Exam (elaborations) TEST BANK FOR Functions of One Complex Variable I By Andreas Kleefeld (Solution Manual)

1 The Complex Number System 1 1.1 The real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 The field of complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 The complex plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Polar representation and roots of complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Lines and half planes in the complex plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.6 The extended plane and its spherical representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Metric Spaces and the Topology of C 9 2.1 Definitions and examples of metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Sequences and completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.5 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.6 Uniform convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 Elementary Properties and Examples of Analytic Functions 21 3.1 Power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 Analytic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3 Analytic functions as mappings. Möbius transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4 Complex Integration 42 4.1 Riemann-Stieltjes integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.2 Power series representation of analytic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.3 Zeros of an analytic function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.4 The index of a closed curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.5 Cauchy’s Theorem and Integral Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.6 The homotopic version of Cauchy’s Theorem and simple connectivity . . . . . . . . . . . 63 4.7 Counting zeros; the Open Mapping Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.8 Goursat’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5 Singularities 68 5.1 Classification of singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.2 Residues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.3 The Argument Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3 6 The Maximum Modulus Theorem 84 6.1 The Maximum Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.2 Schwarz’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 6.3 Convex functions and Hadamard’s Three Circles Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.4 The Phragmén-Lindelöf Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 7 Compactness and Convergence in the Space of Analytic Functions 93 7.1 The space of continuous functions C(G, ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 7.2 Spaces of analytic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 7.3 Spaces of meromorphic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 7.4 The Riemann Mapping Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 7.5 The Weierstrass Factorization Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 7.6 Factorization of the sine function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 7.7 The gamma function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 7.8 The Riemann zeta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 8 Runge’s Theorem 123 8.1 Runge’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 8.2 Simple connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 8.3 Mittag-Leffler’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 9 Analytic Continuation and Riemann Surfaces 130 9.1 Schwarz Reflection Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 9.2 Analytic Continuation Along a Path . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 9.3 Monodromy Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 9.4 Topological Spaces and Neighborhood Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 9.5 The Sheaf of Germs of Analytic Functions on an Open Set . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 9.6 Analytic Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 9.7 Covering spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 10 Harmonic Functions 137 10.1 Basic properties of harmonic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 10.2 Harmonic functions on a disk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 10.3 Subharmonic and superharmonic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 10.4 The Dirichlet Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 10.5 Green’s Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 11 Entire Functions 151 11.1 Jensen’s Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 11.2 The genus and order of an entire function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 11.3 Hadamard Factorization Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 12 The Range of an Analytic Function 161 12.1 Bloch’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 12.2 The Little Picard Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 12.3 Schottky’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 12.4 The Great Picard Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 4 Chapter