Quantificateurs mathématiques
A partir d’un prédicat P(x) défini sur un ensemble E, nous construisons de
nouvelles assertions, que l’on appelle assertions quantifiées, en utilisant les
quantificateurs “quel que soit” et “il existe”.
Définition (Quantificateur ∀)
Le quantificateur “quel que soit” noté ∀ permet de définir l’assertion quantifiée
“∀x ∈ E, P(x),” qui est vraie pour tous les éléments x appartenant à E, le
prédicat P(x) est vraie.
Exemple
1. “∀x ∈ [−3, 1], x2 + 2x − 3 ≤ 0” est vraie,
2. “∀n ∈ N, (n − 3)n ≥ 0” est fausse, 3. “∀n ∈ N, (n 2 pair ⇒ n pair) est
vraie.
Définition (Quantificateur ∃)
Le quantificateur “il existe” noté ∃ permet de définir l’assertion quantifiée “∃ x
∈ E, P(x),” qui est vraie si l’on peut trouver au moins un élément x
appartenant à E, tel que le prédicat P(x) soit vraie.
Remarque
S’il existe un et un seul élément, on peut écrire ∃! x ∈ E, P(x).
Nous dirons alors qu’il existe un unique élément x de E vérifiant P(x).
Exemple
1. L’assertion quantifiée “∃ x ∈ R, x2 = 4” est vraie.
2. L’assertion quantifiée “∃! x ∈ R ∗ +, ln(x) = 1” est vraie.
Remarque
Notons que si “∀ x ∈ E, P(x)” est vraie, alors “∃ x ∈ E, P(x)” est vraie.
Attention :
il faudra manipuler avec précaution les assertions de la forme “∃ ! x ∈ E,
P(x)” pour lesquelles la notation ∃ ! n’est pas un quantificateur bien qu’il en
ait l’air ! En effet, si nous posons R1 =“∃ x ∈ E, P(x)” (c’est l’existence)
A partir d’un prédicat P(x) défini sur un ensemble E, nous construisons de
nouvelles assertions, que l’on appelle assertions quantifiées, en utilisant les
quantificateurs “quel que soit” et “il existe”.
Définition (Quantificateur ∀)
Le quantificateur “quel que soit” noté ∀ permet de définir l’assertion quantifiée
“∀x ∈ E, P(x),” qui est vraie pour tous les éléments x appartenant à E, le
prédicat P(x) est vraie.
Exemple
1. “∀x ∈ [−3, 1], x2 + 2x − 3 ≤ 0” est vraie,
2. “∀n ∈ N, (n − 3)n ≥ 0” est fausse, 3. “∀n ∈ N, (n 2 pair ⇒ n pair) est
vraie.
Définition (Quantificateur ∃)
Le quantificateur “il existe” noté ∃ permet de définir l’assertion quantifiée “∃ x
∈ E, P(x),” qui est vraie si l’on peut trouver au moins un élément x
appartenant à E, tel que le prédicat P(x) soit vraie.
Remarque
S’il existe un et un seul élément, on peut écrire ∃! x ∈ E, P(x).
Nous dirons alors qu’il existe un unique élément x de E vérifiant P(x).
Exemple
1. L’assertion quantifiée “∃ x ∈ R, x2 = 4” est vraie.
2. L’assertion quantifiée “∃! x ∈ R ∗ +, ln(x) = 1” est vraie.
Remarque
Notons que si “∀ x ∈ E, P(x)” est vraie, alors “∃ x ∈ E, P(x)” est vraie.
Attention :
il faudra manipuler avec précaution les assertions de la forme “∃ ! x ∈ E,
P(x)” pour lesquelles la notation ∃ ! n’est pas un quantificateur bien qu’il en
ait l’air ! En effet, si nous posons R1 =“∃ x ∈ E, P(x)” (c’est l’existence)
