Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación
PEP N◦ 1 (PAUTA) de Inferencia Estadı́stica 1/2020
Sea X = (X1 , . . . , Xn ) una m.a.s. de la distribución N (0, φ−1 ), φ es la precisión, el recı́proco de la
varianza. Con lo que
φ1/2 φ
f (x|φ) = √ exp{− x2 }, x ∈ IR.
2π 2
(a) Si X ∼ N (0, φ−1 ), muestre que Y = φX 2 ∼ Gamma( 12 , 12 ).
1/2 φ 2
φ
√ e− 2 x ,
fX (x) = 2π p p
y = φx2 → x1 (y) = y/φ, x2 (y) = − y/φ
fY (y) = fX (x1 (y))| dx dx2
dy | + fX (x2 (y))| dy |,
1
2φ 1/2
(1/2)1/2 −1/2 −y/2 √
Luego, fY (y) = √
2π
e−y/2 × √1 = Γ(1/2) y e , y > 0, note que Γ(1/2) = π.
2 yφ
(b) Calcule la función de verosimilitud.
Indique el espacio de parámetros y el espacio muestral.
Determine una estadı́stica
P 2 T , que sea suficiente para φ.
(φ)n/2 − φ Xi
f (X|φ) = (2π) n/2 e 2 , φ > 0.
n
Espacio muestral: X = IR , espacio de parámetros: Θ = (0,P∞).
φ 2
Del Teorema de Factorización, con g( Xi2 ; φ) = φn/2 e− 2 Xi y h(X) = 1
P
(2π)n/2
, se deduce que
P 2
T = Xi es una estadı́stica suficiente para φ.
(c) A partir del estimador máximo verosı́mil de φ, construya un estimador insesgado de φ.
(Denótelo por φ).
b
log f (X|φ) = Cte. − n2 log(φ) − φ2
P 2
Xi ,
∂ log f (X|φ) n 1
Xi2 = 0 → φ∗ = Pnn
P
∂φ = − 2φ + 2 Xi2
.
i=1
1/2 Pn
IE[φ∗ ] = nφ × IE[ φ P1 X 2 ] = nφ × n/2−1 = n
n−2 φ, pues φ i=1 Xi2 ∼ Gamma(n/2, 1/2).
i
n−2
Luego, φb = P X2
.
i
(d) Verifique si el estimador insesgado de φ es eficiente.
∂ 2 log f (X|φ)
∂φ2 = − 2φn2 → IIn (φ) = 2φn2 .
b = (n − 2)2 × φ2 V ar P1 1/4
Por otra parte, V ar(φ) φ Xi2
= (n − 2)2 × φ2 × (n/2−1)2 (n/2−2)
2φ2 Pn
= (n − 2)2 × φ2 × (n−2)22 (n−4) = n−4 , n > 4, pues φ i=1 Xi2 ∼ Gamma(n/2, 1/2).
Como V ar(φ)b > 1/IIn (φ), entonces φb no es un estimador eficiente de φ.
(e) Calcule lim V ar[φ].
b
n→∞
Resuma sus conclusiones.
lim V ar[φ]
b = 0.
n→∞
En resumen, el estimador insesgado de φ, construido a patir del estimador máximo verosı́mil, es
insesgado, no es eficiente y es consistente.
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación
PEP N◦ 1 (PAUTA) de Inferencia Estadı́stica 1/2020
Sea X = (X1 , . . . , Xn ) una m.a.s. de la distribución N (0, φ−1 ), φ es la precisión, el recı́proco de la
varianza. Con lo que
φ1/2 φ
f (x|φ) = √ exp{− x2 }, x ∈ IR.
2π 2
(a) Si X ∼ N (0, φ−1 ), muestre que Y = φX 2 ∼ Gamma( 12 , 12 ).
1/2 φ 2
φ
√ e− 2 x ,
fX (x) = 2π p p
y = φx2 → x1 (y) = y/φ, x2 (y) = − y/φ
fY (y) = fX (x1 (y))| dx dx2
dy | + fX (x2 (y))| dy |,
1
2φ 1/2
(1/2)1/2 −1/2 −y/2 √
Luego, fY (y) = √
2π
e−y/2 × √1 = Γ(1/2) y e , y > 0, note que Γ(1/2) = π.
2 yφ
(b) Calcule la función de verosimilitud.
Indique el espacio de parámetros y el espacio muestral.
Determine una estadı́stica
P 2 T , que sea suficiente para φ.
(φ)n/2 − φ Xi
f (X|φ) = (2π) n/2 e 2 , φ > 0.
n
Espacio muestral: X = IR , espacio de parámetros: Θ = (0,P∞).
φ 2
Del Teorema de Factorización, con g( Xi2 ; φ) = φn/2 e− 2 Xi y h(X) = 1
P
(2π)n/2
, se deduce que
P 2
T = Xi es una estadı́stica suficiente para φ.
(c) A partir del estimador máximo verosı́mil de φ, construya un estimador insesgado de φ.
(Denótelo por φ).
b
log f (X|φ) = Cte. − n2 log(φ) − φ2
P 2
Xi ,
∂ log f (X|φ) n 1
Xi2 = 0 → φ∗ = Pnn
P
∂φ = − 2φ + 2 Xi2
.
i=1
1/2 Pn
IE[φ∗ ] = nφ × IE[ φ P1 X 2 ] = nφ × n/2−1 = n
n−2 φ, pues φ i=1 Xi2 ∼ Gamma(n/2, 1/2).
i
n−2
Luego, φb = P X2
.
i
(d) Verifique si el estimador insesgado de φ es eficiente.
∂ 2 log f (X|φ)
∂φ2 = − 2φn2 → IIn (φ) = 2φn2 .
b = (n − 2)2 × φ2 V ar P1 1/4
Por otra parte, V ar(φ) φ Xi2
= (n − 2)2 × φ2 × (n/2−1)2 (n/2−2)
2φ2 Pn
= (n − 2)2 × φ2 × (n−2)22 (n−4) = n−4 , n > 4, pues φ i=1 Xi2 ∼ Gamma(n/2, 1/2).
Como V ar(φ)b > 1/IIn (φ), entonces φb no es un estimador eficiente de φ.
(e) Calcule lim V ar[φ].
b
n→∞
Resuma sus conclusiones.
lim V ar[φ]
b = 0.
n→∞
En resumen, el estimador insesgado de φ, construido a patir del estimador máximo verosı́mil, es
insesgado, no es eficiente y es consistente.
