Matrices - Sección 1
Clase 1 : Matrices
Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por el matemático inglés James
Joseph Sylvester (1814 − 1897). El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W. R. Hamilton en
1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema
de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma
natural en geometría, estadística, economía, informática, física, entre otras.
La utilización de matrices constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación,
ya que la mayoría de los datos se introducen en las computadoras como tablas organizadas en filas y
columnas: hojas de cálculo, bases de datos, entre otras.
1.1 Definiciones básicas
Introducimos en este sección una de las herramientas fundamentales del Álgebra, las matrices, con las
que trabajaremos a lo largo de todo el curso.
Definición 1.2 (Matriz).
Una matriz es un arreglo rectangular de mn números, aij (reales o complejos) ordenados en
m filas o renglones horizontales y n columnas verticales
a11 a12 a13 ··· a1n
a21 a22 a23 ··· a2n
a31 a32 a33 ··· a3n .
.. .. .. .. ..
. . . . .
am1 am2 am3 ··· amn m×n
Notación : Las matrices se denota por medio de letras mayúsculas, por ejemplo, A, B, M , etc.
Otra notación muy utilizada es
A = (aij ) ,
para expresar que los elementos de la matriz A son aij .
Así, identificamos
a11 a12 ··· a1j ··· a1n
a21 a22 ··· a2j ··· a2n
.. .. .. .. .. ..
. . . . . .
A= Fila ó renglón i
ai1 ai2 · · · aaijij · · · ain
(i−ésima fila ó renglón)
.. .. .. .. .. ..
. . . . . .
am1 am2 · · · amj · · · amn
Columna j (j−ésima columna)
,Matrices - Sección 1. Clase 1 : Matrices 2
Definición 1.3 (Tamaño de una matriz).
El tamaño de una matriz A es el número de filas y columnas que tiene la matriz.
Por ejemplo, las matrices
−1 5
!
π 0 0
1 1
A= B=
1 1 − 3i 2i
0 5i
√
2 −2
son de tamaño 2 × 3 (2 filas y 3 columnas) y 4 × 2 (4 filas y 2 columnas), respectivamente.
Notación : En ocasiones, se denota las matrices como
D3×2 , C4×5 , R2×4 , Am×n ,
para indicar el tamaño de dicha matriz.
Cuando la matriz tiene una sola columna es llamado un vector columna y si la matriz tiene una sola
fila es llamado un vector fila.
x1
x2
A= B = x1 x2 · · · xn
.. 1×n
.
Vector fila
vn n×1
Vector columna
Así, una matriz de tamaño m × n se puede descomponer en m vectores filas o n vectores
columnas y la componente o elemento ij de A, denotado por aij , es el número que aparece en la fila
i y en la columna j.
a11 a12 · · · a1j · · · a1n
a21 a22 · · · a2j · · · a2n
.. .. .. .. .. ..
. . . . . . i−ésima fila ó renglón
A= ai1 ai2 · · · aaijij · · · ain
(i−ésimo Vector fila)
.. .. . . .. . . ..
. . . . . .
am1 am2 · · · amj · · · amn
Elemento en la fila i y columna j
j−ésima columna (j−ésimo Vector columna)
A continuación definimos un tipo de matriz muy importante en el álgebra matricial
Última actualización: Mayo 2021 Farith J. Briceño N.
, Matrices - Sección 1. Clase 1 : Matrices 3
Definición 1.4 (Matriz cuadrada).
Una matriz cuadrada es aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, es decir,
m = n, en cuyo caso se dice que la matriz es de tamaño n × n o es de orden n.
Por ejemplo,
!
3 1
B= Matriz de tamaño 2 × 2 ó de orden 2
2 −5
1 0 0
A=
1 1 0
Matriz de tamaño 3 × 3 ó de orden 3
1 1 1
1 0 0 i
0 1 3 −2
D= Matriz de tamaño 4 × 4 ó de orden 4
1 6 i 1
5 −2i 0 −7
Definimos a continuación
Definición 1.5 (Diagonal principal).
Sea A una matriz cuadrada de orden n, la diagonal principal de A son los elementos
a11 , a22 , . . . , ann .
Es de hacer notar que la diagonal principal solo está definida para matrices cuadrada, NO se puede
definir para matrices que no sean cuadradas.
Otra diagonal que podemos definir sobre matrices cuadradas de orden n es la diagonal secundaria, es
poco usada, pero no por eso es menos importante
Definición 1.6 (Diagonal secundaria).
Sea A una matriz cuadrada de orden n, la diagonal secundaria de A son los elementos aij
con i + j = n + 1.
