice que en este caso estamos llamando n y arriba indicamos pues que se trata de
una infinidad de términos es decir empieza en el 0 y se sigue sumando infinitamente aquí
ponemos el término general que sería con x a la n y esto lo que significa es que primero se
sustituye el valor n igual a cero aquí con lo que nos quedaría 0 x a la 0 pero x a la 0 es uno o sea
solamente nos queda 0 que sería el primer término después a eso le vamos a sumar el siguiente
término que es el siguiente número entero que sigue el 0 que sería el 1 entonces sería c 1 x a la 1
que sería este de aquí c 1 x después le sumamos el siguiente término que es ahora pasar al 2 que
sería c 2 x a la 2 aquí está luego el siguiente término que sería cuando en es igual a 3 o se hace 3x a
la 3 y así se siguen sumando todos los términos infinitamente eso es lo que quiere decir esta
anotación de aquí bueno esto de aquí también se llama de mclovin de la función o sea de
taylor alrededor del 0. Este método sirve para resolver una amplia variedad de ecuaciones
diferenciales.
Estamos suponiendo que se puede expresar como una suma de este tipo:
𝑦 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥 2 + 𝑐3 𝑥 3 + 𝑐4 𝑥 4
Ahora para sustituir en nuestra ecuación diferencial necesitamos calcular que y´, es decir, la
derivada “y” en donde la derivada es:
Ecuaciones Diferenciales No Homogéneas: Métodos de Potencias
Las ecuaciones diferenciales lineales decíamos que la solución total de una ecuación diferencial de
esta que era no homogénea era precisamente la solución a la homogénea más la particular ya está
en nuestra solución cuando llamamos serie de potencias vamos a asumir que una solución que de
esta forma desde n 0 hasta infinito es eso n x a la n contiene ya la solución a la homogénea y la
solución a la particular.
Definición de Serie de Potencias
Una serie de potencias en x - a es una serie infinita de la forma ∑∞
𝑛 = 0𝑐𝑛(𝑥−𝑎);; También, se dice
(−1)𝑛+1
que esa serie es una serie de potencias centrada en a; por ejemplo, es ∑∞
𝑛 =1 𝑛2
una serie de
potencias en x centrada en cero.
El conjunto de soluciones de un sistema lineal de primer orden homogéneo tiene estructura de
espacio afín siendo su espacio vectorial asociado al conjunto de soluciones del sistema lineal
homogéneo el desarrollo tenerte este resultado es muy similar al que se realizaba para determinar
las estructuras de las soluciones de las ecuaciones diferenciales de orden superior previamente se
demuestre que una solución general del sistema no homogéneo se puede obtener a partir de una
solución particular de este y la solución general del sistema homogéneo este resultado ya que está
en el estudio para las ecuaciones lineales de primer orden y de orden superior es esencial para
resolver sistemas no homogéneos.
Para una ecuación dada:
se representa primero p(x) y q(x)por series de potencias en potencias de x (o de (x−x0)) si se desea
obtener soluciones de potencias de (x−x0). En muchas ocasiones son polinomios p(x)
y q(x)entonces no es necesario hacer nada en primer paso. Después se supone una solución en la
forma de una serie de potencias con coeficientes desconocidos.
Y esta serie y la obtenida al derivar terminó a término:
, Se introduce en la ecuación. A continuación, se agrupan las potencias semejantes de x y la suma
de los coeficientes de cada potencia de x que se presente se iguala a cero, empezando con los
términos constantes, los términos que incluyen a x, los términos que incluyen a x2 etc. Se
obtienen así relaciones a partir de las cuales es posible determinar de manera sucesiva los
coeficientes desconocidos.
Explicación Práctica
Es decir: consiste en buscar una solución de la ecuación diferencial que pueda expresarse como
una serie de potencias, es decir, una expresión de este tipo:
𝑦′ = 𝑦
𝑦 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥 2 + 𝑐3 𝑥 3 + 𝑐4 𝑥 4 …
Hay algo muy importante que recordar y es que muchas funciones de las que vemos en cálculo las
funciones elementales pueden representarse precisamente como una suma de este tipo, por
ejemplo, las exponenciales el seno del coseno se pueden representar como series de potencias
Entonces lo que se hace es suponer que la solución de esta ecuación diferencial se puede expresar
como una serie de potencias a partir de ahí al hacer la sustitución aquí lo que se va a encontrar es
que estos coeficientes de esta suma infinita o de este polinomio infinito y al encontrar esos
coeficientes pues ya estaríamos encontrando la solución de la ecuación diferencial expresada
como una suma de potencias y esto de aquí también se puede representar en su forma más
compacta con esta anotación
∞
𝑦 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥 + 𝑐3 𝑥 𝑐4 𝑥 + ⋯ = ∑ 𝑐𝑛 𝑥 𝑛
2 3 4
𝑛=0
la anotación sigma anotación de sumatoria en esta anotación fíjense que indicamos en qué valor
inicia el índice que en este caso estamos llamando n y arriba indicamos pues que se trata de
una infinidad de términos es decir empieza en el 0 y se sigue sumando infinitamente aquí
ponemos el término general que sería con x a la n y esto lo que significa es que primero se
sustituye el valor n igual a cero aquí con lo que nos quedaría 0 x a la 0 pero x a la 0 es uno o sea
solamente nos queda 0 que sería el primer término después a eso le vamos a sumar el siguiente
término que es el siguiente número entero que sigue el 0 que sería el 1 entonces sería c 1 x a la 1
que sería este de aquí c 1 x después le sumamos el siguiente término que es ahora pasar al 2 que
sería c 2 x a la 2 aquí está luego el siguiente término que sería cuando en es igual a 3 o se hace 3x a
la 3 y así se siguen sumando todos los términos infinitamente eso es lo que quiere decir esta
anotación de aquí bueno esto de aquí también se llama de mclovin de la función o sea de
taylor alrededor del 0. Este método sirve para resolver una amplia variedad de ecuaciones
diferenciales.
Estamos suponiendo que se puede expresar como una suma de este tipo:
𝑦 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥 2 + 𝑐3 𝑥 3 + 𝑐4 𝑥 4
Ahora para sustituir en nuestra ecuación diferencial necesitamos calcular que y´, es decir, la
derivada “y” en donde la derivada es:
