Matrices - Sección 4
Clase 3 : Sistema de ecuaciones lineales.
4.1 Introducción.
Un problema fundamental que aparece en matemáticas es el análisis y resolución de m ecuaciones
algebraicas con n incógnitas.
Seguramente el estudiante está familiarizado, por cursos anteriores más elementales, con sistemas si-
multáneos de dos o tres ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas. Se les llama sistemas lineales
porque, para el caso de dos incógnitas, digamos x, y, las ecuaciones tienen la forma
ax + by = c,
cuyos lugares geométricos corresponden a líneas rectas en el plano cartesiano.
Cuando se resuelve un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas, se busca el punto de inter-
sección de dos líneas rectas (si es que éstas no son paralelas). Aquí estudiaremos sistemas lineales generales
de m ecuaciones con n incógnitas, siendo m y n cualquier par de núemros enteros no negativos.
Los sistemas lineales tienen una gran variedad de aplicaciones en ingeniería y ciencias, veremos algunas
de estas aplicaciones.
El estudio de un sistema de ecuaciones lineales simultáneas está íntimamente ligado al estudio de una
matriz rectangular de números definida por los coeficientes de las ecuaciones, este es el objetivo de esta
entrega.
4.2 Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · + a2n xn = b2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + · · · + a3n xn = b3 (1)
.. .. .. .. .. ..
. . . . . .
am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + · · · + amn xn = bm
donde los números aij , con i = 1, 2 . . . , m y j = 1, 2, . . . , n, son los coeficientes del sistema,
mientras que xj , con j = 1, 2, . . . , n son las incógnitas del sistema y, por último, los valores bi , con
i = 1, 2, . . . , m son los términos independientes.
Los dos subíndices, i y j, se utilizan como sigue:
• El primer subíndice, i, indica que estamos trabajando con la i−ésima ecuación.
• El segundo subíndice, j, está asociado con la j−ésima incógnita xj .
Así, la i−ésima ecuación es
ai1 x1 + ai2 x2 + · · · + ain xn = bi .
, Matrices - Sección 4. Clase 3 : Sistema de ecuaciones lineales. 2
Por ejemplo,
(
5x − 2y = 4
• Consideramos el sistema . Identificamos
x + 4y = 1
Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.
Coeficientes : a11 = 5, a12 = −2
a21 = 1, a22 = 4
Incógnitas : x, y.
Términos independientes : b1 = 4 y b2 = 1.
(
5x1 + x2 + x3 = 0
• Consideramos el sistema . Identificamos
4x1 − 7x2 − x3 = 2
Sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas.
Coeficientes : a11 = 5, a12 = 1, a13 = 1
a21 = 4, a22 = −7, a23 = −1
Incógnitas : x1 , x2 , x3 .
Términos independientes : b1 = 0 y b2 = 2.
2x1 + 5x2 − x3 = 1
• Consideramos el sistema 7x2 − 2x3 = −1 . Identificamos
−x1 + 3x2 − x3 = 2
Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.
Coeficientes : a11 = 2, a12 = 5, a13 = −1
a21 = 0, a22 = 7, a23 = −2
a31 = −1, a32 = 3, a33 = −1
Incógnitas : x1 , x2 , x3 .
Términos independientes : b1 = 1, b2 = −1 y b3 = 2.
−x1 + 2x2 + 2x4 = −2
• Consideramos el sistema 3x1 + x2 + x3 − x4 = −1 . Identificamos
−2x1 + 3x2 + 2x3 − 4x4 = 18
Última actualización: Mayo 2021 Farith J. Briceño N.
Clase 3 : Sistema de ecuaciones lineales.
4.1 Introducción.
Un problema fundamental que aparece en matemáticas es el análisis y resolución de m ecuaciones
algebraicas con n incógnitas.
Seguramente el estudiante está familiarizado, por cursos anteriores más elementales, con sistemas si-
multáneos de dos o tres ecuaciones lineales con dos o tres incógnitas. Se les llama sistemas lineales
porque, para el caso de dos incógnitas, digamos x, y, las ecuaciones tienen la forma
ax + by = c,
cuyos lugares geométricos corresponden a líneas rectas en el plano cartesiano.
Cuando se resuelve un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas, se busca el punto de inter-
sección de dos líneas rectas (si es que éstas no son paralelas). Aquí estudiaremos sistemas lineales generales
de m ecuaciones con n incógnitas, siendo m y n cualquier par de núemros enteros no negativos.
Los sistemas lineales tienen una gran variedad de aplicaciones en ingeniería y ciencias, veremos algunas
de estas aplicaciones.
El estudio de un sistema de ecuaciones lineales simultáneas está íntimamente ligado al estudio de una
matriz rectangular de números definida por los coeficientes de las ecuaciones, este es el objetivo de esta
entrega.
4.2 Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Consideremos el sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · + a2n xn = b2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + · · · + a3n xn = b3 (1)
.. .. .. .. .. ..
. . . . . .
am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + · · · + amn xn = bm
donde los números aij , con i = 1, 2 . . . , m y j = 1, 2, . . . , n, son los coeficientes del sistema,
mientras que xj , con j = 1, 2, . . . , n son las incógnitas del sistema y, por último, los valores bi , con
i = 1, 2, . . . , m son los términos independientes.
Los dos subíndices, i y j, se utilizan como sigue:
• El primer subíndice, i, indica que estamos trabajando con la i−ésima ecuación.
• El segundo subíndice, j, está asociado con la j−ésima incógnita xj .
Así, la i−ésima ecuación es
ai1 x1 + ai2 x2 + · · · + ain xn = bi .
, Matrices - Sección 4. Clase 3 : Sistema de ecuaciones lineales. 2
Por ejemplo,
(
5x − 2y = 4
• Consideramos el sistema . Identificamos
x + 4y = 1
Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas.
Coeficientes : a11 = 5, a12 = −2
a21 = 1, a22 = 4
Incógnitas : x, y.
Términos independientes : b1 = 4 y b2 = 1.
(
5x1 + x2 + x3 = 0
• Consideramos el sistema . Identificamos
4x1 − 7x2 − x3 = 2
Sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas.
Coeficientes : a11 = 5, a12 = 1, a13 = 1
a21 = 4, a22 = −7, a23 = −1
Incógnitas : x1 , x2 , x3 .
Términos independientes : b1 = 0 y b2 = 2.
2x1 + 5x2 − x3 = 1
• Consideramos el sistema 7x2 − 2x3 = −1 . Identificamos
−x1 + 3x2 − x3 = 2
Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.
Coeficientes : a11 = 2, a12 = 5, a13 = −1
a21 = 0, a22 = 7, a23 = −2
a31 = −1, a32 = 3, a33 = −1
Incógnitas : x1 , x2 , x3 .
Términos independientes : b1 = 1, b2 = −1 y b3 = 2.
−x1 + 2x2 + 2x4 = −2
• Consideramos el sistema 3x1 + x2 + x3 − x4 = −1 . Identificamos
−2x1 + 3x2 + 2x3 − 4x4 = 18
Última actualización: Mayo 2021 Farith J. Briceño N.