Presentamos el siguiente ejemplo para una matriz cuadrada de orden 4.
Última actualización: Mayo 2021 Farith J. Briceño N.
Clase 1 : Matrices
Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por el matemático inglés James
Joseph Sylvester (1814 − 1897). El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W. R. Hamilton en
1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema
de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma
natural en geometría, estadística, economía, informática, física, entre otras.
La utilización de matrices constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación,
ya que la mayoría de los datos se introducen en las computadoras como tablas organizadas en filas y
columnas: hojas de cálculo, bases de datos, entre otras.
1.1 Definiciones básicas
Introducimos en este sección una de las herramientas fundamentales del Álgebra, las matrices, con las
que trabajaremos a lo largo de todo el curso.
Definición 1.2 (Matriz).
Una matriz es un arreglo rectangular de mn números, aij (reales o complejos) ordenados en
m filas o renglones horizontales y n columnas verticales
a11 a12 a13 ··· a1n
a21 a22 a23 ··· a2n
a31 a32 a33 ··· a3n .
.. .. .. .. ..
. . . . .
am1 am2 am3 ··· amn m×n
Notación : Las matrices se denota por medio de letras mayúsculas, por ejemplo, A, B, M , etc.
Otra notación muy utilizada es
A = (aij ) ,
para expresar que los elementos de la matriz A son aij .
Así, identificamos
a11 a12 ··· a1j ··· a1n
a21 a22 ··· a2j ··· a2n
.. .. .. .. .. ..
. . . . . .
A= Fila ó renglón i
ai1 ai2 · · · aaijij · · · ain
(i−ésima fila ó renglón)
.. .. .. .. .. ..
. . . . . .
am1 am2 · · · amj · · · amn
Columna j (j−ésima columna)
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Definición 1.3 (Tamaño de una matriz).
El tamaño de una matriz A es el número de filas y columnas que tiene la matriz.
Por ejemplo, las matrices
−1 5
!
π 0 0
1 1
A= B=
1 1 − 3i 2i
0 5i
√
2 −2
son de tamaño 2 × 3 (2 filas y 3 columnas) y 4 × 2 (4 filas y 2 columnas), respectivamente.
Notación : En ocasiones, se denota las matrices como
D3×2 , C4×5 , R2×4 , Am×n ,
para indicar el tamaño de dicha matriz.
Cuando la matriz tiene una sola columna es llamado un vector columna y si la matriz tiene una sola
fila es llamado un vector fila.
x1
x2
A= B = x1 x2 · · · xn
.. 1×n
.
Vector fila
vn n×1
Vector columna
Así, una matriz de tamaño m × n se puede descomponer en m vectores filas o n vectores
columnas y la componente o elemento ij de A, denotado por aij , es el número que aparece en la fila
i y en la columna j.
a11 a12 · · · a1j · · · a1n
a21 a22 · · · a2j · · · a2n
.. .. .. .. .. ..
. . . . . . i−ésima fila ó renglón
A= ai1 ai2 · · · aaijij · · · ain
(i−ésimo Vector fila)
.. .. . . .. . . ..
. . . . . .
am1 am2 · · · amj · · · amn
Elemento en la fila i y columna j
j−ésima columna (j−ésimo Vector columna)
A continuación definimos un tipo de matriz muy importante en el álgebra matricial
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Definición 1.4 (Matriz cuadrada).
Una matriz cuadrada es aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, es decir,
m = n, en cuyo caso se dice que la matriz es de tamaño n × n o es de orden n.
Por ejemplo,
!
3 1
B= Matriz de tamaño 2 × 2 ó de orden 2
2 −5
1 0 0
A=
1 1 0
Matriz de tamaño 3 × 3 ó de orden 3
1 1 1
1 0 0 i
0 1 3 −2
D= Matriz de tamaño 4 × 4 ó de orden 4
1 6 i 1
5 −2i 0 −7
Definimos a continuación
Definición 1.5 (Diagonal principal).
Sea A una matriz cuadrada de orden n, la diagonal principal de A son los elementos
a11 , a22 , . . . , ann .
Es de hacer notar que la diagonal principal solo está definida para matrices cuadrada, NO se puede
definir para matrices que no sean cuadradas.
Otra diagonal que podemos definir sobre matrices cuadradas de orden n es la diagonal secundaria, es
poco usada, pero no por eso es menos importante
Definición 1.6 (Diagonal secundaria).
Sea A una matriz cuadrada de orden n, la diagonal secundaria de A son los elementos aij
con i + j = n + 1.
Presentamos el siguiente ejemplo para una matriz cuadrada de orden 4.
Última actualización: Mayo 2021 Farith J. Briceño N.
