Lineaire Algebra
January 25, 2014
Contents
1 Vectoren 2
2 Matrices 4
3 Stelsels Lineaire Vergelijkingen 5
4 Onafhankelijkheid en Rang 6
5 Determinanten 8
6 Vectorruimten 9
7 Lineaire Afbeeldingen 10
8 Eigenwaarden en Eigenvectoren 10
9 Orthogonale en Orthonormale Stelsels 12
1
,1 Vectoren
Vectoren : Een vector is een verschuiving in de ruimte, weergegeven door
een pijl ~v . Een vector ~v verschuift een punt A naar een punt B. Een vector
kan in coördinaten weergegeven worden door ~x = λ~e1 + µ~e2 + · · · + ν~en . Hier
zijn ~e1 , ~e2 , . . . , ~en vectoren van lengte 1 en loodrecht op elkaar. λ, µ, . . . , ν zijn
de kentallen van de vector. Doorgaans wordt een vector als volgt aangegeven:
x1
x2
~x = .. of ~x = (x1 , x2 , . . . , xn )t
.
xn
Nulvector : De nulvector is een vector met lengte 0, genoteerd: ~0
Lengte Vector in Rn : De lengte van een vector ~a wordt gegeven door:
|~a|2 = a21 + a22 + · · · + a2n
Vector Optelling : Vectoren optellen/aftrekken gaat door eerst translatie
~a uit te voeren en dan translatie ~b. De vector ~a + ~b kan gevonden worden
met de parallelogramwet. In coördinaten geldt:
~a ± ~b = (a1 ± b1 , a2 ± b2 , . . . , an ± bn )t
Scalaire vermenigvuldiging : Een vector kan vermenigvuldigt worden met
een reëel getal, genoteerd: λ~a, λ ∈ R. In coördinaten: λ~a = (λa1 , λa2 , . . . , λan )t .
Een tweetal vectoren zijn onafhankelijk als er de ene geen scalair veelvoud
van de andere is.
Rekenregels Vectoren :
Commutativiteit ~a + ~b = ~b + ~a
Associativiteit ~a + (~b + ~c) = (~a + ~b) + ~c en λ(µ~a) = (λµ)~a
Distributiviteit λ(~a + ~b) = λ~a + λ~b en (λ + µ)~a = λ~a + µ~a
Oorsprong : De ruimte kent een oorsprong waar de coördinaten allemaal 0
−→
zijn, genoteerd: O. De vector die van O naar een punt P gaat is OP .
−→ −→
Lijnen : Laat p~ = OP en ~q = OQ, dan wordt de lijn door P en Q gegeven
door:
l = p~ + λ(~q − p~), λ ∈ R
2
, Hier is ~q − p~ de richtingsvector en p~ de steunvector. Het punt midden van
het lijnstuk PQ wordt gegeven door: 21 (~p + ~q)
−→ −−→ −→
Vlakken : Laat ~a = OA, ~b = OB en ~c = OC. De richtingsvectoren van het
vlak V door A,B,C zijn dan ~b − ~a en ~c − ~a. Met ~a als steunvector wordt de
parametervoorstelling van V dan gegeven door:
V = ~a + λ(~b − ~a) + µ(~c − ~a), λ, µ ∈ R
Een vlak kan ook als een vergelijking worden weergegeven (in R3 ):
V = a1 x 1 + a2 x 2 + a3 x 3
Deze kan worden gevonden door de parametervoorstelling te vegen totdat
er alleen nog coëfficiënten en meerdere variabelen in de vergelijking voor x1
voorkomen. Andersom kan uit een vergelijking ook een parametervoorstelling
gevonden worden.
Elk vlak heeft een normaalvector ~n die loodrecht op het vlak staat. Er geldt
voor elk punt ~x ∈ V dat ~n · p~ = ~n · ~x voor een vast punt p~ ∈ V . Met deze
eigenschap kan ook een vergelijking van V worden afgeleid.
Snijpunten/snijlijnen tussen lijnen/vlakken kunnen gevonden worden door
de paramtervoorstellingen van de lijnen/vlakken aan elkaar gelijk te stellen
en dan op te lossen. Zo’n stelsel vergelijkingen is strijdig als er contradictie
in voorkomt. Het stelsel heeft dan geen oplossingen.
Inproduct in Rn (Dotproduct) : Zij θ de hoek tussen twee vectoren
~a, ~b. Het inproduct tussen ~a en ~b wordt dan gedefinieerd als:
~a · ~b = |a||b| cos θ, ~a · ~b = a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn
Als ~a · ~b = 0 en ~a 6= 0, ~b 6= 0 staan ~a en ~b loodrecht op elkaar. De vectoren
zijn dan orthogonaal. Verder geldt |~a|2 = ~a · ~a.
Inproduct Algemeen : Een functie V × V → R genoteerd als h~x, ~y i met
de volgende eigenschappen:
1. h~x, ~y i = h~y , ~xi voor alle ~x, ~y ∈ V .
2. hλ~x, ~y i = λh~x, ~y i voor alle ~x, ~y ∈ V en λ ∈ R.
3. h~x + ~y , ~zi = h~x, ~zi + h~y , ~zi voor alle ~x, ~y , ~z ∈ V .
4. h~x, ~xi ≥ 0 voor alle ~x ∈ V en h~x, ~xi = 0 ⇐⇒ ~x = ~0.
Lengte
p Vector Algemeen : De lengte van een vector ~v wordt gedefinieerd
als h~v , ~v i notatie: ||~v ||.
