L5.1 - Indefinite integrals
Indefinite integrals vertalen we naar onbepaalde integralen.
Er is een groot verband tussen afgeleiden en integralen.
We hebben derivatives (afgeleiden) en antiderivatives (het tegenovergestelde van een
afgeleiden).
De afgeleide van F(x) is f(x).
𝑑𝐹(𝑥)
Dus 𝑓(𝑥) = 𝑑𝑥
2 3
Voorbeeld: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 en 𝐹(𝑥) = 𝑥 + 12.
Het is makkelijk om f(x) te krijgen als je F(x) hebt.
Maar wij willen graag de andere kant op.
Dus kunnen we een functie F(x) vinden zodat f(x) de afgeleide is van F(x)?
We schrijven 𝐹(𝑥) voor de antiderivative van 𝑓(𝑥).
Als formule: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑐
Je integreert f(x)dx dus.
Als je 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 gaat integreren dan krijg je die andere functie 𝐹(𝑥), maar wel met een nader
te bepalen constante erbij; + 𝑐.
→ Deze komt er natuurlijk achter want de afgeleide van een constante is 0.
Dus als je 𝑓(𝑥) = 2𝑥 hebt dan zou de 𝐹(𝑥) er als volgt uit kunnen zien:
2
𝐹(𝑥) = 𝑥 + 6.
→ Omdat we de constante (dus de 6 in het voorbeeld) niet weten schrijven we de
constante als 𝑐.
● 𝑓(𝑥) is de integrand (hetgeen waar je de integraal van neemt)
● 𝑥 is de integratievariabele (de variabele waarover geïntegreerd wordt).
● 𝐶 is de integratieconstante (de constante van de integratie).
We kunnen voor al deze zaken kun je andere symbolen gebruiken:
Integraal van g(y) bijv. → g(y)dy krijg je dan na de integraal.
De antiderivative is ook bekend als de indefinite integral of de primitive (primitieve) of de
primitive function (primitieve functie).
→ Het is een functie, geen getal.
, Het teken van de integraal verdwijnt nadat je de integraal oplost.
Het differentiëren van hele ingewikkelde functies is helemaal niet zo ingewikkeld:
Er zijn maar een paar regeltjes die je moet kennen en daarmee kun je eigenlijk al alle
functies mee afleiden.
Voor integreren is dat een ander verhaal, het is vaak zoeken naar wat de juiste vorm is. Er
zijn een heleboel voorbeelden van vrij eenvoudig uitziende functies waarvan niemand weet
wat de primitieve functie (de integraal) is.
Indefinite integrals vertalen we naar onbepaalde integralen.
Er is een groot verband tussen afgeleiden en integralen.
We hebben derivatives (afgeleiden) en antiderivatives (het tegenovergestelde van een
afgeleiden).
De afgeleide van F(x) is f(x).
𝑑𝐹(𝑥)
Dus 𝑓(𝑥) = 𝑑𝑥
2 3
Voorbeeld: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 en 𝐹(𝑥) = 𝑥 + 12.
Het is makkelijk om f(x) te krijgen als je F(x) hebt.
Maar wij willen graag de andere kant op.
Dus kunnen we een functie F(x) vinden zodat f(x) de afgeleide is van F(x)?
We schrijven 𝐹(𝑥) voor de antiderivative van 𝑓(𝑥).
Als formule: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑐
Je integreert f(x)dx dus.
Als je 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 gaat integreren dan krijg je die andere functie 𝐹(𝑥), maar wel met een nader
te bepalen constante erbij; + 𝑐.
→ Deze komt er natuurlijk achter want de afgeleide van een constante is 0.
Dus als je 𝑓(𝑥) = 2𝑥 hebt dan zou de 𝐹(𝑥) er als volgt uit kunnen zien:
2
𝐹(𝑥) = 𝑥 + 6.
→ Omdat we de constante (dus de 6 in het voorbeeld) niet weten schrijven we de
constante als 𝑐.
● 𝑓(𝑥) is de integrand (hetgeen waar je de integraal van neemt)
● 𝑥 is de integratievariabele (de variabele waarover geïntegreerd wordt).
● 𝐶 is de integratieconstante (de constante van de integratie).
We kunnen voor al deze zaken kun je andere symbolen gebruiken:
Integraal van g(y) bijv. → g(y)dy krijg je dan na de integraal.
De antiderivative is ook bekend als de indefinite integral of de primitive (primitieve) of de
primitive function (primitieve functie).
→ Het is een functie, geen getal.
, Het teken van de integraal verdwijnt nadat je de integraal oplost.
Het differentiëren van hele ingewikkelde functies is helemaal niet zo ingewikkeld:
Er zijn maar een paar regeltjes die je moet kennen en daarmee kun je eigenlijk al alle
functies mee afleiden.
Voor integreren is dat een ander verhaal, het is vaak zoeken naar wat de juiste vorm is. Er
zijn een heleboel voorbeelden van vrij eenvoudig uitziende functies waarvan niemand weet
wat de primitieve functie (de integraal) is.
