Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación
PEP N◦ 2 (PAUTA) de Inferencia Estadı́stica
Miécoles 2 de septiembre de 2020, 10:00-11:30
Plazo de envı́o: 13:30hrs.
Profesor(a): Vı́ctor H. Salinas, Estefanı́a P. Cerda
Ayudante: Sebastián Rı́os
1. (15 puntos) El espesor de pared una botella de vidrio de 2 litros es una variable aleatoria normal
N (µ, σ 2 ). Se midió el espesor de pared de 25 botellas, por un ingeniero de control de calidad. La media
muestral fue de 4.07 milı́metros, y la desviación estándar de la muestra fue de 0.08 milmetros.
Usando un 95% de confianza, ¿existe evidencia para afirmar que el espesor de este tipo de botellas es
a lo menos de 4.00 milı́metros?. Justifique su resultado.
Se calcula un intervalo de 95% confianza para µ, en el caso que la varianza poblacional es desconocida.
La fórmula es IC(µ; 95%) : x ± t24;0.975 × √sn .
Los datos son: (n = 25, x = 4.07, s = 0.08). t24;0.975 = 2.064.
0.08
Se obtiene IC(µ; 95%) : 4.07 ± 2.064 × √ 25
,
i.e., IC(µ; 95%) = (4.037; 4.103)
Como todos los valores incluidos en el intervalo son mayores a 4.00, se concluye que con 95% de
confianza, el espesor de pared de este tipo de botellas de vidrio es a lo menos 4.00 milı́metros.
2. (45 puntos) Sea X = (X1 , . . . , Xn ) una m.a.s. de la distribución N (µ1 , σ 2 ), e Y = (Y1 , . . . , Yn ) una
m.a.s. de la distribución N (µ2 , σ 2 ), siendo las muestras mutuamente independientes.
Además σ 2 = 0.400 (i.e., σ 2 es conocida).
2
(a) Demuestre, usando función generadora de momentos, que X n ∼ N (µ1 , σn ).
2 2
Si X ∼ N (µ1 , σ 2 ) entonces su fgm viene dada por MX (t) = exp{µ1 t + σ 2t }.
2 2
Luego, por ser las v.a.i.i.d., se obtiene que MP Xi (t) = exp{nµ1 t + nσ2 t }.
2 2
Finalmente, M (t) = MP (t/n) = exp{µ1 t + σ t },
Xn Xi 2n
2 2
que corresponde a la fgm de una v.a. N (µ1 , σn ), por unicidad X n ∼ N (µ1 , σn ).
2
(b) Deduzca que X n − Y n ∼ N (µ1 − µ2 , 2σn ) y determine una función pivote para µ1 − µ2 .
σ 2 t2 σ 2 t2
MX n −Y n (t) = MX n (t) × MY n (−t) = exp{µ1 t + 2n } × exp{−µ2 t + 2n },
2σ 2 t2
i.e., MX n −Y n (t) = exp{(µ1 − µ2 )t + 2n }.
2
De esta forma, X n − Y n ∼ N (µ1 − µ2 ; 2σn ).
X n −Y n −(µ1 −µ2 )
Luego, Z = √2 ∼ N (0, 1), es una función pivote para la diferencia de medias µ1 −µ2 .
σ n
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación
PEP N◦ 2 (PAUTA) de Inferencia Estadı́stica
Miécoles 2 de septiembre de 2020, 10:00-11:30
Plazo de envı́o: 13:30hrs.
Profesor(a): Vı́ctor H. Salinas, Estefanı́a P. Cerda
Ayudante: Sebastián Rı́os
1. (15 puntos) El espesor de pared una botella de vidrio de 2 litros es una variable aleatoria normal
N (µ, σ 2 ). Se midió el espesor de pared de 25 botellas, por un ingeniero de control de calidad. La media
muestral fue de 4.07 milı́metros, y la desviación estándar de la muestra fue de 0.08 milmetros.
Usando un 95% de confianza, ¿existe evidencia para afirmar que el espesor de este tipo de botellas es
a lo menos de 4.00 milı́metros?. Justifique su resultado.
Se calcula un intervalo de 95% confianza para µ, en el caso que la varianza poblacional es desconocida.
La fórmula es IC(µ; 95%) : x ± t24;0.975 × √sn .
Los datos son: (n = 25, x = 4.07, s = 0.08). t24;0.975 = 2.064.
0.08
Se obtiene IC(µ; 95%) : 4.07 ± 2.064 × √ 25
,
i.e., IC(µ; 95%) = (4.037; 4.103)
Como todos los valores incluidos en el intervalo son mayores a 4.00, se concluye que con 95% de
confianza, el espesor de pared de este tipo de botellas de vidrio es a lo menos 4.00 milı́metros.
2. (45 puntos) Sea X = (X1 , . . . , Xn ) una m.a.s. de la distribución N (µ1 , σ 2 ), e Y = (Y1 , . . . , Yn ) una
m.a.s. de la distribución N (µ2 , σ 2 ), siendo las muestras mutuamente independientes.
Además σ 2 = 0.400 (i.e., σ 2 es conocida).
2
(a) Demuestre, usando función generadora de momentos, que X n ∼ N (µ1 , σn ).
2 2
Si X ∼ N (µ1 , σ 2 ) entonces su fgm viene dada por MX (t) = exp{µ1 t + σ 2t }.
2 2
Luego, por ser las v.a.i.i.d., se obtiene que MP Xi (t) = exp{nµ1 t + nσ2 t }.
2 2
Finalmente, M (t) = MP (t/n) = exp{µ1 t + σ t },
Xn Xi 2n
2 2
que corresponde a la fgm de una v.a. N (µ1 , σn ), por unicidad X n ∼ N (µ1 , σn ).
2
(b) Deduzca que X n − Y n ∼ N (µ1 − µ2 , 2σn ) y determine una función pivote para µ1 − µ2 .
σ 2 t2 σ 2 t2
MX n −Y n (t) = MX n (t) × MY n (−t) = exp{µ1 t + 2n } × exp{−µ2 t + 2n },
2σ 2 t2
i.e., MX n −Y n (t) = exp{(µ1 − µ2 )t + 2n }.
2
De esta forma, X n − Y n ∼ N (µ1 − µ2 ; 2σn ).
X n −Y n −(µ1 −µ2 )
Luego, Z = √2 ∼ N (0, 1), es una función pivote para la diferencia de medias µ1 −µ2 .
σ n
