Exam (elaborations) TEST BANK FOR Introductory Quantum Optics 1st Edition By Gerry C and Knight P [Cambridge Solution Manual]

Exam (elaborations) TEST BANK FOR Introductory Quantum Optics 1st Edition By Gerry C and Knight P [Cambridge Solution Manual] Adil Benmoussa Solutions Manual To INTRODUCTORY QUANTUM OPTICS By C. C. Gerry and P. L. Knight May 15, 2005 Table of Contents Table of Contents 3 1 Introduction 7 2 Field Quantization 9 2.1 problem 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 problem 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 problem 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4 problem 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.5 problem 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.6 problem 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.7 Problem 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.8 Problem 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.9 Problem 2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.10 Problem 2.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.11 Problem 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.12 Problem 2.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.13 Problem 2.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 Coherent States 25 3.1 Problem 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Problem 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3 Problem 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.4 Problem 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.5 Problem 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.6 Problem 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.7 Problem 3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3 4 CONTENTS 3.8 Problem 3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.9 Problem 3.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.10 Problem 3.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.11 Problem 3.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.12 Problem 3.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.13 Problem 3.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.14 Problem 3.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4 Emission and Absorption of Radiation by Atoms 45 4.1 Problem 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.2 Problem 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.3 Problem 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.4 Problem 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.5 Problem 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.6 Problem 4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.7 Problem 4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.8 Problem 4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.9 Problem 4.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.10 Problem 4.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.11 Problem 4.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.12 Problem 4.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.13 Problem 4.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5 Quantum Coherence Functions 71 5.1 Problem 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.2 Problem 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.3 Problem 5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.4 Problem 5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.5 Problem 5.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 6 Interferometry 79 6.1 Problem 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.2 Problem 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6.3 Problem 6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6.4 Problem 6.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.5 Problem 6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 CONTENTS 5 6.6 Problem 6.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.7 Problem 6.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.8 Problem 6.