L9a - Implicit functions
Een gewone functie wijst een invoer x toe aan een uitvoer y:
𝑦 = 𝑓(𝑥)
Bij elke x hoort niet meer dan één y.
Elke y kan afkomstig zijn van meer dan één x.
Een voorbeeld:
2
𝑓(𝑥) = 𝑥
𝑓(3) = 9
𝑓(− 3) = 9
Er zijn ook gevallen zonder expliciet formulier voor 𝑦 = 𝑓(𝑥).
Voorbeeld:
3 2
𝑦 + 3𝑥 𝑦 = 13
De y en de x zijn nu met elkaar verweven.
Dit is een voorbeeld van een impliciete functie voor 𝑦 (of voor 𝑥).
Sommige functies van 2 variabelen kunnen als impliciete functies worden behandeld.
Bijvoorbeeld:
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
We hebben een functie die van 2 argumenten afhangt en daar komt een uitkomst uit.
We nemen voor z een random waarde, waarvan een combinatie van x en y altijd de waarde
z aanneemt.
Deze waarde kan van alles zijn. Dus we noemen hem c.
We kijken dus niet naar alle mogelijke uitkomsten z, maar naar één specifieke uitkomst die
we nu c noemen.
Dat betekent dus dat we naar alle waarden van x gaan kijken, en naar alle waarde van y
zodat dat functievoorschrift altijd dezelfde waarde c aanneemt.
f(x,y) geeft dan een impliciete functie voor y (of x).
Als je x weet, dan volgt daaruit dat je weet wat de waarde van y is.
Een manier om dit vorm te geven is door te kijken naar niveau krommes.
, De uitkomst is bij deze tweede afbeelding c.
Dus we gaan voor verschillende waarden van c het landschap doorsnijden.
Je zou eventueel bij ieder contour de waarde erbij kunnen zetten zoals:
c=0.2.
Het is dus een functie van 2 variabelen met een 3de variabele als uitkomst.
Maar bij een vaste uitkomst, dus bij een vaste waarde c, hebben we dus één relatie tussen x
en y.
Het hoeft niet zo te zijn dat er bij iedere x een unieke y hoort, maar het kan best zijn dat er
bij één x meerdere uitkomsten zijn.
→ Bij een waarde van y kun je meerdere x-en hebben
→ Bij een waarde van x kun je meerdere y-en hebben.
We kunnen ook de afgeleide nemen van een impliciete functie.
→ Dit kun je doen door hem naar een expliciete functie te herschrijven en daar de
afgeleide van te nemen.
Maar we gaan het vaak hebben over impliciete functies waar we geen expliciete functie
van kunnen maken, en dan willen we alsnog soms de afgeleide hebben (om bijv. te
maximaliseren etc.).
Als voorbeeld kunnen nemen we:
3 2
𝑦 + 3𝑥 𝑦 = 13
Op het moment dat we praten over een afgeleide, moeten we altijd even kijken waar we het
precies over hebben.
Een gewone functie wijst een invoer x toe aan een uitvoer y:
𝑦 = 𝑓(𝑥)
Bij elke x hoort niet meer dan één y.
Elke y kan afkomstig zijn van meer dan één x.
Een voorbeeld:
2
𝑓(𝑥) = 𝑥
𝑓(3) = 9
𝑓(− 3) = 9
Er zijn ook gevallen zonder expliciet formulier voor 𝑦 = 𝑓(𝑥).
Voorbeeld:
3 2
𝑦 + 3𝑥 𝑦 = 13
De y en de x zijn nu met elkaar verweven.
Dit is een voorbeeld van een impliciete functie voor 𝑦 (of voor 𝑥).
Sommige functies van 2 variabelen kunnen als impliciete functies worden behandeld.
Bijvoorbeeld:
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
We hebben een functie die van 2 argumenten afhangt en daar komt een uitkomst uit.
We nemen voor z een random waarde, waarvan een combinatie van x en y altijd de waarde
z aanneemt.
Deze waarde kan van alles zijn. Dus we noemen hem c.
We kijken dus niet naar alle mogelijke uitkomsten z, maar naar één specifieke uitkomst die
we nu c noemen.
Dat betekent dus dat we naar alle waarden van x gaan kijken, en naar alle waarde van y
zodat dat functievoorschrift altijd dezelfde waarde c aanneemt.
f(x,y) geeft dan een impliciete functie voor y (of x).
Als je x weet, dan volgt daaruit dat je weet wat de waarde van y is.
Een manier om dit vorm te geven is door te kijken naar niveau krommes.
, De uitkomst is bij deze tweede afbeelding c.
Dus we gaan voor verschillende waarden van c het landschap doorsnijden.
Je zou eventueel bij ieder contour de waarde erbij kunnen zetten zoals:
c=0.2.
Het is dus een functie van 2 variabelen met een 3de variabele als uitkomst.
Maar bij een vaste uitkomst, dus bij een vaste waarde c, hebben we dus één relatie tussen x
en y.
Het hoeft niet zo te zijn dat er bij iedere x een unieke y hoort, maar het kan best zijn dat er
bij één x meerdere uitkomsten zijn.
→ Bij een waarde van y kun je meerdere x-en hebben
→ Bij een waarde van x kun je meerdere y-en hebben.
We kunnen ook de afgeleide nemen van een impliciete functie.
→ Dit kun je doen door hem naar een expliciete functie te herschrijven en daar de
afgeleide van te nemen.
Maar we gaan het vaak hebben over impliciete functies waar we geen expliciete functie
van kunnen maken, en dan willen we alsnog soms de afgeleide hebben (om bijv. te
maximaliseren etc.).
Als voorbeeld kunnen nemen we:
3 2
𝑦 + 3𝑥 𝑦 = 13
Op het moment dat we praten over een afgeleide, moeten we altijd even kijken waar we het
precies over hebben.
