Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación
PEP N◦ 3 (REC) (PAUTA)de Inferencia Estadı́stica
Martes 29 de septiembre de 2020, 10:00-11:30
Plazo de envı́o: 13:15 hrs.
Profesor(a): Vı́ctor H. Salinas, Estefanı́a P. Cerda
Ayudante: Sebastián Rı́os
1. (30) Las variables aleatorias mutuamente independientes, X ∼ N (µ1 , σ 2 ), Y ∼ N (µ2 , σ 2 ) y W ∼
N (µ3 , σ 2 ), representan las ventas por mayor, las ventas al detalle y los costos fijos, repectivamnete, de
una cierta industria textil.
Suponga que para cinco perı́odos semanales consecutivos se dispone de las respectivas medias y vari-
anzas, expresadas en las unidades que corresponden:
Ventas por mayor: x = 10.50, s21 = 5.9;
Ventas al detalle: y = 8.40, s22 = 6.2;
Costos fijos: w = 6.12, s23 = 6.0;
¿Es posible afirmar que la utilidad media de esta industria es del orden de 10 unidades monetarias?.
Use α = 5%.
Indicación: Utilidad = Ingresos – Costos.
U = X + Y − W : utilidad.
Contraste: H0 : µ1 + µ2 − µ3 = 10 versus H1 : µ1 + µ2 − µ3 6= 10.
2 2 2
Ahora, X ∼ N (µ1 , σn ) ⊥ Y ∼ N (µ2 , σn ) ⊥ W ∼ N (µ3 , σn )
U −(µ1 +µ2 −µ3 )
Luego, Z = √3 ∼ N (0, 1).
σ n
(n−1)S12 (n−1)S22 (n−1)S32
Por otra parte, σ2 ∼ χ2n−1 ⊥ σ2 ∼ χ2n−1 ⊥ σ2 ∼ χ2n−1 .
(3n−3)Sp2
Definiendo Sp2 = 13 (S12 + S22 + S32 ), se obtiene que V = σ2 ∼ χ23n−3 .
U −(µ1 +µ2 −µ3 ) U −10
Ası́, T = √3 ∼ t3n−3 y bajo H0 y considerando que n = 5, T = √ ∼ t12 .
Sp n Sp 35
La región crı́tica viene dada por, < = (−∞, −2.179) ∪ (2.179, +∞).
Ahora, s2p = 31 (s21 + s22 + s23 ) = 6.033 → sp = 2.456.
10.50+8.40−6.12−10
√
tobs = = 1.461 ∈
/ <.
2.456 35
Luego no existe evidencia para rechazar H0 , i.e., la utilidad promedio es del orden de 10 u.m.
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación
PEP N◦ 3 (REC) (PAUTA)de Inferencia Estadı́stica
Martes 29 de septiembre de 2020, 10:00-11:30
Plazo de envı́o: 13:15 hrs.
Profesor(a): Vı́ctor H. Salinas, Estefanı́a P. Cerda
Ayudante: Sebastián Rı́os
1. (30) Las variables aleatorias mutuamente independientes, X ∼ N (µ1 , σ 2 ), Y ∼ N (µ2 , σ 2 ) y W ∼
N (µ3 , σ 2 ), representan las ventas por mayor, las ventas al detalle y los costos fijos, repectivamnete, de
una cierta industria textil.
Suponga que para cinco perı́odos semanales consecutivos se dispone de las respectivas medias y vari-
anzas, expresadas en las unidades que corresponden:
Ventas por mayor: x = 10.50, s21 = 5.9;
Ventas al detalle: y = 8.40, s22 = 6.2;
Costos fijos: w = 6.12, s23 = 6.0;
¿Es posible afirmar que la utilidad media de esta industria es del orden de 10 unidades monetarias?.
Use α = 5%.
Indicación: Utilidad = Ingresos – Costos.
U = X + Y − W : utilidad.
Contraste: H0 : µ1 + µ2 − µ3 = 10 versus H1 : µ1 + µ2 − µ3 6= 10.
2 2 2
Ahora, X ∼ N (µ1 , σn ) ⊥ Y ∼ N (µ2 , σn ) ⊥ W ∼ N (µ3 , σn )
U −(µ1 +µ2 −µ3 )
Luego, Z = √3 ∼ N (0, 1).
σ n
(n−1)S12 (n−1)S22 (n−1)S32
Por otra parte, σ2 ∼ χ2n−1 ⊥ σ2 ∼ χ2n−1 ⊥ σ2 ∼ χ2n−1 .
(3n−3)Sp2
Definiendo Sp2 = 13 (S12 + S22 + S32 ), se obtiene que V = σ2 ∼ χ23n−3 .
U −(µ1 +µ2 −µ3 ) U −10
Ası́, T = √3 ∼ t3n−3 y bajo H0 y considerando que n = 5, T = √ ∼ t12 .
Sp n Sp 35
La región crı́tica viene dada por, < = (−∞, −2.179) ∪ (2.179, +∞).
Ahora, s2p = 31 (s21 + s22 + s23 ) = 6.033 → sp = 2.456.
10.50+8.40−6.12−10
√
tobs = = 1.461 ∈
/ <.
2.456 35
Luego no existe evidencia para rechazar H0 , i.e., la utilidad promedio es del orden de 10 u.m.