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 6.9 Problem 6.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 6.10 Problem 6.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.11 Problem 6.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7 Nonclassical Light 91 7.1 Problem 7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.2 Problem 7.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 7.3 Problem 7.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 7.4 Problem 7.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7.5 Problem 7.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 7.6 Problem 7.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 7.7 Problem 7.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 7.8 Problem 7.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 7.9 Problem 7.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 7.10 Problem 7.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 7.11 Problem 7.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 7.12 Problem 7.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 7.13 Problem 7.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 7.14 Problem 7.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 7.15 Problem 7.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.16 Problem 7.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 7.17 Problem 7.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 7.18 Problem 7.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 7.19 Problem 7.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 7.20 Problem 7.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 8 Dissipative Interactions 129 8.1 Problem 8.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 8.2 Problem 8.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 8.3 Problem 8.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 8.4 Problem 8.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 8.5 Problem 8.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 8.6 Problem 8.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6 CONTENTS 8.7 Problem 8.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 8.8 Problem 8.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 9 Optical Test of Quantum Mechanics 139 9.1 Problem 9.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 9.2 Problem 9.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 9.3 Problem 9.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 9.4 Problem 9.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 10 Experiments in Cavity QED and with Trapped Ions 145 10.1 Problem 10.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 10.2 Problem 10.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 10.3 Problem 10.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 10.4 Problem 10.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 10.5 Problem 10.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 10.6 Problem 10.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 10.7 Problem 10.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 11 Applications of Entanglement 153 11.1 Problem 11.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 11.2 Problem 11.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 11.3 Problem 11.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 11.4 Problem 11.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 11.5 Problem 11.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 11.6 Problem 11.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 11.7 Problem 11.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 11.8 Problem 11.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 11.9 Problem 11.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 11.10Problem 11.