Sumario Determinantes

Determinantes.
Prof. Farith Briceño

Introducimos a continuación el concepto de determinante asociado a una matriz cuadrada y
estudiamos algunas de sus propiedades.
Los determinantes se utilizaron por primera vez en la solución de sistemas lineales. Aunque el método
desarrollado en clases anteriores para resolver tales sistemas es mucho más eficiente que los métodos que
involucran determinantes, los determinantes son útiles en otros aspectos del álgebra lineal, tales como el
cálculo del rango de una matriz o de la matriz inversa.
El determinante de una matriz cuadrada es un número real, es decir, un determinante es un número
que se le asocia a toda matriz cuadrada.
Consideremos el conjunto de las matrices cuadradas de orden 2, M2×2 (F), donde F es el cuerpo
de escalares R o C.

Definición 1 (Determinante de una matriz 2 × 2) : Sea A ∈ M2×2 (F) una matriz dada por
!
a11 a12
A= .
a21 a22
Definimos el determinante de la matriz A, denotado por
det (A) o |A| ,
como la aplicación que va desde M2×2 (F) a F, es decir
det : M2×2 (F) −→ F,
dada por
a11 a12
det (A) = |A| = = a11 a22 − a12 a21 .
a21 a22
!
3 −2
Ejemplo 1 : Calcular el determinante de la matriz A = .
5 1

Solución : Tenemos que
3 −2
|A| = = (3) (1) − (−2) (5) = 3 + 10 = 13.
5 1

Luego |A| = 13. ⋆
!
5 − 2i 3i
Ejemplo 2 : Calcular el determinante de la matriz A = .
2−i −2 + 4i

Solución : Tenemos que

,Matemática III - Determinantes 2


5 − 2i 3i
|A| = = (5 − 2i) (−2 + 4i) − (3i) (2 − i) = −10 + 20i + 4i − 8i2 − (6i − 3i2 )
2−i −2 + 4i
= −10 + 24i − 8 (−1) − 6i + 3 (−1) = −10 + 18i + 8 − 3 = −5 + 18i.
Luego |A| = −5 + 18i. ⋆
El determinate de una matriz cuadrada de tamaño n × n se definirá de manera inductiva, es decir,
se usará lo que se sabe sobre un determinante para matrices cuadrada de orden 2 para definir el
determinante de matriz cuadrada de orden n, con n ≥ 3. Para definir determinantes de matrices de
orden mayor que 2 es necesario introducir previamente algunos conceptos.

Definición 2 (Menor) Sea A = (aij ) una matriz cuadrada de orden n. Definimos el menor ij de la
matriz A, denotado por Mij , como la submatriz de A de tamaño (n − 1) × (n − 1), que se obtiene
eliminando la i−ésima fila y la j−ésima columna de A.

−1 3 4
 

Por ejemplo, consideremos la matriz A =  2 −7 10 , entonces el menor 2, 1 viene
 

3 5 −6
dado por
 
−1 3 4 !
  3 4
Menor 2, 1 : M21 = 2 −7 10  = .
 
  5 −6
3 5 −6
Eliminar fila 2
Eliminar columna 1



mientras que, el menor 1, 2 es
 
Eliminar fila 1
−1 3 4 !
  2 10
Menor 1, 2 : M12 = 2 −7 10  = .
 
  3 −6
3 5 −6

Eliminar columna 2



y el menor 3, 3 viene dado por
 
−1 3 4 !
  −1 3
Menor 3, 3 : M33 = 2 −7 10  = .
 
  2 −7
Eliminar fila 3
3 5 −6

Eliminar columna 3




Última actualizacón: Octubre 2018 Farith J. Briceño N.

, Matemática III - Determinantes 3


Definición 3 (Cofactor ij) : Sea A una matriz cuadrada de orden n. El cofactor ij de A,
denotado por Aij , viene dado por
Aij = (−1)i+j |Mij | .

−1 3 4
 

Ejemplo 3 : Calcular los cofactores de la matriz A =  2 −7 10 .
 

3 5 −6

Solución : Calculamos los cofactores
−1 3 4
−7 10
Cofactor 1, 1 : A11 = (−1)1+1 2 −7 10 = (−1)2
5 −6
3 5 −6

= (−7) (−6) − (10) (5) = 42 − 50 = −8.

−1 3 4
2 10
Cofactor 1, 2 : A12 = (−1)1+2 2 −7 10 = (−1)3
3 −6
3 5 −6

= − ((2) (−6) − (10) (3)) = − (−12 − 30) = 42.
−1 3 4
2 −7
Cofactor 1, 3 : A13 = (−1)1+3 2 −7 10 = (−1)4
3 5
3 5 −6

= (2) (5) − (−7) (3) = 10 + 21 = 31.
−1 3 4
3 4
Cofactor 2, 1 : A21 = (−1)2+1 2 −7 10 = (−1)3
5 −6
3 5 −6

= − ((3) (−6) − (4) (5)) = − (−18 − 20) = 38.
−1 3 4
−1 4
Cofactor 2, 2 : A22 = (−1)2+2 2 −7 10 = (−1)4
3 −6
3 5 −6

= (−1) (−6) − (4) (3) = 6 − 12 = −6.


Última actualizacón: Octubre 2018 Farith J. Briceño N.