Tentamen (uitwerkingen)

Exam (elaborations) TEST BANK FOR An Introduction to Category Theory By Harold Simmons [Solution Manual]

Beoordeling

Verkocht

Pagina's

173

Cijfer

A+

Geüpload op

15-11-2021

Geschreven in

2021/2022

Exam (elaborations) TEST BANK FOR An Introduction to Category Theory By Harold Simmons [Solution Manual] An introduction to Category Theory The Solutions Harold Simmons 18 September 2011 Contents 1 Categories 1 1.1 Categories defined . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Categories of structured sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 An arrow need not be a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 More complicated categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 Two simple categories and a bonus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Basic gadgetry 17 2.1 Diagram chasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Monics and epics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Simple limits and colimits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Initial and final objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5 Products and coproducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6 Equalizers and coequalizers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.7 Pullbacks and pushouts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.8 Using the opposite category . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3 Functors and natural tansformations 51 3.1 Functors defined . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2 Some simple functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3 Some less simple functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3.1 Three power set functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3.2 Spaces, presets, and posets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3.3 Functors from products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3.4 Comma category . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.3.5 Other examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Natural transformations defined . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.5 Examples of natural transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4 Limits and colimits in general 93 4.1 Template and diagram – a first pass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.2 Functor categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.3 Problem and solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.4 Universal solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.5 A geometric limit and colimit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.6 How to calculate certain limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.6.1 Limits in Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 iii iv Introduction 4.6.2 Limits in Pos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.6.3 Limits in Mon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.6.4 Limits in Top . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.7 Confluent colimits in Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5 Adjunctions 117 5.1 Adjunctions defined . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.2 Adjunctions illustrated . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.2.1 An algebraic example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.2.2 A set-theoretic example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.2.3 A topological example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.3 Adjunctions uncoupled . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.4 The unit and the co-unit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.5 Free and cofree constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.6 Contravariant adjunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6 Posets and monoid sets 153 6.1 Posets and complete posets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.2 Two categories of complete posets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.3 Sections of a poset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.4 The two completions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.5 Three endofunctors on Pos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.6 Long strings of adjunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.7 Two adjunctions for R-sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.8 The upper left adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.9 The upper adjunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 6.10 The lower right adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 6.11 The lower adjunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 1 Categories 1.1 Categories defined 1.1.1 Not needed? 1.1.2 These examples are dealt with in Section 1.5. 1.2 Categories of structured sets 1.2.1 (c) Consider the function f(r) = r(a) which sends each r 2 N to the rth iterate of applied to a. A simple calculation shows this is a Pno-arrow. A proof by induction shows this is the only possible arrow. 1.2.2 Consider a pair (A;X) f - (B; Y ) g - (C;Z) of such morphisms. We show the function composite g f is also a morphism, that is x 2 X =) g(f(x)) 2 Z for each element x of A. The morphism property of f and then g gives x 2 X =) y = f(x) 2 Y =) g(f(x)) = g(y) 2 Z as required. This doesn’t yet prove we have a category, but the other requirements – arrow composition is associative, and there are identity arrows – are easy. 1.2.3 The appropriate notion of arrow (A;R) f - (B; S) is a function between the carrying sets such that (x; y) 2 R =) (f(x); f(y)) 2 S for all x; y 2 A. This generalizes the idea used in Pre and Pos. 1.2.4 Consider a pair of continuous maps R - S - T between topological spaces. A simple calculation gives ( ) = which is the required property. 1 2 1. Categories 1.2.5 Let R = C[A;A]. We have a binary operation on R, namely arrow composition. This operation is associative (by one of the axioms of being a category). We also have a distinguished element idA of R, the identity arrow on A. This is the required unit. (Strictly speaking, this do not show that R is a monoid, for we don’t know that R is a set. There are some categories for which C[A;A] is so large it is not a set. This is rather weired but it shouldn’t worry us.) 1.2.6 To show that Pfn is a category we must at least show that composition of arrows is associative. Consider three composible partial functions A f - B g - C h - D X [ 6 f - Y [ 6 g - Z [ 6 h - as indicated. We must describe h (g f) (h g) f and show that they are the same. We need A g f - C h - D A f - B h g - D U [ 6 g fjU - Y [ 6 h - X [ 6 f - V [ 6 h gjV - where a 2 U () a 2 X and f(a) 2 Y b 2 V () b 2 Y and g(b) 2 Z for a 2 A and b 2 B. We also need A h (g f) - D A (h g) f - D L [ 6 h (g fjU)jL - R [ 6 h (g fjV )jR - where a 2 L () 8 : a 2 U and (g fjU)(a) 2 Z 9= ; a 2 R () 8 : a 2 X and f(a) 2 V 9= ; for a 2 A. We show L = R and the two function composites are equal. For a 2 L we have a 2 U, so that fjU(a) = f(a). Thus, remembering the definition of U we have a 2 L () a 2 X and f(a) 2 Y and (g fjU)(a) 2 Z for a 2 A. Remembering the definition of V we have f(a) 2 V () f(a) 2 Y and g(f(a)) 2 Z and hence a 2 R () a 2 X and f(a) 2 Y and (g fjU)(a) 2 Z for a 2 A. This shows that L = R. 1.2. Categories of structured sets 3 Consider any a 2 L = R. We have a 2 U f(a) 2 V so that

