Matriz inversa - Sección 5
Clase 4 : Matriz invertible.
5.1 Introducción.
Es conocido que el inverso multiplicativo de un escalar, distinto de cero, es otro escalar tal que, al multiplicar
por éste, se obtiene el elemento neutro de la multiplicación, es decir, el uno. Si a es un escalar diferente
de cero, se tiene
1
a a=
−1
a = 1.
a
Esta operación nos permite resolver ecuaciones de la forma
b
ax = b ⇐⇒ x= .
a
En la entrega anterior estudiamos los sistemas de ecuaciones lineales, las distintas clasificaciones que
tienen, su resolución y su expresión por medio de su forma matricial
Ax = b.
Al resolver este sistema estaríamos tentado a realizar un despeje como el realizado en la ecuación
ax = b, pero
ALTO
Recuerde
La división de matrices NO está definida.
En esta sección concentraremos nuestra atención en las matrices cuadradas, y formularemos el concepto
equivalente al inverso multiplicativo o recíproco de un número distinto de cero, teniendo presente que el
elemento neutro del producto es la matriz identidad
5.2 Inversa de una matriz.
Para poder cumplir con nuestro objetivo recordemos algunas definiciones y resultados estudiados en la
primera entrega de este curso.
Definición 5.1 (Matriz Identidad).
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Si A es una matriz cuadrada cuyos elementos de
su diagonal principal son todos unos, (1), y los que no están en la diagonal principal son todos
ceros, entonces A se denomina matriz identidad. La matriz identidad de orden n se denota
por In , o simplemente I. También se denomina matriz unidad.
(
1 si i = j
In = (δij ) =
0 si i 6= j
, Matriz inversa - Sección 5. Clase 4 : Matriz invertible. 2
Observación 5.1.
El símbolo δij se le conoce como la delta de Kronecker y viene definido por
(
1 si i = j
δij = ,
0 si i 6= j
le debe su nombre al matemático alemán Leopold Kronecker.
Es conocido que
Teorema 5.1.
Si A es una matriz de tamaño m × n, entonces
AIn = A y Im A = A.
El resultado equivalente para el caso de matrices cuadradas de orden n se presenta en el siguiente
Teorema 5.2.
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Entonces
AIn = In A = A.
Demostración : Sean A = (aij ), In = (δij ) y AIn = (cij ), entonces
cij = ai1 δ1j + ai2 δ2j + · · · + aik δkj + · · · + ain δnj ,
para todo 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n.
Por definición de matriz identidad In , se tiene que
(
0 si i 6= j
δij =
1 si i = j
entonces
cij = ai1 0 + ai2 0 + · · · + aij 1 + · · · + ain 0 = aij,
para todo 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n. Así,
AIn = A.
De manera similar se puede demostrar In A = A. ⋆
NOTACIÓN : De aquí en adelante, para el caso de matrices cuadradas de orden n, la matriz
identidad In se denotará por I.
Última actualización: Mayo 2021 Farith J. Briceño N.
Clase 4 : Matriz invertible.
5.1 Introducción.
Es conocido que el inverso multiplicativo de un escalar, distinto de cero, es otro escalar tal que, al multiplicar
por éste, se obtiene el elemento neutro de la multiplicación, es decir, el uno. Si a es un escalar diferente
de cero, se tiene
1
a a=
−1
a = 1.
a
Esta operación nos permite resolver ecuaciones de la forma
b
ax = b ⇐⇒ x= .
a
En la entrega anterior estudiamos los sistemas de ecuaciones lineales, las distintas clasificaciones que
tienen, su resolución y su expresión por medio de su forma matricial
Ax = b.
Al resolver este sistema estaríamos tentado a realizar un despeje como el realizado en la ecuación
ax = b, pero
ALTO
Recuerde
La división de matrices NO está definida.
En esta sección concentraremos nuestra atención en las matrices cuadradas, y formularemos el concepto
equivalente al inverso multiplicativo o recíproco de un número distinto de cero, teniendo presente que el
elemento neutro del producto es la matriz identidad
5.2 Inversa de una matriz.
Para poder cumplir con nuestro objetivo recordemos algunas definiciones y resultados estudiados en la
primera entrega de este curso.
Definición 5.1 (Matriz Identidad).
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Si A es una matriz cuadrada cuyos elementos de
su diagonal principal son todos unos, (1), y los que no están en la diagonal principal son todos
ceros, entonces A se denomina matriz identidad. La matriz identidad de orden n se denota
por In , o simplemente I. También se denomina matriz unidad.
(
1 si i = j
In = (δij ) =
0 si i 6= j
, Matriz inversa - Sección 5. Clase 4 : Matriz invertible. 2
Observación 5.1.
El símbolo δij se le conoce como la delta de Kronecker y viene definido por
(
1 si i = j
δij = ,
0 si i 6= j
le debe su nombre al matemático alemán Leopold Kronecker.
Es conocido que
Teorema 5.1.
Si A es una matriz de tamaño m × n, entonces
AIn = A y Im A = A.
El resultado equivalente para el caso de matrices cuadradas de orden n se presenta en el siguiente
Teorema 5.2.
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Entonces
AIn = In A = A.
Demostración : Sean A = (aij ), In = (δij ) y AIn = (cij ), entonces
cij = ai1 δ1j + ai2 δ2j + · · · + aik δkj + · · · + ain δnj ,
para todo 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n.
Por definición de matriz identidad In , se tiene que
(
0 si i 6= j
δij =
1 si i = j
entonces
cij = ai1 0 + ai2 0 + · · · + aij 1 + · · · + ain 0 = aij,
para todo 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n. Así,
AIn = A.
De manera similar se puede demostrar In A = A. ⋆
NOTACIÓN : De aquí en adelante, para el caso de matrices cuadradas de orden n, la matriz
identidad In se denotará por I.
Última actualización: Mayo 2021 Farith J. Briceño N.
