Sumario Ejercicios - Espacio Vectorial

SEMANA 6
Ejercicios adicionales (MA1116)

1. Sea V = R+ , con las operaciones dadas por, para a, b ∈ V .

• Suma: a + b = a − b, donde a − b es el diferencia ordinario entre números reales.
• Multiplicación por un escalar: ka = ak .

¿Es V es espacio vectorial?

2. Sean V un espacio vectorial cualquiera y 0 su elemento neutro.

(a) Demuestre que si S ⊂ V es un subespacio vectorial de V , entonces 0 ∈ S.
(b) Demuestre que el conjunto
n o
A = x = (x1 , x2 ) ∈ R2 / x1 + x2 = 1

NO es un subespacio de R2 .

3. Sea ( ! )
a b
H= ∈ M2×2 / a + 2d = 0 y b − 2c = 0 .
c d
Demostrar que H es un subespacio de M2×2 .

4. Sea A una matriz de tamaño m × n. Considere el conjunto
n o
H = x ∈ Rn / Ax = b .

Demuestre que H NO es un subespacio de Rn .

5. Sean los planos π1 : 2x − y − z = 3 y π2 : x + 2y + 3z = 7. Hallar la ecuación del plano π que
contiene a la recta L intersección de los planos dados de modo que π sea un subespacio de R3 .

6. Sean los planos π1 : 2x − y − z = 3 y π2 : x + 2y + 3z = 7.

(a) Hallar la ecuación del plano π perpendicular a la recta L que es intersección de los planos
dados.
(b) ¿Es L un subespacio de R3 ?.
T 
7. Sean W1 y W2 subespacios de un espacio vectorial V , tales que W1 +W2 = V y W1 W2 = 0 .
Demostrar que para todo vector u de V existen únicos vectores u1 en W1 y u2 en W2 , tales
que u = u1 + u2 .

8. Considere los vectores v = (1, 0, −1), w = (0, 1, −1).

(a) Hallar una combinación lineal de los vectores v y w, tal que sea igual al cero.
(b) Demuestre que el espacio generado por dos vectores diferentes de cero en R3 que no son
paralelos es un plano que pasa por el origen.