Espacio vectorial - Sección 11
Clase 11 : Subespacio vectorial.
11.1 Subespacio vectorial.
Dado un espacio vectorial V , algunos subconjuntos de esos espacios vectoriales merecen especial atención
porque reproducen en sí mismos la estructura del espacio vectorial al que pertenecen, es decir podemos
considerar una parte, H, de V que funcione como un espacio vectorial “más pequeño”.
Es importante notar que H está incluido en V , H ⊂ V .
Como V es un espacio vectorial, posee dos operaciones, la suma y el producto por un escalar, que en
particular se pueden efectuar en H. Sólo necesitaremos que, al efectuarlas, su resultado quede dentro de
H.
Definición 11.1 (Subespacio vectorial).
Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un
espacio vectorial bajo las mismas operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas
en V . Entonces se dice que H es un subespacio vectorial de V .
Una caracterización operatoria de los subespacios se logra con el siguiente
Teorema 11.1.
Un subconjunto no vacío H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumple
las dos reglas de cerradura.
1. Si u ∈ H y v ∈ H, entonces u + v ∈ H.
2. Si u ∈ H, entonces αu ∈ H, para todo escalar α ∈ F , donde F es el cuerpo de
escalares.
Demostración : Supongamos que H es un sunconjunto vacío de V que satisface las propiedades 1
y 2.
Veamos que con éstas son suficientes para probar todas las propiedades de espacio vectorial, ya que si
u, v y w son elementos de H, como H ⊂ V , entonces los elementos u, v y w también son
elementos de V y en este espacio se sabe que las propiedades son ciertas.
Por lo tanto, todas éstas son ciertas de forma trivial, excepto dos: la existencia de elemento neutro
y la existencia del elemento opuesto. Pero para ello basta con probar que el elemento neutro de V
se encuentra en H y lo mismo sucede con el elemento opuesto de un vector de H.
Por hipótesis, tenemos que, si u ∈ H, entonces αu ∈ H, para todo escalar α ∈ F , donde F es el
cuerpo de escalares, en particular
0 = 0u ∈ H.
, Espacio vectorial - Sección 11. Clase 11 : Subespacio vectorial. 2
De la misma forma, si u ∈ H, entonces
−u = −1 u ∈ H.
⋆
Observemos que a raíz de este resultado ya no hace falta comprobar que se cumplan las propiedades
asociativa, conmutativa, etc., puesto que al saber que se cumplen en V , también se cumplen en H (se
dice que H “hereda” las propiedades de las operaciones en V ).
Otro resultado especialmente importante que se obtiene de la demostración anterior es que si H es
un subespacio vectorial de V , entonces el vector cero, 0, del espacio vectorial V , cumple con que
0 ∈ H. Es decir, todo subespacio vectorial de V contiene al vector cero, 0, de V .
Entonces para demostrar que un subconjunto H de un espacio vectorial V es un subespacio vectorial
de V se debe verificar
1. El subconjunto H es diferente del conjunto vacío, es decir H 6= ∅.
2. Es cerrado bajo la suma definida en V .
3. Es cerrado bajo la multiplicación por un escalar definida en V .
Veamos algunos ejemplos
Los ejemplos clásicos son, cada espacio vectorial V tiene por lo menos dos subespacios vectoriales:
el mismo V y el subespacio vectorial H = 0 que consta solo del vector cero. Estos subespacios se
denominan subespacios propios de V .
Ejemplo 11.1.
Sea V es espacio vectorial de las matrices cuadrada de orden 3, V = M3×3 , con las operaciones
de adición y multiplicación por un escalar ordinarias definidas sobre matrices y el cuerpo escalar
F = R. Sea n o
H = A ∈ M3×3 / A es antisimétrica .
Demuestre que H es un subespacio vectorial de V = M3×3 .
Demotración : Verificamos que se cumplan os tres items mencionados anteriormente
1. ¿Es H 6= ∅?
El vector cero, 0, de V es la matriz cero de orden 3. Claramente la matriz cero es una matriz
antisimétrica, ya que
0t3×3 = 03×3 = −03×3 ,
por lo que, 03×3 es antisimétrica y 0 ∈ H, así, H, por lo menos, tiene a este elemento y podemos
concluir que H 6= ∅.
