L7a - Extreme values in two dimensions
Hoe zat dit bij functies met één variabele:
We hebben een gladde functie 𝑓(𝑥).
De noodzakelijke voorwaarde voor een extremen was:
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
= 0→ stationary point.
Maar we gaan het nu bekijken voor een functie met twee variabelen:
We hebben weer een smooth function 𝑓(𝑥, 𝑦).
De first-order condition (eerste orde voorwaarde) is:
∂𝑓(𝑥, 𝑦) ∂𝑓(𝑥, 𝑦)
∂𝑥
= 0 en ∂𝑦
= 0 → Dit zijn de stationary points.
Deze voorwaarde moet tegelijkertijd.
Als dat het geval is, dan is er sprake van een stationair punt.
Dit is een minimum voorwaarde, maar geen voldoende voorwaarde.
Het is een stationair punt, maar het kan zijn dat het geen minimum en geen maximum is
of geen extreme is überhaupt.
We kunnen niet de tweede afgeleide nemen en dan zeggen dat die voor zowel x en y
kleiner dan of groter dan 0 moeten zijn voor een minimum of maximum. Dit laten we zien
a.d.h.v. de volgende 2 voorbeelden:
We zien lokale maximums en minimums.
Maar laten we even kijken naar het hoogste punt, wat is daar aan de hand?
Als we de tweede orde afgeleide gaan kijken in de x richting, dan is die kleiner dan 0.
Als we gaan kijken in de y richting is deze ook kleiner dan 0.
, Dus hier lijkt het te werken...:
Maar laten we eens naar een andere functie kijken.
Als we hier dan naar het punt (0,0) kijken, die ergens in het midden ligt:
Dan zien we dat afhankelijk vanaf welke kant je komt aanwandelen is het punt (0,0) een
maximum of een minimum. Het is dus beide.
Uit de zuivere x en y richting zie je een maximum, maar als je een gemengde richting
gaat nemen dan zie je een minimum.
Dat is dus geen maximum, geen minimum, maar een zadelpunt.
Maar door enkel naar de partiële afgeleide van de x of de y te kijken zou je constateren dat
het een maximum is. Maar dat is dus fout.
Daarom mogen we dit dus niet doen want het leidt tot misleidende informatie.
Hoe moeten we het dan wel doen:
We vermenigvuldigen de tweede orde partiële afgeleide naar x met die naar y. En
vervolgens halen we daar de tweede orde partiële afgeleiden van eerst naar y en dan naar
x, en dan het kwadraat hiervan, af.
Deze kan positief, negatief of 0 zijn.
Als hier dus een positief getal uitkomt, dan is er sprake van een extremen.
Je test dus voor die stationary points die je hebt met behulp van deze discriminant (die
formule) of deze positief zijn, dan hebben we te maken met een extreme waarde.
→ Het kan nog steeds een maximum of minimum zijn, daarvoor moeten we nog verder
gaan kijken.
We kunnen een makkelijkere notatie gebruiken:
En als dit groter dan 0 is voor de kandidaat stationaire punten, dan is er sprake van een
extremum.
Hoe zat dit bij functies met één variabele:
We hebben een gladde functie 𝑓(𝑥).
De noodzakelijke voorwaarde voor een extremen was:
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
= 0→ stationary point.
Maar we gaan het nu bekijken voor een functie met twee variabelen:
We hebben weer een smooth function 𝑓(𝑥, 𝑦).
De first-order condition (eerste orde voorwaarde) is:
∂𝑓(𝑥, 𝑦) ∂𝑓(𝑥, 𝑦)
∂𝑥
= 0 en ∂𝑦
= 0 → Dit zijn de stationary points.
Deze voorwaarde moet tegelijkertijd.
Als dat het geval is, dan is er sprake van een stationair punt.
Dit is een minimum voorwaarde, maar geen voldoende voorwaarde.
Het is een stationair punt, maar het kan zijn dat het geen minimum en geen maximum is
of geen extreme is überhaupt.
We kunnen niet de tweede afgeleide nemen en dan zeggen dat die voor zowel x en y
kleiner dan of groter dan 0 moeten zijn voor een minimum of maximum. Dit laten we zien
a.d.h.v. de volgende 2 voorbeelden:
We zien lokale maximums en minimums.
Maar laten we even kijken naar het hoogste punt, wat is daar aan de hand?
Als we de tweede orde afgeleide gaan kijken in de x richting, dan is die kleiner dan 0.
Als we gaan kijken in de y richting is deze ook kleiner dan 0.
, Dus hier lijkt het te werken...:
Maar laten we eens naar een andere functie kijken.
Als we hier dan naar het punt (0,0) kijken, die ergens in het midden ligt:
Dan zien we dat afhankelijk vanaf welke kant je komt aanwandelen is het punt (0,0) een
maximum of een minimum. Het is dus beide.
Uit de zuivere x en y richting zie je een maximum, maar als je een gemengde richting
gaat nemen dan zie je een minimum.
Dat is dus geen maximum, geen minimum, maar een zadelpunt.
Maar door enkel naar de partiële afgeleide van de x of de y te kijken zou je constateren dat
het een maximum is. Maar dat is dus fout.
Daarom mogen we dit dus niet doen want het leidt tot misleidende informatie.
Hoe moeten we het dan wel doen:
We vermenigvuldigen de tweede orde partiële afgeleide naar x met die naar y. En
vervolgens halen we daar de tweede orde partiële afgeleiden van eerst naar y en dan naar
x, en dan het kwadraat hiervan, af.
Deze kan positief, negatief of 0 zijn.
Als hier dus een positief getal uitkomt, dan is er sprake van een extremen.
Je test dus voor die stationary points die je hebt met behulp van deze discriminant (die
formule) of deze positief zijn, dan hebben we te maken met een extreme waarde.
→ Het kan nog steeds een maximum of minimum zijn, daarvoor moeten we nog verder
gaan kijken.
We kunnen een makkelijkere notatie gebruiken:
En als dit groter dan 0 is voor de kandidaat stationaire punten, dan is er sprake van een
extremum.
