Ejercicios resueltos: Balances microscopicos - Mecánica de Fluidos

SERIE N°2: BALANCES MICROSCOPICOS DE MASA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO (resolución)

PROBLEMA Nº1.- Un fluido newtoniano de densidad constante circula en estado estacionario
por una tubería horizontal, de radio R, entre dos puntos separados por una distancia L, a causa
de la diferencia de presión que existe entre dichos puntos.
Utilizando balances microscópicos se solicita obtener:
a) la ecuación del perfil de velocidad axial vz del fluido en función del radio
b) la ecuación del perfil del esfuerzo  del fluido en función del radio.
Suponer despreciables los efectos propios de la entrada y la salida de la tubería.

𝐵𝑎𝑙𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑚𝑖𝑐𝑟𝑜𝑠𝑐𝑜𝑝𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑎, 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠

𝜕𝜌 1 𝜕(𝜌 ∗ 𝑣𝑟 ) 1 𝜕(𝜌 ∗ 𝑣𝜃 ) 𝜕(𝜌 ∗ 𝑣𝑧 )
+ + + =0
𝜕𝑡 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑧
𝐹𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒: 𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝜕𝜌
𝐸𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜 (𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 − 𝑡 −): =0
𝜕𝑡
𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙: 𝑣𝑟 = 0 𝑦 𝑣𝜃 = 0

𝜕(𝜌 ∗ 𝑣𝑧 ) 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑣𝑧
=𝜌∗ =0 ⇔ =0 ⇒ 𝑣𝑧 ≠ 𝑓(𝑧) 𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 (𝑧)
𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧




𝐵𝑎𝑙𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑚𝑖𝑐𝑟𝑜𝑠𝑐𝑜𝑝𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜, 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠

𝐷𝐼𝑅𝐸𝐶𝐶𝐼𝑂𝑁 𝑅𝐴𝐷𝐼𝐴𝐿 (𝑟):

𝜕𝑣𝑟 𝜕𝑣𝑟 𝑣𝜃 𝜕𝑣𝑟 𝑣𝜃 2 𝜕𝑣𝑟 𝜕𝑃 𝜕 1 𝜕(𝑟 ∗ 𝑣𝑟 ) 1 𝜕 2 𝑣𝑟 2 𝜕𝑣𝜃 𝜕 2 𝑣𝑟
𝜌∗( + 𝑣𝑟 ∗ + ∗ − + 𝑣𝑧 ∗ )=− +𝜇[ ( ∗ )+ 2∗ − ∗ + ] + 𝜌 ∗ 𝑔𝑟
𝜕𝑡 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 2 𝑟 2 𝜕𝜃 𝜕𝑧 2


𝑣𝑟 = 𝑣𝜃 = 0 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑒𝑠 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝑠𝑜𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 ⇒ 𝑠𝑒 𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎 𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑜

𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝐹𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜𝑠

𝜕𝑃 𝜕𝑃
− + 𝜌 ∗ 𝑔𝑟 = 0 ⇔ = 𝜌 ∗ 𝑔𝑟 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑔𝑟 = ‖𝑔⃗‖
𝜕𝑟 𝜕𝑟


𝐷𝐼𝑅𝐸𝐶𝐶𝐼𝑂𝑁 𝐴𝑁𝐺𝑈𝐿𝐴𝑅 (𝜃):

𝜕𝑣𝜃 𝜕𝑣𝜃 𝑣𝜃 𝜕𝑣𝜃 𝑣𝑟 ∗ 𝑣𝜃 𝜕𝑣𝜃 1 𝜕𝑃 𝜕 1 𝜕(𝑟 ∗ 𝑣𝜃 ) 1 𝜕 2 𝑣𝜃 2 𝜕𝑣𝑟 𝜕 2 𝑣𝜃
𝜌∗( + 𝑣𝑟 ∗ + ∗ + + 𝑣𝑧 ∗ )=− ∗ +𝜇[ ( ∗ )+ 2∗ + ∗ + ] + 𝜌 ∗ 𝑔𝜃
𝜕𝑡 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝑟 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 2 𝑟 2 𝜕𝜃 𝜕𝑧 2


𝑣𝑟 = 𝑣𝜃 = 0 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑒𝑠 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝑠𝑜𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 ⇒ 𝑠𝑒 𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎 𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑜

𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝐹𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜𝑠

1 𝜕𝑃 1 𝜕𝑃
− ∗ + 𝜌 ∗ 𝑔𝜃 = 0 ⇔ ∗ = 𝜌 ∗ 𝑔𝜃 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑔𝜃 = 0
𝑟 𝜕𝜃 𝑟 𝜕𝜃

,𝐷𝐼𝑅𝐸𝐶𝐶𝐼𝑂𝑁 𝐴𝑋𝐼𝐴𝐿 (𝑍):

𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑣𝑧 𝑣𝜃 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑃 1 𝜕 𝜕𝑣𝑧 1 𝜕 2 𝑣𝑧 𝜕 2 𝑣𝑧
𝜌∗( + 𝑣𝑟 ∗ + ∗ + 𝑣𝑧 ∗ )=− + 𝜇 [ ∗ (𝑟 ∗ )+ 2∗ + ] + 𝜌 ∗ 𝑔𝑧
𝜕𝑡 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 2 𝜕𝑧 2

𝑣𝑟 = 𝑣𝜃 = 0 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑒𝑠 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝑠𝑜𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒
⇒ 𝑠𝑒 𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎 𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑜
𝜕𝑣𝑧
=0 𝑦𝑎 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑑𝑢𝑗𝑜 𝑝𝑟𝑒𝑣𝑖𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑎
𝜕𝑧

