Matrices - Sección 3
Clase 2 : Operaciones sobre matrices
En la clase anterior definimos lo que es una matriz y algunos tipos especiales de matrices, así, como tres
operaciones entre matrices a saber multiplicación de un escalar por una matriz, suma de matrices
y producto de matrices.
En esta entrega estudiaremos las operaciones sobre matrices, comenzamos con las operaciones elemen-
tales sobre las filas de una matriz.
3.1 Operaciones elementales por filas.
En una matriz A, de tamaño m × n, se consideran tres operaciones elementales por filas
1. Intercambiar dos filas.
2. Multiplicar (o dividir) una fila por un número no nulo.
3. Sumar un múltiplo de una fila a otra fila.
NOTACIÓN : La notación que se emplea para identificar que operaciones elemental por filas se esté
utilizando es la siguientes
1. Intercambiar dos filas : Fi ←→ Fj , esto significa, intercambiar las filas i y j.
2. Multiplicar (o dividir) una fila por un número no nulo : kFi −→ Fi , esto significa,
multiplicar la fila i por el escalar k y colocar el resultado en la fila i.
3. Sumar un múltiplo de una fila a otra fila : kFi + Fj −→ Fj , esto significa, multiplicar la
fila i por el escalar k, sumarla a la fila j y colocar el resultado en la fila j.
Ejemplo 3.1.
−2 5 1 4
Considere la matriz A =
3 −1 0 . Realizar las siguientes operaciones
2
−1 6 −2 −3
elementales sobre las filas de la matriz A,
a. 2F2 −→ F2 , F2 + F1 −→ F1 , F1 ←→ F3
b. F1 ←→ F3 , 2F2 −→ F2 , F2 + F1 −→ F1 .
Solución : a. Debemos realizar las operaciones elementales, en primer lugar, multiplicar la fila 2
por 2 y obviamente colocar el resultado en la fila 2, luego, sobre la matriz resultante, sumar la fila 2
con la fila 1 y colocar el resultado en la fila 1 y finalmente intercambiar las filas 1 y 3
,Matrices - Sección 3. Clase 2 : Operaciones sobre matrices 2
−2 5 1 4 −2 5 1 4
2F2 −→F2
3 −1 0 2
−−−−−−→ 6
−2 0 4
−1 6 −2 −3 −1 6 −2 −3
4 3 1 8 −1 6 −2 −3
F1 +F2 −→F1 F1 ←→F3
−−−−−−−→ 6 −2 0 4
−−−−−→
6 −2 0 4
.
−1 6 −2 −3 4 3 1 8
b. Debemos realizar las siguientes operaciones elementales, en primer lugar, intercambiar las filas
1 y 3, luego, sobre la matriz resultante, multiplicar la fila 2 por 2 y obviamente colocar el resultado
en la fila 2, finalmente sumar la fila 2 con la fila 1 y colocar el resultado en la fila 1
−2 5 1 4 −1 6 −2 −3
F1 ←→F3
3 0 2
−1 −−−−−→ 3 −1 0 2
−1 6 −2 −3 −2 5 1 4
−1 6 −2 −3 5 4 −2 1
2F2 −→F2 F1 +F2 −→F1
−−−−−−→ 6 −2 0 −−−−−−−→ 6
4 −2 0 4
.
−2 5 1 4 −2 5 1 4
Observemos que en ambos items se realizaron las mismas operaciones elementales en las filas de la
matriz A, solo que en orden diferentes y las matrices obtenidas fueron diferentes, es decir, que el orden
en que se aplican las operaciones elementales en las filas de una matriz es importante. ⋆
Se ha definido las operaciones elementales sobre las filas de una matriz A, estas operaciones serán de
gran ayuda a lo largo de este curso.
Observe que al aplicar una operación elemental o varias operaciones elementales sobre las filas de la
matriz A, de tamaño m × n, se obtiene una nueva matriz del mismo tamaño, cabe la pregunta
¿Qué relación existe entre esas matrices?
La respuesta viene dada en la siguiente
Definición 3.1 (Matrices equivalentes por filas (renglones)).
Suponga que la matriz A se puede transformar en la matriz B mediante operaciones elemen-
tales por filas. Entonces se dice que A y B son equivalentes por filas.
NOTACIÓN : Si A y B son equivalentes, entonces los denotamos por A −→ B.
Veamos un ejemplo, consideremos la matriz del Ejemplo 3.1. y las operaciones elementales
2F2 −→ F2 , F2 + F1 −→ F1 , F1 ←→ F3 .
Última actualización: Mayo 2021 Farith J. Briceño N.
