CAPÍTULO 3
CINEMÁTICA EN DOS Y EN TRES
DIMENSIONES
MOVIMIENTO VECTORIAL
El esppacio consta de tres dimensiones y los vectores se pueden descomponer en
componentes a lo largo de los tres ejes perpendiculares entre sí y estas componentes se
suman.
����⃗, v𝑦𝑦 y ���⃗.
v𝑥𝑥 ����⃗ v𝑧𝑧
En el movimiento de dos dimensiones cuando un vector y sus componentes forman un
triángulo rectángulo, las componentes se calculan con las identidades trigonométricas
siguientes:
����⃗ �⃗ cos θ
v𝑥𝑥 = V v
����⃗ �⃗
𝑌𝑌 = V sen θ
Pra calcular la magnitud del vector se utiliza el teorema de Pitágoras:
2
V = �(v
����⃗𝑥𝑥 )2 + �v
����⃗
𝑦𝑦 �
Para encontrar la dirección de un vector se utiliza la identidad trigonométrica siguiente:
�V�⃗𝑦𝑦
tan θ =
�V
�⃗𝑥𝑥
EJEMPLO 1
Un automovil viaja 28 m al norte, después 16 m al este y finalmente 26 m al sur. ¿Cuál es la
magnitud y la dirección del desplazamiento del automovil desde el punto de partida?
SOLUCIÓN
𝑥𝑥 = 16 m 𝑦𝑦 = 28 m − 26 m = 2 m
𝑅𝑅 = �(16 m)2 + (2 m)2 = 16.1 m
2m
θ = tan−1 θ = 7.13° con respecto a la horizontal al noreste
16 m
, EJEMPLO 2
Un automovil viaja 225 m al oeste y después 78.0 m 45° con respecto a la horizontal al
suroeste. ¿Cuál es la magnitud y la dirección del desplazamiento del automovil desde el
punto de partida?
SOLUCIÓN
𝑥𝑥1 = 225 m(cos 180°) = −225 m 𝑥𝑥2 = −78.0 m(cos 45°) = −55.2 m
𝑥𝑥 = −225 m − 55.2 m = −280.2 m
𝑦𝑦 = −78.0 m sen 45° = −55.2 m
𝑅𝑅 = �(−280 m)2 + (−55.2 m)2 = 289.31 m
55.2 m
θ = tan−1 θ = 11.1° con respecto a la horizontal al suroeste
280 m
EJEMPLO 3
Un fontanero baja de su camión y camina 66 m al este, después camina 35 m al sur hasta un
edificio y finálmente toma un elevador 12 m al sotano del edificio.
a) ¿Cuáles son las componentes del desplazamiento del fontanero?
SOLUCIÓN
𝑥𝑥 = 66 m 𝑦𝑦 = 35 m(sen 270°) = −35 m 𝑧𝑧 = 12 m(sen 270°) = −12 m
b) ¿Cuál es el desplazamiento del fontanero?
SOLUCIÓN
𝑅𝑅 = �(66 m)2 + (−35 m)2 + (−12 m)2 = 75.66 m
CINEMÁTICA EN DOS Y EN TRES
DIMENSIONES
MOVIMIENTO VECTORIAL
El esppacio consta de tres dimensiones y los vectores se pueden descomponer en
componentes a lo largo de los tres ejes perpendiculares entre sí y estas componentes se
suman.
����⃗, v𝑦𝑦 y ���⃗.
v𝑥𝑥 ����⃗ v𝑧𝑧
En el movimiento de dos dimensiones cuando un vector y sus componentes forman un
triángulo rectángulo, las componentes se calculan con las identidades trigonométricas
siguientes:
����⃗ �⃗ cos θ
v𝑥𝑥 = V v
����⃗ �⃗
𝑌𝑌 = V sen θ
Pra calcular la magnitud del vector se utiliza el teorema de Pitágoras:
2
V = �(v
����⃗𝑥𝑥 )2 + �v
����⃗
𝑦𝑦 �
Para encontrar la dirección de un vector se utiliza la identidad trigonométrica siguiente:
�V�⃗𝑦𝑦
tan θ =
�V
�⃗𝑥𝑥
EJEMPLO 1
Un automovil viaja 28 m al norte, después 16 m al este y finalmente 26 m al sur. ¿Cuál es la
magnitud y la dirección del desplazamiento del automovil desde el punto de partida?
SOLUCIÓN
𝑥𝑥 = 16 m 𝑦𝑦 = 28 m − 26 m = 2 m
𝑅𝑅 = �(16 m)2 + (2 m)2 = 16.1 m
2m
θ = tan−1 θ = 7.13° con respecto a la horizontal al noreste
16 m
, EJEMPLO 2
Un automovil viaja 225 m al oeste y después 78.0 m 45° con respecto a la horizontal al
suroeste. ¿Cuál es la magnitud y la dirección del desplazamiento del automovil desde el
punto de partida?
SOLUCIÓN
𝑥𝑥1 = 225 m(cos 180°) = −225 m 𝑥𝑥2 = −78.0 m(cos 45°) = −55.2 m
𝑥𝑥 = −225 m − 55.2 m = −280.2 m
𝑦𝑦 = −78.0 m sen 45° = −55.2 m
𝑅𝑅 = �(−280 m)2 + (−55.2 m)2 = 289.31 m
55.2 m
θ = tan−1 θ = 11.1° con respecto a la horizontal al suroeste
280 m
EJEMPLO 3
Un fontanero baja de su camión y camina 66 m al este, después camina 35 m al sur hasta un
edificio y finálmente toma un elevador 12 m al sotano del edificio.
a) ¿Cuáles son las componentes del desplazamiento del fontanero?
SOLUCIÓN
𝑥𝑥 = 66 m 𝑦𝑦 = 35 m(sen 270°) = −35 m 𝑧𝑧 = 12 m(sen 270°) = −12 m
b) ¿Cuál es el desplazamiento del fontanero?
SOLUCIÓN
𝑅𝑅 = �(66 m)2 + (−35 m)2 + (−12 m)2 = 75.66 m
