CÁLCULO II – INTEGRAL INDEFINIDA 2020
CÁLCULO II – INTEGRAL INDEFINIDA
El problema abordado en la Asignatura Cálculo I fue, dada una función f hallar su función derivada
.
Ahora nos ocuparemos del problema inverso: dada la función derivada , queremos determinar la
función original f.
Muchas aplicaciones del Cálculo se relacionan con ésta situación.
Ejemplo 1:
Determine la función f tal que su derivada es
Resolución:
De lo que sabemos de derivada podemos proponer como solución
Pensando que
[ ]
Pero no es la única función que podemos haber propuesto, por ejemplo, también
Pensando que
[ ]
Y también
√
Pensando que
√
* +
Y podemos escribir una expresión general para la función f buscada
Pensando que
[ ]
Todas las funciones propuestas son solución del problema.
Facultad de Ciencias Exactas y Tecnología Universidad Nacional de Tucumán
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, CÁLCULO II – INTEGRAL INDEFINIDA 2020
Las funciones se denominan antiderivadas de y la función f se denomina antiderivada
de general .
Para evitar confusiones, usaremos letras mayúsculas para denotar las antiderivadas de una función.
DEFINICIÓN
Una función F es una antiderivada o primitiva de una función f si y solo si
Volviendo al Ejemplo 1:
Las funciones son primitivas de y la función f es la primitiva general de .
Teorema: Representación de Antiderivadas
Si F es una antiderivada de f en un intervalo I entonces G es una antiderivada de f en el intervalo I
si y sólo si G es de la forma , donde C es una constante.
La operación de encontrar la antiderivada general de una función se denomina INTEGRACIÓN y
se denota con de la siguiente manera:
∫
Función Diferencial de Una Constante de
integrando la variable de primitiva integración
integración
A ∫ se denomina integral indefinida de y se lee “integral de f de x diferencial de x”.
Volviendo al Ejemplo 1:
El resultado obtenido lo podemos escribir con el símbolo de integral indefinida de la siguiente
manera
∫
Facultad de Ciencias Exactas y Tecnología Universidad Nacional de Tucumán
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, CÁLCULO II – INTEGRAL INDEFINIDA 2020
Observación:
La ecuación ∫ admite muchas soluciones, que difieren en una constante entre si. Eso
significa que las gráficas de dos primitivas cualesquiera de son traslaciones verticales una de la
otra.
La siguiente gráfica muestra varias primitivas
de la forma
∫
En muchas de las aplicaciones de la integración
se nos da suficiente información como para
determinar una primitiva particular. Para
hacerlo, solamente necesitamos conocer un
punto de la primitiva particular que estamos
buscando , a esta información se la
llama condición inicial.
RESULTADO
La integración y la diferenciación son operaciones inversas.
Demostración
• Primero vamos a probar que la diferenciación es el proceso inverso de la integración
[∫ ] [∫ ]
[ ]
[ ]
Por lo tanto , la diferenciación es la proceso inverso de la integración
Facultad de Ciencias Exactas y Tecnología Universidad Nacional de Tucumán
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, CÁLCULO II – INTEGRAL INDEFINIDA 2020
• Segundo probaremos que la integración es la operación inversa de la diferenciación.
∫[ ] ∫
Por lo tanto , la integración es la operación inversa de la diferenciación
Estas características de procesos inversos, nos permiten obtener reglas de integración directamente
de las reglas de derivación
TEOREMA: Reglas Básicas de Integración
1.- Regla de la Constante
∫
2.- Regla de la Potencia
∫
3.- Regla del múltiplo constante
∫ ∫
4.- Regla de la suma o diferencia
∫[ ] ∫ ∫
Ejemplo 2:
Determine la integral indefinida
∫ √ ∫ ∫( √ )
∫ ∫ ∫
√
Resolución:
∫ √ √
∫ ∫
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El problema abordado en la Asignatura Cálculo I fue, dada una función f hallar su función derivada
.
Ahora nos ocuparemos del problema inverso: dada la función derivada , queremos determinar la
función original f.
Muchas aplicaciones del Cálculo se relacionan con ésta situación.
Ejemplo 1:
Determine la función f tal que su derivada es
Resolución:
De lo que sabemos de derivada podemos proponer como solución
Pensando que
[ ]
Pero no es la única función que podemos haber propuesto, por ejemplo, también
Pensando que
[ ]
Y también
√
Pensando que
√
* +
Y podemos escribir una expresión general para la función f buscada
Pensando que
[ ]
Todas las funciones propuestas son solución del problema.
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Las funciones se denominan antiderivadas de y la función f se denomina antiderivada
de general .
Para evitar confusiones, usaremos letras mayúsculas para denotar las antiderivadas de una función.
DEFINICIÓN
Una función F es una antiderivada o primitiva de una función f si y solo si
Volviendo al Ejemplo 1:
Las funciones son primitivas de y la función f es la primitiva general de .
Teorema: Representación de Antiderivadas
Si F es una antiderivada de f en un intervalo I entonces G es una antiderivada de f en el intervalo I
si y sólo si G es de la forma , donde C es una constante.
La operación de encontrar la antiderivada general de una función se denomina INTEGRACIÓN y
se denota con de la siguiente manera:
∫
Función Diferencial de Una Constante de
integrando la variable de primitiva integración
integración
A ∫ se denomina integral indefinida de y se lee “integral de f de x diferencial de x”.
Volviendo al Ejemplo 1:
El resultado obtenido lo podemos escribir con el símbolo de integral indefinida de la siguiente
manera
∫
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Observación:
La ecuación ∫ admite muchas soluciones, que difieren en una constante entre si. Eso
significa que las gráficas de dos primitivas cualesquiera de son traslaciones verticales una de la
otra.
La siguiente gráfica muestra varias primitivas
de la forma
∫
En muchas de las aplicaciones de la integración
se nos da suficiente información como para
determinar una primitiva particular. Para
hacerlo, solamente necesitamos conocer un
punto de la primitiva particular que estamos
buscando , a esta información se la
llama condición inicial.
RESULTADO
La integración y la diferenciación son operaciones inversas.
Demostración
• Primero vamos a probar que la diferenciación es el proceso inverso de la integración
[∫ ] [∫ ]
[ ]
[ ]
Por lo tanto , la diferenciación es la proceso inverso de la integración
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• Segundo probaremos que la integración es la operación inversa de la diferenciación.
∫[ ] ∫
Por lo tanto , la integración es la operación inversa de la diferenciación
Estas características de procesos inversos, nos permiten obtener reglas de integración directamente
de las reglas de derivación
TEOREMA: Reglas Básicas de Integración
1.- Regla de la Constante
∫
2.- Regla de la Potencia
∫
3.- Regla del múltiplo constante
∫ ∫
4.- Regla de la suma o diferencia
∫[ ] ∫ ∫
Ejemplo 2:
Determine la integral indefinida
∫ √ ∫ ∫( √ )
∫ ∫ ∫
√
Resolución:
∫ √ √
∫ ∫
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