Overzicht Stof Deel 2 (samenvatting) Analyse 1 NA

Oneigenlijke integralen:
Improper integrals of type 1:

If f continuous on [a, ∞), we define the improper integral of f over [a, ∞) as a limit of proper integrals




SEHdx-hi.%a7sdx.bjtlsdx-nli.s/b5HdxSbaEl dx-
If f continuous on (-∞, b], then we define




==> als de limiet bestaat, dan convergeert de oneigenlijke integraal; als de limiet niet bestaat, dan divergeert de

oneigenlijke integraal


Improper integrals of type 2:
if f continuous on interval (a,b] and is possibly unbounded near a, we define the improper integral:

↳ dx
Linga ,




if f continuous on [a,b) and is possibly unbounded near b, we define


J !EHdx= Ling f !FHdx -




==> als de limiet bestaat, dan convergeert de oneigenlijke integraal; als de limiet niet bestaat, dan

divergeert de oneigenlijke integraal


p-integrals:

if 0 < a < ∞, then

IT
Ja {
converges to
?
,
is p
.
>

Ca) -


pdx
diverges to no
if p El




pa 'T if pe
{
,
converses to
(b) J! ×
-


pa ,
diverges to re if P ? I

, Zo ook,


↳ Pdx converge ert voor
p > -
l J Pdx diver geert voor alle p




J Pdx Carver geert voor p , -
,
J -


Pdx diver
geert voor alle p

,




A comparison theorem for integrals

Let -∞ < a < b < ∞, and suppose that functions f and g continuous on interval (a,b) and satisfy 0 < f(x) < g(x).



if
Jbagcxsdx converges, then so does fbufcxsdx
and
Sbajcxsdxsfbagcxdx
Equivalently, if J!gCx)dx diverges to ∞, then so does Jbaflxsdx ( and satisfy gas >
5-
Cx) > o )



Vb .
Gu na voor

Xu
Welke a e IR
f! d-
convergent .




De integrand Inc ,
is continue
op ( o te) ,
.
In (E) = -
I
,
dues In ( x) E -
I en x
"
> o .




Xu
Stel

"

genet : O c E X
y ,
×




Jxhdx convergent J J
xu
We we ten dat
By comparison voor a > -
t .
converge ert
-
Inch
dx = -




,
dx dan 00k



Nu toner we aan dat de integrant diver geert voor a -_ -
l :




In 11h (E) I
J !↳d× ft In
'
lnllncxsl
I! ! lnlultc dx=
tiny
=
-
-
du lnllucxjltc
-


→ → = s
-

-




× , a.
i.
Type 2

Xh
J
-
'
x

f
dx diver geert by comparison
Oman .

, diverge ren alle dx voor al -
look want > > 0

Ink) Ink)
,




Dus de integrant convergeert voor a > -
I en diver geert voor as
-
I




vb 2 .
Depaul of de oneiyenhjke integrant J! ! × + ×
converge ert of diver geert .




De integrant is

"
improper of both types
"
,
dies we Kuennen Schryver
J! ! × + ×
t
)! ! × + ×


Op (o ,
I ] is xstx > X
,
dins :




floe !
"

{ ou !


)
L →
By comparison convergent
× + ×
→ p -

- I < I →
convergent
h '
op a. → is # + × > ×
'
,
aus :
aus de
integral convergent



[ ×
! + ×
CJ s , →
→
By
E
comparison convergent

p - > I →
convergent