, Matrices - Sección 3. Clase 2 : Operaciones sobre matrices 3
Ejemplo 3.2.
−2 5 1 4
Considere la matriz A =
3 −1 0 y las siguientes operaciones elementales
2
−1 6 −2 −3
sobre las filas de la matriz A,
2F2 −→ F2 , F2 + F1 −→ F1 , F1 ←→ F3 .
Identifique las matrices equivalentes entre sí.
Solución : Por el Ejemplo 3.1. se tiene
−2 5 1 4 −2 5 1 4
2F2 −→F2
3 0 2
−1 −−−−−−→ 6 −2 0 4
−1 6 −2 −3 −1 6 −2 −3
4 3 1 8 −1 6 −2 −3
F2 +F1 −→F1 F1 ←→F3
−−−−−−−→ 6 −2 0 4
−−−−−→
6 −2 0 4
,
−1 6 −2 −3 4 3 1 8
identificamos las matrices
−2 5 1 4 −2 5 1 4
A= 3 −1 0 2
A1 =
6 −2 0 4
−1 6 −2 −3 −1 6 −2 −3
4 3 1 8 −1 6 −2 −3
A2 =
6 −2 0 4
A3 =
6 −2 0 4
,
−1 6 −2 −3 4 3 1 8
entonces
• A −→ A1 , ya que A1 se obtiene a partir de A por medio de la operación elemental 2F2 −→ F2 .
• A1 −→ A2 , ya que A2 se obtiene a partir de A1 por medio de la operación elemental F1 +F2 −→ F1 .
• A2 −→ A3 , ya que A3 se obtiene a partir de A2 por medio de la operación elemental F1 ←→ F3 .
• A −→ A2 , ya que A2 se obtiene a partir de A por medio de las operaciones elementales 2F2 −→ F2
y F1 + F2 −→ F1 .
• A1 −→ A3 , ya que A3 se obtiene a partir de A1 por medio de las operaciones elementales
F1 + F2 −→ F1 y F1 ←→ F3 .
• A −→ A3 , ya que A3 se obtiene a partir de A por medio de las operaciones elementales
2F2 −→ F2 , F1 + F2 −→ F1 y F1 ←→ F3 . ⋆
Última actualización: Mayo 2021 Farith J. Briceño N.
Clase 2 : Operaciones sobre matrices
En la clase anterior definimos lo que es una matriz y algunos tipos especiales de matrices, así, como tres
operaciones entre matrices a saber multiplicación de un escalar por una matriz, suma de matrices
y producto de matrices.
En esta entrega estudiaremos las operaciones sobre matrices, comenzamos con las operaciones elemen-
tales sobre las filas de una matriz.
3.1 Operaciones elementales por filas.
En una matriz A, de tamaño m × n, se consideran tres operaciones elementales por filas
1. Intercambiar dos filas.
2. Multiplicar (o dividir) una fila por un número no nulo.
3. Sumar un múltiplo de una fila a otra fila.
NOTACIÓN : La notación que se emplea para identificar que operaciones elemental por filas se esté
utilizando es la siguientes
1. Intercambiar dos filas : Fi ←→ Fj , esto significa, intercambiar las filas i y j.
2. Multiplicar (o dividir) una fila por un número no nulo : kFi −→ Fi , esto significa,
multiplicar la fila i por el escalar k y colocar el resultado en la fila i.
3. Sumar un múltiplo de una fila a otra fila : kFi + Fj −→ Fj , esto significa, multiplicar la
fila i por el escalar k, sumarla a la fila j y colocar el resultado en la fila j.
Ejemplo 3.1.
−2 5 1 4
Considere la matriz A =
3 −1 0 . Realizar las siguientes operaciones
2
−1 6 −2 −3
elementales sobre las filas de la matriz A,
a. 2F2 −→ F2 , F2 + F1 −→ F1 , F1 ←→ F3
b. F1 ←→ F3 , 2F2 −→ F2 , F2 + F1 −→ F1 .
Solución : a. Debemos realizar las operaciones elementales, en primer lugar, multiplicar la fila 2
por 2 y obviamente colocar el resultado en la fila 2, luego, sobre la matriz resultante, sumar la fila 2
con la fila 1 y colocar el resultado en la fila 1 y finalmente intercambiar las filas 1 y 3
,Matrices - Sección 3. Clase 2 : Operaciones sobre matrices 2
−2 5 1 4 −2 5 1 4
2F2 −→F2
3 −1 0 2
−−−−−−→ 6
−2 0 4
−1 6 −2 −3 −1 6 −2 −3
4 3 1 8 −1 6 −2 −3
F1 +F2 −→F1 F1 ←→F3
−−−−−−−→ 6 −2 0 4
−−−−−→
6 −2 0 4
.