Meer zien Lees minder

Instelling

Vak

Voorbeeld van de inhoud

,An introduction to
Category Theory

The Solutions

Harold Simmons
18 September 2011

, Contents

1 Categories 1
1.1 Categories defined . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Categories of structured sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 An arrow need not be a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 More complicated categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Two simple categories and a bonus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Basic gadgetry 17
2.1 Diagram chasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Monics and epics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Simple limits and colimits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Initial and final objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Products and coproducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6 Equalizers and coequalizers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.7 Pullbacks and pushouts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.8 Using the opposite category . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3 Functors and natural tansformations 51
3.1 Functors defined . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Some simple functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 Some less simple functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.1 Three power set functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.2 Spaces, presets, and posets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.3 Functors from products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3.4 Comma category . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.5 Other examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4 Natural transformations defined . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.5 Examples of natural transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4 Limits and colimits in general 93
4.1 Template and diagram – a first pass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2 Functor categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3 Problem and solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.4 Universal solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.5 A geometric limit and colimit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.6 How to calculate certain limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.6.1 Limits in Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

iii

, iv Introduction

4.6.2 Limits in Pos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.6.3 Limits in Mon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.6.4 Limits in Top . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.7 Confluent colimits in Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5 Adjunctions 117
5.1 Adjunctions defined . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2 Adjunctions illustrated . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.2.1 An algebraic example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.2.2 A set-theoretic example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.2.3 A topological example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.3 Adjunctions uncoupled . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.4 The unit and the co-unit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.5 Free and cofree constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.6 Contravariant adjunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6 Posets and monoid sets 153
6.1 Posets and complete posets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.2 Two categories of complete posets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.3 Sections of a poset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.4 The two completions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.5 Three endofunctors on Pos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.6 Long strings of adjunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.7 Two adjunctions for R-sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.8 The upper left adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.9 The upper adjunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.10 The lower right adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.11 The lower adjunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Meld schending auteursrecht

Gekoppeld boek

Harold Simmons An Introduction to Category Theory

Uitgave:2011
ISBN:9781139503327
Druk:Onbekend

Geschreven voor

Instelling: Harvard University
Vak: TEST BANK FOR An Introduction to Category Theory By Harold Simmons [Solution Manual]

Alle documenten voor dit vak (1)

Documentinformatie

Geüpload op: 15 november 2021
Aantal pagina's: 173
Geschreven in: 2021/2022
Type: Tentamen (uitwerkingen)
Bevat: Vragen en antwoorden

Onderwerpen

an introduction to category theory

$14.49

Krijg toegang tot het volledige document:

Geschreven door studenten die geslaagd zijn

Direct beschikbaar na je betaling

Online lezen of als PDF

Maak kennis met de verkoper

Expert001

4.1

(162)

Maak kennis met de verkoper

Expert001 Chamberlain School Of Nursing

Bekijk profiel

Volgen

Verkocht

819

Lid sinds

4 jaar

Aantal volgers

566

Documenten

1165

Laatst verkocht

1 maand geleden

Expert001

High quality, well written Test Banks, Guides, Solution Manuals and Exams to enhance your learning potential and take your grades to new heights. Kindly leave a review and suggestions. We do take pride in our high-quality services and we are always ready to support all clients.

4.1

162 beoordelingen

105

Recent door jou bekeken

Waarom studenten kiezen voor Stuvia

Gemaakt door medestudenten, geverifieerd door reviews

Kwaliteit die je kunt vertrouwen: geschreven door studenten die slaagden en beoordeeld door anderen die dit document gebruikten.

Niet tevreden? Kies een ander document

Geen zorgen! Je kunt voor hetzelfde geld direct een ander document kiezen dat beter past bij wat je zoekt.

Betaal zoals je wilt, start meteen met leren

Geen abonnement, geen verplichtingen. Betaal zoals je gewend bent via iDeal of creditcard en download je PDF-document meteen.

“Gekocht, gedownload en geslaagd. Zo makkelijk kan het dus zijn.”

Alisha Student

Veelgestelde vragen

Wat krijg ik als ik dit document koop?

Je krijgt een PDF, die direct beschikbaar is na je aankoop. Het gekochte document is altijd, overal en oneindig toegankelijk via je profiel.

Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?

Onze tevredenheidsgarantie zorgt ervoor dat je altijd een studiedocument vindt dat goed bij je past. Je vult een formulier in en onze klantenservice regelt de rest.

Van wie koop ik deze samenvatting?

Stuvia is een marktplaats, je koop dit document dus niet van ons, maar van verkoper Expert001. Stuvia faciliteert de betaling aan de verkoper.

Zit ik meteen vast aan een abonnement?

Nee, je koopt alleen deze samenvatting voor $14.49. Je zit daarna nergens aan vast.

Is Stuvia te vertrouwen?

4,6 sterren op Google & Trustpilot (+1000 reviews) Afgelopen 30 dagen zijn er 50153 samenvattingen verkocht Opgericht in 2010, al 16 jaar dé plek om samenvattingen te kopen

Exam (elaborations) TEST BANK FOR An Introduction to Category Theory By Harold Simmons [Solution Manual]

Voorbeeld van de inhoud

Gekoppeld boek

Geschreven voor

Documentinformatie

Onderwerpen

Maak kennis met de verkoper

Recent door jou bekeken

Waarom studenten kiezen voor Stuvia

Gemaakt door medestudenten, geverifieerd door reviews

Niet tevreden? Kies een ander document

Betaal zoals je wilt, start meteen met leren

Bezig met je bronvermelding?

Veelgestelde vragen

Wat krijg ik als ik dit document koop?

Tevredenheidsgarantie: hoe werkt dat?

Van wie koop ik deze samenvatting?

Zit ik meteen vast aan een abonnement?

Is Stuvia te vertrouwen?