3B.6 Flujo axial circulante en tubos concéntricos
Una varilla de radio κR se mueve hacia arriba con velocidad constante v0 a través de un
recipiente cilíndrico de radio interior R que contiene un líquido newtoniano. El líquido circula en
el cilindro, moviéndose hacia arriba a lo largo de la varilla central móvil y hacia abajo a lo largo
de la pared fija del recipiente. Encontrar la distribución de velocidad en la región anular, lejos de
las perturbaciones finales. Flujos semejantes a éste ocurren en los sellos de alguna maquinaria
de vaivén o alternativa; por ejemplo, en el espacio anular entre anillos de pistones.
a) Primero considerar el problema en que la región anular es bastante estrecha; es decir,
donde κ es apenas menor que la unidad. En ese caso el anillo puede aproximarse por
una delgada rendija plana y puede despreciarse la curvatura. Demostrar que en este
límite la distribución de velocidad está dada por:
( ) ( )
Donde ⁄
b) Después, trabajar el problema sin la suposición de la rendija delgada. Demostrar que la
distribución de velocidad está dada por:
( )( ) ( )
( ) ( )
Bosquejo:
,Incógnitas:
a) Encontrar el perfil de velocidad asumiendo que la región anular es muy estrecha.
b) Encontrar el perfil de velocidad asumiendo que la región anular no es estrecha.
Suposiciones:
a) Régimen estacionario
b) Densidad y viscosidad constantes
c) Flujo laminar, estacionario y continuo
d) El largo de la tubería es mucho más grande que el radio externo del cilindro (L>>R)
e) Fluido newtoniano e incomprensible
f) ( )
Desarrollo:
El problema se puede resolver en coordenadas cartesianas para una aproximación si la rendija
es estrecha. Vamos a suponer que el fluido fluye solo en la dirección del eje z, y que la velocidad
varía solo en función de x.
Si asumimos que el fluido no se desliza sobre las paredes, entonces tiene la velocidad de la
pared en x = κR y x = R.
CI---1: ( )
CI---2: ( )
De la ecuación de Navier-Stokes produce las siguientes tres ecuaciones
( ) [ ] ⏟
⏟ ⏟ ⏟ ⏟ ⏟ ⏟ ⏟
( ) [ ] ⏟
⏟ ⏟ ⏟ ⏟ ⏟ ⏟ ⏟
( ) [ ]
⏟ ⏟ ⏟ ⏟ ⏟ ⏟
Se ha simplificado bastante a partir del supuesto de que ( )
, presión es independiente de x e y: p=p(z). El eje z apunta hacia arriba y la gravedad apunta hacia
abajo, así que .
( )
Acomodar dp/dz a un lado y ρg al otro lado.
Si z=L la parte superior del cilindro y z=0 la parte inferior del cilindro. Las presiones a estas
alturas son p(L) y p(0), respectivamente.
( ) ( )
Ahora se introduce la presión modificada ( ) ( ) para obtener:
Esta ecuación de la velocidad y sus condiciones límites asociadas ahora no estarán dependiendo
de las dimensiones x e y, ahora será fácil la resolución.
[ ( )]
Se hace uso de
Como resultado, la ecuación se convierte en
[ ( )]
Una varilla de radio κR se mueve hacia arriba con velocidad constante v0 a través de un
recipiente cilíndrico de radio interior R que contiene un líquido newtoniano. El líquido circula en
el cilindro, moviéndose hacia arriba a lo largo de la varilla central móvil y hacia abajo a lo largo
de la pared fija del recipiente. Encontrar la distribución de velocidad en la región anular, lejos de
las perturbaciones finales. Flujos semejantes a éste ocurren en los sellos de alguna maquinaria
de vaivén o alternativa; por ejemplo, en el espacio anular entre anillos de pistones.
a) Primero considerar el problema en que la región anular es bastante estrecha; es decir,
donde κ es apenas menor que la unidad. En ese caso el anillo puede aproximarse por
una delgada rendija plana y puede despreciarse la curvatura. Demostrar que en este
límite la distribución de velocidad está dada por:
( ) ( )
Donde ⁄
b) Después, trabajar el problema sin la suposición de la rendija delgada. Demostrar que la
distribución de velocidad está dada por:
( )( ) ( )
( ) ( )
Bosquejo:
,Incógnitas:
a) Encontrar el perfil de velocidad asumiendo que la región anular es muy estrecha.
b) Encontrar el perfil de velocidad asumiendo que la región anular no es estrecha.
Suposiciones:
a) Régimen estacionario
b) Densidad y viscosidad constantes
c) Flujo laminar, estacionario y continuo
d) El largo de la tubería es mucho más grande que el radio externo del cilindro (L>>R)
e) Fluido newtoniano e incomprensible
f) ( )
Desarrollo:
El problema se puede resolver en coordenadas cartesianas para una aproximación si la rendija
es estrecha. Vamos a suponer que el fluido fluye solo en la dirección del eje z, y que la velocidad
varía solo en función de x.
Si asumimos que el fluido no se desliza sobre las paredes, entonces tiene la velocidad de la
pared en x = κR y x = R.
CI---1: ( )
CI---2: ( )
De la ecuación de Navier-Stokes produce las siguientes tres ecuaciones
( ) [ ] ⏟
⏟ ⏟ ⏟ ⏟ ⏟ ⏟ ⏟
( ) [ ] ⏟
⏟ ⏟ ⏟ ⏟ ⏟ ⏟ ⏟
( ) [ ]
⏟ ⏟ ⏟ ⏟ ⏟ ⏟
Se ha simplificado bastante a partir del supuesto de que ( )
, presión es independiente de x e y: p=p(z). El eje z apunta hacia arriba y la gravedad apunta hacia
abajo, así que .
( )
Acomodar dp/dz a un lado y ρg al otro lado.
Si z=L la parte superior del cilindro y z=0 la parte inferior del cilindro. Las presiones a estas
alturas son p(L) y p(0), respectivamente.
( ) ( )
Ahora se introduce la presión modificada ( ) ( ) para obtener:
Esta ecuación de la velocidad y sus condiciones límites asociadas ahora no estarán dependiendo
de las dimensiones x e y, ahora será fácil la resolución.
[ ( )]
Se hace uso de
Como resultado, la ecuación se convierte en
[ ( )]
