Ejercicios de integración por partes y parciales

Integrales

Integración por partes

Autor: Liceth Albadan Martinez

ln 𝑥
1. ∫ 𝑑𝑥
√𝑥

ln 𝑥
∫ 𝑑𝑥
√𝑥
ln 𝑥
∫ 𝑑𝑥 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
√𝑥
𝑠𝑒𝑎 𝑢 = ln 𝑥
1
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
𝑥

𝑣 = ∫ √𝑥 𝑑𝑥
1
𝑣 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥

2
𝑣 = √𝑥 3 + 𝑐
3
ln 𝑥 2 2
∫ 𝑑𝑥 = (ln 𝑥) ( √𝑥 3 + 𝑐) − ∫ √𝑥 3 𝑑𝑥
√𝑥 3 3
ln 𝑥 2 2
∫ 𝑑𝑥 = (ln 𝑥) ( √𝑥 3 + 𝑐) − ∫ √𝑥 3 𝑑𝑥
√𝑥 3 3
ln 𝑥 2 4
∫ 𝑑𝑥 = (ln 𝑥) ( √𝑥 3 + 𝑐) − √𝑥 5 + 𝑐
√𝑥 3 15
2. ∫ 7𝑥𝑒 2𝑥 𝑑𝑥

∫ 7𝑥𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = 7 ∫ 𝑥𝑒 2𝑥 𝑑𝑥



𝑠𝑒𝑎 𝑢 = 𝑥
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

, 𝑣 = ∫ 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥

𝑠𝑒𝑎 𝑤 = 2𝑥
𝑑𝑤 = 2𝑑𝑥
𝑑𝑤
= 𝑑𝑥
2
𝑒 𝑤 𝑑𝑤
𝑣=∫
2
1 1
𝑣 = ∫ 𝑒 𝑤 𝑑𝑤 = 𝑒 𝑤 + 𝑐
2 2
1
𝑣 = 𝑒 2𝑥 + 𝑐
2


∫ 7𝑥𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢


1 1
∫ 7𝑥𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = (𝑥) ( 𝑒 2𝑥 ) − ∫ 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥
2 2
1 1
∫ 7𝑥𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = (𝑥) ( 𝑒 2𝑥 ) − 𝑒 2𝑥 + 𝑐
2 4
3. ∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛 5𝑥 𝑑𝑥



∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛 5𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢

𝑠𝑒𝑎 𝑢 = 𝑥
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

𝑣 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 𝑑𝑥

𝑠𝑒𝑎 𝑤 = 5𝑥
𝑑𝑤 = 5𝑑𝑥
𝑑𝑤
= 𝑑𝑥
5