Última actualización: Junio 2021 Farith J. Briceño N.
Clase 11 : Subespacio vectorial.
11.1 Subespacio vectorial.
Dado un espacio vectorial V , algunos subconjuntos de esos espacios vectoriales merecen especial atención
porque reproducen en sí mismos la estructura del espacio vectorial al que pertenecen, es decir podemos
considerar una parte, H, de V que funcione como un espacio vectorial “más pequeño”.
Es importante notar que H está incluido en V , H ⊂ V .
Como V es un espacio vectorial, posee dos operaciones, la suma y el producto por un escalar, que en
particular se pueden efectuar en H. Sólo necesitaremos que, al efectuarlas, su resultado quede dentro de
H.
Definición 11.1 (Subespacio vectorial).
Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un
espacio vectorial bajo las mismas operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas
en V . Entonces se dice que H es un subespacio vectorial de V .
Una caracterización operatoria de los subespacios se logra con el siguiente
Teorema 11.1.
Un subconjunto no vacío H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumple
las dos reglas de cerradura.
1. Si u ∈ H y v ∈ H, entonces u + v ∈ H.
2. Si u ∈ H, entonces αu ∈ H, para todo escalar α ∈ F , donde F es el cuerpo de
escalares.
Demostración : Supongamos que H es un sunconjunto vacío de V que satisface las propiedades 1
y 2.
Veamos que con éstas son suficientes para probar todas las propiedades de espacio vectorial, ya que si
u, v y w son elementos de H, como H ⊂ V , entonces los elementos u, v y w también son
elementos de V y en este espacio se sabe que las propiedades son ciertas.
Por lo tanto, todas éstas son ciertas de forma trivial, excepto dos: la existencia de elemento neutro
y la existencia del elemento opuesto. Pero para ello basta con probar que el elemento neutro de V
se encuentra en H y lo mismo sucede con el elemento opuesto de un vector de H.
Por hipótesis, tenemos que, si u ∈ H, entonces αu ∈ H, para todo escalar α ∈ F , donde F es el
cuerpo de escalares, en particular
0 = 0u ∈ H.
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De la misma forma, si u ∈ H, entonces
−u = −1 u ∈ H.
⋆
Observemos que a raíz de este resultado ya no hace falta comprobar que se cumplan las propiedades
asociativa, conmutativa, etc., puesto que al saber que se cumplen en V , también se cumplen en H (se
dice que H “hereda” las propiedades de las operaciones en V ).
Otro resultado especialmente importante que se obtiene de la demostración anterior es que si H es
un subespacio vectorial de V , entonces el vector cero, 0, del espacio vectorial V , cumple con que
0 ∈ H. Es decir, todo subespacio vectorial de V contiene al vector cero, 0, de V .
Entonces para demostrar que un subconjunto H de un espacio vectorial V es un subespacio vectorial
de V se debe verificar
1. El subconjunto H es diferente del conjunto vacío, es decir H 6= ∅.
2. Es cerrado bajo la suma definida en V .
3. Es cerrado bajo la multiplicación por un escalar definida en V .
Veamos algunos ejemplos
Los ejemplos clásicos son, cada espacio vectorial V tiene por lo menos dos subespacios vectoriales:
el mismo V y el subespacio vectorial H = 0 que consta solo del vector cero. Estos subespacios se
denominan subespacios propios de V .
Ejemplo 11.1.
Sea V es espacio vectorial de las matrices cuadrada de orden 3, V = M3×3 , con las operaciones
de adición y multiplicación por un escalar ordinarias definidas sobre matrices y el cuerpo escalar
F = R. Sea n o
H = A ∈ M3×3 / A es antisimétrica .
Demuestre que H es un subespacio vectorial de V = M3×3 .
Demotración : Verificamos que se cumplan os tres items mencionados anteriormente
1. ¿Es H 6= ∅?
El vector cero, 0, de V es la matriz cero de orden 3. Claramente la matriz cero es una matriz
antisimétrica, ya que
0t3×3 = 03×3 = −03×3 ,
por lo que, 03×3 es antisimétrica y 0 ∈ H, así, H, por lo menos, tiene a este elemento y podemos
concluir que H 6= ∅.
Última actualización: Junio 2021 Farith J. Briceño N.