−1 6 −2 −3 4 3 1 8
b. Debemos realizar las siguientes operaciones elementales, en primer lugar, intercambiar las filas
1 y 3, luego, sobre la matriz resultante, multiplicar la fila 2 por 2 y obviamente colocar el resultado
en la fila 2, finalmente sumar la fila 2 con la fila 1 y colocar el resultado en la fila 1
−2 5 1 4 −1 6 −2 −3
F1 ←→F3
3 0 2
−1 −−−−−→ 3 −1 0 2
−1 6 −2 −3 −2 5 1 4
−1 6 −2 −3 5 4 −2 1
2F2 −→F2 F1 +F2 −→F1
−−−−−−→ 6 −2 0 −−−−−−−→ 6
4 −2 0 4
.
−2 5 1 4 −2 5 1 4
Observemos que en ambos items se realizaron las mismas operaciones elementales en las filas de la
matriz A, solo que en orden diferentes y las matrices obtenidas fueron diferentes, es decir, que el orden
en que se aplican las operaciones elementales en las filas de una matriz es importante. ⋆
Se ha definido las operaciones elementales sobre las filas de una matriz A, estas operaciones serán de
gran ayuda a lo largo de este curso.
Observe que al aplicar una operación elemental o varias operaciones elementales sobre las filas de la
matriz A, de tamaño m × n, se obtiene una nueva matriz del mismo tamaño, cabe la pregunta
¿Qué relación existe entre esas matrices?
La respuesta viene dada en la siguiente
Definición 3.1 (Matrices equivalentes por filas (renglones)).
Suponga que la matriz A se puede transformar en la matriz B mediante operaciones elemen-
tales por filas. Entonces se dice que A y B son equivalentes por filas.
NOTACIÓN : Si A y B son equivalentes, entonces los denotamos por A −→ B.
Veamos un ejemplo, consideremos la matriz del Ejemplo 3.1. y las operaciones elementales
2F2 −→ F2 , F2 + F1 −→ F1 , F1 ←→ F3 .
Última actualización: Mayo 2021 Farith J. Briceño N.
, Matrices - Sección 3. Clase 2 : Operaciones sobre matrices 3
Ejemplo 3.2.
−2 5 1 4
Considere la matriz A =
3 −1 0 y las siguientes operaciones elementales
2
−1 6 −2 −3
sobre las filas de la matriz A,
2F2 −→ F2 , F2 + F1 −→ F1 , F1 ←→ F3 .
Identifique las matrices equivalentes entre sí.
Solución : Por el Ejemplo 3.1. se tiene
−2 5 1 4 −2 5 1 4
2F2 −→F2
3 0 2
−1 −−−−−−→ 6 −2 0 4
−1 6 −2 −3 −1 6 −2 −3
4 3 1 8 −1 6 −2 −3
F2 +F1 −→F1 F1 ←→F3
−−−−−−−→ 6 −2 0 4
−−−−−→
6 −2 0 4
,
−1 6 −2 −3 4 3 1 8
identificamos las matrices
−2 5 1 4 −2 5 1 4
A= 3 −1 0 2
A1 =
6 −2 0 4
−1 6 −2 −3 −1 6 −2 −3
4 3 1 8 −1 6 −2 −3
A2 =
6 −2 0 4
A3 =
6 −2 0 4
,
−1 6 −2 −3 4 3 1 8
entonces
• A −→ A1 , ya que A1 se obtiene a partir de A por medio de la operación elemental 2F2 −→ F2 .
• A1 −→ A2 , ya que A2 se obtiene a partir de A1 por medio de la operación elemental F1 +F2 −→ F1 .
• A2 −→ A3 , ya que A3 se obtiene a partir de A2 por medio de la operación elemental F1 ←→ F3 .
• A −→ A2 , ya que A2 se obtiene a partir de A por medio de las operaciones elementales 2F2 −→ F2
y F1 + F2 −→ F1 .
• A1 −→ A3 , ya que A3 se obtiene a partir de A1 por medio de las operaciones elementales
F1 + F2 −→ F1 y F1 ←→ F3 .
• A −→ A3 , ya que A3 se obtiene a partir de A por medio de las operaciones elementales
2F2 −→ F2 , F1 + F2 −→ F1 y F1 ←→ F3 . ⋆
Última actualización: Mayo 2021 Farith J. Briceño N.
