Ecuación de Euler
Recordemos que tenemos un problema de optimización de la siguiente forma:
𝑡1
max 𝐼 (𝑦) = ∫ 𝐹 (𝑡, 𝑦, 𝑦̇ ) 𝑑𝑡
𝑦(𝑡) 𝑡0
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎
𝑦(𝑡0 ) = 𝑦0
𝑦(𝑡1 ) = 𝑦1
Teorema (Condición de Euler)
Si 𝑦 ∗ (𝑡) es un máximo local del problema de optimización anterior entonces en 𝑦 ∗ (𝑡) se
verifica la siguiente condición:
𝑑
𝐹𝑦 (𝑦 ∗ , 𝑦̇ ∗ , 𝑡) − [𝐹𝑦̇ (𝑦 ∗ , 𝑦̇ ∗ , 𝑡)] = 0 ∀ 𝑡 ∈ [𝑡0 , 𝑡1 ]
𝑑𝑡
Que es la ecuación de Euler, en donde 𝐹𝑦 es la derivada parcial de 𝐹 con respecto a su
primera variable 𝑦, y 𝐹𝑦̇ es la derivada parcial de la función 𝐹 con respecto a su segunda
variable 𝑦̇ .
Y que también se puede escribir como
𝐹𝑦 − 𝐹𝑦̇ 𝑦 𝑦̇ − 𝐹𝑦̇ 𝑦̇ 𝑦̈ − 𝐹𝑦̇ 𝑡 = 0
Algunos casos especiales de la ecuación de Euler
Se ha visto que la ecuación de Euler es una ecuación diferencial de segundo orden. Dicha ecuación
puede ser muy difícil de resolver analíticamente. En algunos casos, la forma de la función
𝐹 permite que la ecuación se pueda expresar de otra forma más simple. Vamos a considerar los
siguientes casos:
a) 𝐹 no depende de 𝑦
b) 𝐹 no depende de 𝑦̇
c) 𝐹 solo depende de 𝑦 y 𝑦̇
Caso a): 𝑭 no depende de 𝒚.
Supongamos que 𝐹 no depende de 𝑦 , es decir sea 𝐹 = 𝐹(𝑦̇ , 𝑡). En este caso es, por tanto, 𝐹𝑥 = 0.
La ecuación de Euler queda
𝑑
[𝐹 (𝑡, 𝑦̇ ) ] = 0
𝑑𝑡 𝑦̇
que es equivalente a
𝐹𝑦̇ (𝑡, 𝑦̇ ) = 𝑐
, Ejemplo
1
max 𝐼 (𝑦) = ∫ (𝑡 2 − 𝑦̇ 2 ) 𝑑𝑡
𝑦(𝑡) 0
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎
𝑦(0) = 1
𝑦(1) = 2
Solución:
Primero identificamos la función 𝐹.
Como 𝐹 no depende de 𝑦, la ecuación de Euler se puede expresar en la forma dada por
𝐹𝑦̇ (𝑡, 𝑦̇ ) = 𝑐
En este caso
Por lo que:
Integrando, queda:
Que es el extremal.
Al considerar las condiciones iniciales y finales queda:
por lo que la única función en la que puede alcanzarse el máximo es:
Caso b): 𝑭 no depende de 𝒚̇
Supongamos que 𝐹 no depende de 𝑦, es decir sea 𝐹 = 𝐹(𝑦, 𝑡). Al ser, en este caso, 𝐹𝑥̇ = 0, la
ecuación de Euler queda:
𝐹𝑥 = 0
que es una ecuación algebraica. La solución a dicha ecuación no dependerá de constantes
arbitrarias, por lo que sólo cumplirá por casualidad las condiciones inicial y final dadas.
Recordemos que tenemos un problema de optimización de la siguiente forma:
𝑡1
max 𝐼 (𝑦) = ∫ 𝐹 (𝑡, 𝑦, 𝑦̇ ) 𝑑𝑡
𝑦(𝑡) 𝑡0
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎
𝑦(𝑡0 ) = 𝑦0
𝑦(𝑡1 ) = 𝑦1
Teorema (Condición de Euler)
Si 𝑦 ∗ (𝑡) es un máximo local del problema de optimización anterior entonces en 𝑦 ∗ (𝑡) se
verifica la siguiente condición:
𝑑
𝐹𝑦 (𝑦 ∗ , 𝑦̇ ∗ , 𝑡) − [𝐹𝑦̇ (𝑦 ∗ , 𝑦̇ ∗ , 𝑡)] = 0 ∀ 𝑡 ∈ [𝑡0 , 𝑡1 ]
𝑑𝑡
Que es la ecuación de Euler, en donde 𝐹𝑦 es la derivada parcial de 𝐹 con respecto a su
primera variable 𝑦, y 𝐹𝑦̇ es la derivada parcial de la función 𝐹 con respecto a su segunda
variable 𝑦̇ .
Y que también se puede escribir como
𝐹𝑦 − 𝐹𝑦̇ 𝑦 𝑦̇ − 𝐹𝑦̇ 𝑦̇ 𝑦̈ − 𝐹𝑦̇ 𝑡 = 0
Algunos casos especiales de la ecuación de Euler
Se ha visto que la ecuación de Euler es una ecuación diferencial de segundo orden. Dicha ecuación
puede ser muy difícil de resolver analíticamente. En algunos casos, la forma de la función
𝐹 permite que la ecuación se pueda expresar de otra forma más simple. Vamos a considerar los
siguientes casos:
a) 𝐹 no depende de 𝑦
b) 𝐹 no depende de 𝑦̇
c) 𝐹 solo depende de 𝑦 y 𝑦̇
Caso a): 𝑭 no depende de 𝒚.
Supongamos que 𝐹 no depende de 𝑦 , es decir sea 𝐹 = 𝐹(𝑦̇ , 𝑡). En este caso es, por tanto, 𝐹𝑥 = 0.
La ecuación de Euler queda
𝑑
[𝐹 (𝑡, 𝑦̇ ) ] = 0
𝑑𝑡 𝑦̇
que es equivalente a
𝐹𝑦̇ (𝑡, 𝑦̇ ) = 𝑐
, Ejemplo
1
max 𝐼 (𝑦) = ∫ (𝑡 2 − 𝑦̇ 2 ) 𝑑𝑡
𝑦(𝑡) 0
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎
𝑦(0) = 1
𝑦(1) = 2
Solución:
Primero identificamos la función 𝐹.
Como 𝐹 no depende de 𝑦, la ecuación de Euler se puede expresar en la forma dada por
𝐹𝑦̇ (𝑡, 𝑦̇ ) = 𝑐
En este caso
Por lo que:
Integrando, queda:
Que es el extremal.
Al considerar las condiciones iniciales y finales queda:
por lo que la única función en la que puede alcanzarse el máximo es:
Caso b): 𝑭 no depende de 𝒚̇
Supongamos que 𝐹 no depende de 𝑦, es decir sea 𝐹 = 𝐹(𝑦, 𝑡). Al ser, en este caso, 𝐹𝑥̇ = 0, la
ecuación de Euler queda:
𝐹𝑥 = 0
que es una ecuación algebraica. La solución a dicha ecuación no dependerá de constantes
arbitrarias, por lo que sólo cumplirá por casualidad las condiciones inicial y final dadas.