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Chapter 1 Introduction 7 8 CHAPTER 1. INTRODUCTION Chapter 2 Field Quantization 2.1 problem 2.1 Eq. (2.5) has the form Ex(z; t) = s 2!2 V "0 q(t) sin(kz); (2.1.1) and Eq. (2.2) r £ B = ¹0"0 @E @t : (2.1.2) Both equations lead to ¡@zBy = ¹0"0 s 2!2 V "0 q_(t) sin(kz); (2.1.3) which itself leads to Eq. (2.6) By(z; t) = ¹0"0 k s 2!2 V "0 q_(t) cos(kz): (2.1.4) 2.2 problem 2.2 H = 1 2 Z dV · "0E2 x(z; t) + 1 ¹0 B2 y (z; t) ¸ : (2.2.1) 9 10 CHAPTER 2. FIELD QUANTIZATION From the previous problem Ex(z; t) = s 2!2 V "0 q(t) sin(kz); (2.2.2) so "0E2 x(z; t) = 2!2 V q2(t) sin2(kz): (2.2.3) Also By(z; t) = ¹0"0 k s 2!2 V "0 q_(t) cos(kz); (2.2.4) and 1 ¹0 B2 y (z; t) = 2 V p2(t) cos2(kz); (2.2.5) where we have used that c2 = (¹0"0)¡1, p(t) = q_(t), and ck = !. Eq. 2.2.1 becomes then H = 1 V Z dV £ !2q2(t) sin2(kz) + p2(t) cos2(kz) ¤ : (2.2.6) Using these simple trigonometric identities cos2 x = 1+cos 2x 2 and sin2 x = 1¡cos 2x 2 , we can simplify equation 2.2.6 further to: H = 1 2V Z dV £ !2q2(t)(1 + cos 2kz) + p2(t)(1 ¡ cos 2kz) ¤ : (2.2.7) Because of the periodic boundaries both cosine terms drop out, also 1 V R dV = 1 and we end up by H = 1 2 ¡ p2 + w2q2¢ : (2.2.8) It is easy to see that this Hamiltonian has the form of a simple harmonic oscillator. 2.3 problem 2.3 Let f be a function de¯ned as: f(¸) = ei¸ ^ A ^B e¡i¸A^: (2.3.1) 2.4. PROBLEM 2.4 11 If we expand f as f(¸) = c0 + c1(i¸) + c2 (i¸)2 2! + :::; (2.3.2) where c0 = f(0) c1 = f0(0) c2 = f00(0) ¢ ¢ ¢ Also c0 = f(0) = ^B c1 = f0(0) = h ^ Aei¸ ^ A ^B e¡i¸ ^ A ¡ ei¸ ^ A ^B A^e¡i¸A^ i¯¯¯ ¸=0 = h ^ A; ^B i c2 = h ^B ; h ^ A; ^B ii : The same way we can determine the other coe±cients. 2.4 problem 2.4 Let f(x) = e A^xe ^B x (2.4.1) df(x) dx = A^e A^xe ^B x + e ^ Ax ^B e ^B x = ³ A^ + e ^ Ax ^B e¡A^x ´ f(x) It is easy to prove that h ^B ;A^n i = nA^n¡1 h ^B ;A^ i (2.4.2) 12 CHAPTER 2. FIELD QUANTIZATION h ^B ; e¡A^x i = X 2 4^B ; ³ ¡A^x ´n n! 3 5 = X (¡1)n xn n! h ^B ;A^n i = X (¡1)n xn (n ¡ 1)! A^n¡1 h ^B ;A^ i = ¡e¡A^x h ^B ;A^ i x So ^B e¡A^x ¡ e¡ ^ Ax ^B = ¡e¡A^x h ^B ;A^ i x e¡ ^ Ax ^B e ^ Ax = ^B ¡ e¡A^x h ^B ;A^ i x (2.4.3) e ^ Ax ^B e¡ ^ Ax = ^B + e A^x h ^ A; ^B i x (2.4.4) Equation 4.1.1 becomes df(x) dx = ³ ^ A + ^B + h ^ A; ^B i´ f(x): (2.4.5) Since h ^ A; ^B i commutes with ^ A and ^B , we can solve equation 2.4.5 as an ordinary equation. The solution is simply f(x) = exp h³ ^ A + ^B ´ x i exp µ 1 2 h ^ A; ^B i x2 ¶ (2.4.6) If we take x = 1 we will have e ^ A+^B = e A^e ^B e¡1 2 [ ^ A;^B ] (2.4.7) 2.5 problem 2.5 jª(0)i = 1 p 2 ¡ jni + ei'jn + 1i ¢ : (2.5.1) 2.5. PROBLEM 2.5 13 jª(t)i = e¡i ^H t ~ jª(0)i = 1 p 2 ³ e¡i ^H t ~ jni + e¡i ^H t ~ jn + 1i ´ = 1 p 2 ¡ e¡in!tjni + ei'e¡i(n+1)!tjn + 1i ¢ ; where we have used E ~ = ! ^njª(t)i = ^ay^ajª(t)i = 1 p 2 ¡ e¡in!tnjni + ei'e¡i(n+1)!t(n + 1)jn + 1i ¢ h^ni = hª(t)j^njª(t)i = 1 2 (n + n + 1) = n + 1 2 the same way ­ ^n2® = hª(t)j^n^njª(t)i = 1 2 ¡ n2 + (n + 1)2¢ = n2 + n + 1 2 ­ (¢^n)2® = ­ ^n2® ¡ h^ni2 = 1 4 ^E jª(t)i = E0 sin(kz) ¡ ^ay + ^a ¢ jª(t)i = 1 p 2 E0 sin(kz) ¡ ^ay + ^a ¢ ¡ e¡in!tjni + ei'e¡i(n+1)!tjn + 1i ¢ = 1 p 2 E0 sin(kz) h e¡in!t ³p n + 1jn + 1i + p njn ¡ 1i ´ + ei'e¡i(n+1)!t ³p n + 2jn + 2i + p n + 1jni ´i 14 CHAPTER 2. FIELD QUANTIZATION hª(t)j^E jª(t)i = 1 2 E0 sin(kz) ³ ei!t p n + 1 + ei'e¡i!t p n + 1 ´ = p n + 1E0 sin(kz) cos(' ¡ !t) D ^E 2 E = hª(t)j^E ^E jª(t)i = 2(n + 1)E2 0 sin2(kz) ¿³ ¢^E ´2 À = (n + 1)E2 0 sin2(kz) £ 2 ¡ cos2(' ¡ !t) ¤ (^ay ¡ ^a)jª(t)i = 1 p 2 h e¡in!t ³p n + 1jn + 1i ¡ p njn ¡ 1i ´ + ei'e¡i(n+1)!t ³p n + 2jn + 2i ¡ p n + 1jni ´i h(^ay ¡ ^a)i = ¡i p n + 1 sin(' ¡ !t) Finally we have the following quantities ¢n = 1 2 ¢E = E0j sin(kz)j p 2(n + 1) [2 ¡ cos2(' ¡ !t)] ¯¯ h(^ay ¡ ^a)i ¯¯ = p n + 1j sin(' ¡ !t)j: Certainly the inequality in (2.49) holds true since p 2 (2 ¡ cos2(' ¡ !t)) j sin(' ¡ !t)j: 2.6 problem 2.6 ^X 1 = 1 2 ¡ ^a + ^ay¢ ^X 2 = 1 2i ¡ ^a ¡ ^ay¢ ^X 2 1 = 1 4 ¡ ^ay2 + ^a2 + 2^ay^a + 1 ¢ ^X 2 2 = ¡ 1 4 ¡ ^ay2 + ^a2 ¡ 2^ay^a ¡ 1 ¢ 2.6. PROBLEM 2.6 15 jª01i = ®j0i + ¯j1i where j®j2 + j¯j2 = 1. So we can rewrite ¯ = p 1 ¡ j®j2eiÁ and ®2 = j®j2 without any loss of generality. D ^X 1 E 01 = 1 2 (®¤¯ + ®¯¤) D ^X 2 E 01 = 1 2i (®¤¯ ¡ ®¯¤) ­