L6a - Definite integrals
Nog even wat we weten van de onbepaalde integraal:
De bepaalde integraal van 𝑓 over de interval [𝑎, 𝑏] is gedefinieerd als:
De interval van 𝑎 tot en met 𝑏 gaat over de 𝑥 variabele.
Ook hiervoor zijn wederom verschillende notaties:
De definite integral (bepaalde integraal) is een getal.
→ In tegenstelling tot een indefinite integral, die een functie is.
Omdat je de functie met de ene waarde aftrekt met dezelfde functie met een andere
waarde krijg je ook +C - C waardoor je de C niet hoeft op te schrijven.
De eigenschappen van de definite integrals zijn hetzelfde als die van de indefinite
integrals. Daarnaast, aanvullend op deze eigenschappen hebben we de volgende 3
eigenschappen:
Reversing limits (Grenzen omkeren):
Zero range:
→ Als we de boven- en ondergrens gelijk maken dan is de uitkomst van de integraal =0.
Consecutive ranges (Opeenvolgende bereiken):
, The integration range:
𝑏
De definite integral ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 loopt van 𝑎 tot 𝑏.
𝑎
Zowel de functie 𝑓(𝑥) als zijn primitieve functie 𝐹(𝑥) moeten bestaan van 𝑎 tot 𝑏 (en
daartussen in).
Je moet dus oppassen of de functie wel overal in het ‘traject’ van 𝑎 tot en met 𝑏 bestaat.
→ Want onder de wortel kan het getal niet negatief zijn.
→ Want 1/0 bestaat niet.
We moeten kijken waar een functie op bepaalde trajecten een mooie gladde functie is
(=piecewise smooth function).
→ De functie is in eerste instantie niet glad, want er zit een scherpe knik in het 0 punt.
→ Maar door hem op de delen in twee segmenten heb je twee gladde stukken (smooth
functions) die we aan elkaar kunnen plakken.
Een onbepaalde integraal is een functie, terwijl een bepaalde integraal een getal is,
maar een bepaalde integraal kan soms een functie zijn.
Hierbij hebben we 2 belangrijke zaken:
Een functie met twee variabelen integreren:
→ We integreren naar 𝑥, dus in de uitkomst blijft er een y over.
→ Vandaar dat het een functie is.
Integreren over een variabele integratie interval:
→ Integreren van 1 tot en met 𝑦, dus ook hier komt er een variabele voor in het antwoord.
→ Vandaar dat het een functie is.
! LET OP ! → Vergeet niet dat je hier GEEN constante (𝐶) bij mag zetten, want het is
tenslotte een bepaalde integraal.
Nog even wat we weten van de onbepaalde integraal:
De bepaalde integraal van 𝑓 over de interval [𝑎, 𝑏] is gedefinieerd als:
De interval van 𝑎 tot en met 𝑏 gaat over de 𝑥 variabele.
Ook hiervoor zijn wederom verschillende notaties:
De definite integral (bepaalde integraal) is een getal.
→ In tegenstelling tot een indefinite integral, die een functie is.
Omdat je de functie met de ene waarde aftrekt met dezelfde functie met een andere
waarde krijg je ook +C - C waardoor je de C niet hoeft op te schrijven.
De eigenschappen van de definite integrals zijn hetzelfde als die van de indefinite
integrals. Daarnaast, aanvullend op deze eigenschappen hebben we de volgende 3
eigenschappen:
Reversing limits (Grenzen omkeren):
Zero range:
→ Als we de boven- en ondergrens gelijk maken dan is de uitkomst van de integraal =0.
Consecutive ranges (Opeenvolgende bereiken):
, The integration range:
𝑏
De definite integral ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 loopt van 𝑎 tot 𝑏.
𝑎
Zowel de functie 𝑓(𝑥) als zijn primitieve functie 𝐹(𝑥) moeten bestaan van 𝑎 tot 𝑏 (en
daartussen in).
Je moet dus oppassen of de functie wel overal in het ‘traject’ van 𝑎 tot en met 𝑏 bestaat.
→ Want onder de wortel kan het getal niet negatief zijn.
→ Want 1/0 bestaat niet.
We moeten kijken waar een functie op bepaalde trajecten een mooie gladde functie is
(=piecewise smooth function).
→ De functie is in eerste instantie niet glad, want er zit een scherpe knik in het 0 punt.
→ Maar door hem op de delen in twee segmenten heb je twee gladde stukken (smooth
functions) die we aan elkaar kunnen plakken.
Een onbepaalde integraal is een functie, terwijl een bepaalde integraal een getal is,
maar een bepaalde integraal kan soms een functie zijn.
Hierbij hebben we 2 belangrijke zaken:
Een functie met twee variabelen integreren:
→ We integreren naar 𝑥, dus in de uitkomst blijft er een y over.
→ Vandaar dat het een functie is.
Integreren over een variabele integratie interval:
→ Integreren van 1 tot en met 𝑦, dus ook hier komt er een variabele voor in het antwoord.
→ Vandaar dat het een functie is.
! LET OP ! → Vergeet niet dat je hier GEEN constante (𝐶) bij mag zetten, want het is
tenslotte een bepaalde integraal.
