Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación
Control N◦ 3 (PAUTA) de Inferencia Estadı́stica
Profesor(a): Vı́ctor H. Salinas, Estefanı́a P. Cerda
Ayudante: Sebastián Rı́os
El número promedio de contactos que realiza un vendedor de planes de internet ha sido
del orden de 15 por semana. Una nueva estrategia de marketing ha sido implementada
con el fin de mejorar el desempeo de las ventas de este servicio. Por otra parte, registros
de los últimos tres años dan cuenta que el núnero de contactos se aproxima bien a una
variable aleatoria normal de varianza 9.
(a) Como una forma de verifcar si esta estrategia ha tenido un efecto positivo, se
seleccionan 36 vendedores y se registra el número de contactos hechos por cada
uno para una sola semana seleccionada al azar. La media de las 36 mediciones
fue 17. ¿Existe evidencia que la nueva estrategia ha sido exitosa?. Use un nivel
α = 0.05. Discuta su resultando calculando, además, el p-valor.
X : número de contactos que realiza en una semana ∼ N (µ, σ 2 ), donde σ 2 = 9.
* H0 : µ = 15 versus H1 : µ > 15.
* X n ∼ N (µ, σ 2 /n), donde n = 36 y σ 2 = 9.
* Se debe encontrar xc tal que Pr{X n > xc |µ = 15} = 0.05.
Estandarizando, Pr{Z > xσ/c −15
√ } = 0.05 → xc = 15 + 1.645 × √σ .
n n
Se obtiene xc = 15 + 1.645 × √336 = 15.8225. → < = (15.8225, +∞).
* Como xobs = 17 > xc = 15.8225, se rechaza H0 , la estrategia fue efectiva.
* p − valor = Pr{X n > xobs |µ = 15} = Pr{Z > xσ/ −15
obs√
n
} = Pr{Z > 4} ≈ 0.
El valor del p-valor es coherente con la decisón tomada.
(b) Del test aplicado en a), determine la curva potencia del test, usando tres valores
para µ.
Se calcula la probabilidad de comter error tipo II para dos valores de µ. y luego la
potencia.
Si µ = 15, por definición γ(15) = 0.05.
Ahora, β(µ) = Pr{aceptar H0 |H0 es falsa}
µ = 15.5 → β(15.5) = Pr{X n ≤ 15.8225|µ = 15.5} = Pr{Z ≤ 15.8225−15.5 √
3/ 36
} =
Pr{Z ≤ 0.645} = 0.7405 → γ(15.5) = 1 − 0.7405 = 0.2595
µ = 16 → β(16) = Pr{X n ≤ 15.8225|µ = 16} = Pr{Z ≤ 15.8225−16 √
3/ 36
}=
Pr{Z ≤ −0.355} = 0.3613 → γ(16) = 1 − 0.3613 = 0.6387
Esto es, la función potencia es creciente a medida que se aleja de la hipótesis
nula. Su valor mı́nimo es α = 0.05 que lo alcanza en µ = 15.
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación
Control N◦ 3 (PAUTA) de Inferencia Estadı́stica
Profesor(a): Vı́ctor H. Salinas, Estefanı́a P. Cerda
Ayudante: Sebastián Rı́os
El número promedio de contactos que realiza un vendedor de planes de internet ha sido
del orden de 15 por semana. Una nueva estrategia de marketing ha sido implementada
con el fin de mejorar el desempeo de las ventas de este servicio. Por otra parte, registros
de los últimos tres años dan cuenta que el núnero de contactos se aproxima bien a una
variable aleatoria normal de varianza 9.
(a) Como una forma de verifcar si esta estrategia ha tenido un efecto positivo, se
seleccionan 36 vendedores y se registra el número de contactos hechos por cada
uno para una sola semana seleccionada al azar. La media de las 36 mediciones
fue 17. ¿Existe evidencia que la nueva estrategia ha sido exitosa?. Use un nivel
α = 0.05. Discuta su resultando calculando, además, el p-valor.
X : número de contactos que realiza en una semana ∼ N (µ, σ 2 ), donde σ 2 = 9.
* H0 : µ = 15 versus H1 : µ > 15.
* X n ∼ N (µ, σ 2 /n), donde n = 36 y σ 2 = 9.
* Se debe encontrar xc tal que Pr{X n > xc |µ = 15} = 0.05.
Estandarizando, Pr{Z > xσ/c −15
√ } = 0.05 → xc = 15 + 1.645 × √σ .
n n
Se obtiene xc = 15 + 1.645 × √336 = 15.8225. → < = (15.8225, +∞).
* Como xobs = 17 > xc = 15.8225, se rechaza H0 , la estrategia fue efectiva.
* p − valor = Pr{X n > xobs |µ = 15} = Pr{Z > xσ/ −15
obs√
n
} = Pr{Z > 4} ≈ 0.
El valor del p-valor es coherente con la decisón tomada.
(b) Del test aplicado en a), determine la curva potencia del test, usando tres valores
para µ.
Se calcula la probabilidad de comter error tipo II para dos valores de µ. y luego la
potencia.
Si µ = 15, por definición γ(15) = 0.05.
Ahora, β(µ) = Pr{aceptar H0 |H0 es falsa}
µ = 15.5 → β(15.5) = Pr{X n ≤ 15.8225|µ = 15.5} = Pr{Z ≤ 15.8225−15.5 √
3/ 36
} =
Pr{Z ≤ 0.645} = 0.7405 → γ(15.5) = 1 − 0.7405 = 0.2595
µ = 16 → β(16) = Pr{X n ≤ 15.8225|µ = 16} = Pr{Z ≤ 15.8225−16 √
3/ 36
}=
Pr{Z ≤ −0.355} = 0.3613 → γ(16) = 1 − 0.3613 = 0.6387
Esto es, la función potencia es creciente a medida que se aleja de la hipótesis
nula. Su valor mı́nimo es α = 0.05 que lo alcanza en µ = 15.