3
January 25, 2014
Contents
1 Vectoren 2
2 Matrices 4
3 Stelsels Lineaire Vergelijkingen 5
4 Onafhankelijkheid en Rang 6
5 Determinanten 8
6 Vectorruimten 9
7 Lineaire Afbeeldingen 10
8 Eigenwaarden en Eigenvectoren 10
9 Orthogonale en Orthonormale Stelsels 12
1
,1 Vectoren
Vectoren : Een vector is een verschuiving in de ruimte, weergegeven door
een pijl ~v . Een vector ~v verschuift een punt A naar een punt B. Een vector
kan in coördinaten weergegeven worden door ~x = λ~e1 + µ~e2 + · · · + ν~en . Hier
zijn ~e1 , ~e2 , . . . , ~en vectoren van lengte 1 en loodrecht op elkaar. λ, µ, . . . , ν zijn
de kentallen van de vector. Doorgaans wordt een vector als volgt aangegeven:
x1
x2
~x = .. of ~x = (x1 , x2 , . . . , xn )t
.
xn
Nulvector : De nulvector is een vector met lengte 0, genoteerd: ~0
Lengte Vector in Rn : De lengte van een vector ~a wordt gegeven door:
|~a|2 = a21 + a22 + · · · + a2n
Vector Optelling : Vectoren optellen/aftrekken gaat door eerst translatie
~a uit te voeren en dan translatie ~b. De vector ~a + ~b kan gevonden worden
met de parallelogramwet. In coördinaten geldt:
~a ± ~b = (a1 ± b1 , a2 ± b2 , . . . , an ± bn )t
Scalaire vermenigvuldiging : Een vector kan vermenigvuldigt worden met
een reëel getal, genoteerd: λ~a, λ ∈ R. In coördinaten: λ~a = (λa1 , λa2 , . . . , λan )t .
Een tweetal vectoren zijn onafhankelijk als er de ene geen scalair veelvoud
van de andere is.
Rekenregels Vectoren :
Commutativiteit ~a + ~b = ~b + ~a
Associativiteit ~a + (~b + ~c) = (~a + ~b) + ~c en λ(µ~a) = (λµ)~a
Distributiviteit λ(~a + ~b) = λ~a + λ~b en (λ + µ)~a = λ~a + µ~a
Oorsprong : De ruimte kent een oorsprong waar de coördinaten allemaal 0
−→
zijn, genoteerd: O. De vector die van O naar een punt P gaat is OP .
−→ −→
Lijnen : Laat p~ = OP en ~q = OQ, dan wordt de lijn door P en Q gegeven
door:
l = p~ + λ(~q − p~), λ ∈ R
2
, Hier is ~q − p~ de richtingsvector en p~ de steunvector. Het punt midden van
het lijnstuk PQ wordt gegeven door: 21 (~p + ~q)
−→ −−→ −→
Vlakken : Laat ~a = OA, ~b = OB en ~c = OC. De richtingsvectoren van het
vlak V door A,B,C zijn dan ~b − ~a en ~c − ~a. Met ~a als steunvector wordt de
parametervoorstelling van V dan gegeven door:
V = ~a + λ(~b − ~a) + µ(~c − ~a), λ, µ ∈ R
Een vlak kan ook als een vergelijking worden weergegeven (in R3 ):
V = a1 x 1 + a2 x 2 + a3 x 3
Deze kan worden gevonden door de parametervoorstelling te vegen totdat
er alleen nog coëfficiënten en meerdere variabelen in de vergelijking voor x1
voorkomen. Andersom kan uit een vergelijking ook een parametervoorstelling
gevonden worden.
Elk vlak heeft een normaalvector ~n die loodrecht op het vlak staat. Er geldt
voor elk punt ~x ∈ V dat ~n · p~ = ~n · ~x voor een vast punt p~ ∈ V . Met deze
eigenschap kan ook een vergelijking van V worden afgeleid.
Snijpunten/snijlijnen tussen lijnen/vlakken kunnen gevonden worden door
de paramtervoorstellingen van de lijnen/vlakken aan elkaar gelijk te stellen
en dan op te lossen. Zo’n stelsel vergelijkingen is strijdig als er contradictie
in voorkomt. Het stelsel heeft dan geen oplossingen.
Inproduct in Rn (Dotproduct) : Zij θ de hoek tussen twee vectoren
~a, ~b. Het inproduct tussen ~a en ~b wordt dan gedefinieerd als:
~a · ~b = |a||b| cos θ, ~a · ~b = a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn
Als ~a · ~b = 0 en ~a 6= 0, ~b 6= 0 staan ~a en ~b loodrecht op elkaar. De vectoren
zijn dan orthogonaal. Verder geldt |~a|2 = ~a · ~a.
Inproduct Algemeen : Een functie V × V → R genoteerd als h~x, ~y i met
de volgende eigenschappen:
1. h~x, ~y i = h~y , ~xi voor alle ~x, ~y ∈ V .
2. hλ~x, ~y i = λh~x, ~y i voor alle ~x, ~y ∈ V en λ ∈ R.
3. h~x + ~y , ~zi = h~x, ~zi + h~y , ~zi voor alle ~x, ~y , ~z ∈ V .
4. h~x, ~xi ≥ 0 voor alle ~x ∈ V en h~x, ~xi = 0 ⇐⇒ ~x = ~0.
Lengte
p Vector Algemeen : De lengte van een vector ~v wordt gedefinieerd
als h~v , ~v i notatie: ||~v ||.
3