𝑔𝑧 = 0 (𝑙𝑎 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑛𝑜 𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 − 𝑧−)

𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎 𝑎:

𝜕𝑃 1 𝜕 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑃 1 𝜕 𝜕𝑣𝑧
− + 𝜇 [ ∗ (𝑟 ∗ )] = 0 ⇔ = 𝜇 [ ∗ (𝑟 ∗ )]
𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟

𝐿𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛, 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛
𝑃2 𝐿
1 𝜕 𝜕𝑣𝑧 1 𝜕 𝜕𝑣𝑧
∫ 𝑑𝑃 = 𝜇 [ ∗ (𝑟 ∗ )] ∗ ∫ 𝑑𝑧 ⇔ (𝑃2 − 𝑃1 ) = 𝜇 [ ∗ (𝑟 ∗ )] ∗ 𝐿
𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟
𝑃1 0


𝑅𝑒𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛:
𝜕𝑣
𝑟∗ 𝑧
𝑟 𝜕𝑟
(𝑃2 − 𝑃1 ) 𝜕𝑣𝑧 (𝑃2 − 𝑃1 ) 𝑟 2 𝜕𝑣𝑧 (𝑃2 − 𝑃1 ) 𝑟 𝜕𝑣𝑧
∗ ∫ 𝑟 𝑑𝑟 = ∫ 𝑑 (𝑟 ∗ ) ⇔ ∗ =𝑟∗ ⇔ ∗ =
𝜇∗𝐿 𝜕𝑟 𝜇∗𝐿 2 𝜕𝑟 𝜇∗𝐿 2 𝜕𝑟
0 𝑜


𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎 𝑙𝑎 𝑢𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑙 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑙
𝑅 0
(𝑃2 − 𝑃1 ) (𝑃2 − 𝑃1 )
∗ ∫ 𝑟 𝑑𝑟 = ∫ 𝑑𝑣𝑧 ⇔ 𝑣𝑧 (𝑟) = ∗ (𝑟 2 − 𝑅2 )
2∗𝜇∗𝐿 4∗𝜇∗𝐿
𝑟 𝑣𝑧




𝑃𝑒𝑟𝑓𝑖𝑙 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙, 𝑐𝑜𝑛 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑙

(𝑃2 − 𝑃1 )
𝑣𝑧 (𝑟) = ∗ (𝑟 2 − 𝑅2 )
4∗𝜇∗𝐿


𝐸𝑆𝐹𝑈𝐸𝑅𝑍𝑂𝑆 𝐶𝑂𝑅𝑇𝐴𝑁𝑇𝐸𝑆

𝜕 𝑣𝜃 1 𝜕𝑣𝑟
𝜏𝑟𝜃 = 𝜏𝜃𝑟 = −𝜇 [𝑟 ∗ ( )+ ∗ ]=0 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑒𝑠 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝑣𝑟 = 𝑣𝜃 = 0
𝜕𝑟 𝑟 𝑟 𝜕𝜃

𝜕𝑣𝜃 1 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑣𝑧
𝜏𝜃𝑧 = 𝜏𝑧𝜃 = −𝜇 [ + ∗ ]=0 𝑣𝜃 = 0 𝑦 =0
𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝜃

𝜕𝑣𝑟 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑣𝑧 𝜕 (𝑃2 − 𝑃1 ) (𝑃2 − 𝑃1 )
𝜏𝑧𝑟 = 𝜏𝑟𝑧 = −𝜇 [ + ] = −𝜇 ∗ = −𝜇 ∗ [ ∗ (𝑟2 − 𝑅2 )] = − ∗𝑟
𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 4 ∗ 𝜇 ∗ 𝐿 2∗𝐿


𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜𝑠 𝐶𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠, 𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑙

(𝑃1 − 𝑃2 )
𝜏𝑧𝑟 = 𝜏𝑟𝑧 = ∗𝑟
2∗𝐿

, 𝑃1 𝑃2

𝑍=0 𝑍=𝐿


𝐶𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠:

𝑣⃗ (𝑟; 𝜃; 𝑧) = (𝑣𝑟 (𝑟; 𝜃; 𝑧) ; 𝑣𝜃 (𝑟; 𝜃; 𝑧) ; 𝑣𝑧 (𝑟; 𝜃; 𝑧))

𝑣⃗ (𝑟; 𝜃; 𝑧) = (0 ; 0 ; 𝑣𝑧 (𝑟))

(𝑃2 − 𝑃1 )
𝑣⃗ (𝑟; 𝜃; 𝑧) = (0 ; 0 ; ∗ (𝑟 2 − 𝑅2 ))
4∗𝜇∗𝐿



𝐶𝑎𝑚𝑝𝑜 𝐺𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙:

𝑔⃗ (𝑟; 𝜃; 𝑧) = (𝑔𝑟 (𝑟; 𝜃; 𝑧) ; 𝑔𝜃 (𝑟; 𝜃; 𝑧) ; 𝑔𝑧 (𝑟; 𝜃; 𝑧))

𝑔⃗ (𝑟; 𝜃; 𝑧) = (𝑔𝑟 ; 0 ; 0)

𝑁
𝑔⃗ (𝑟; 𝜃; 𝑧) = (9,807 ; 0 ; 0)
𝑘𝑔