Inicio y final de semestre para aprender ecuaciones diferenciales

I ECUACIONES DIFERENCIALES
1.1 Definiciones y conceptos de ecuaciones diferenciales

Definición: Ecuación diferencial
Se denomina ecuación diferencial a la ecuación que contiene derivadas de una o
más variables respecto a una o más variables independientes.

Notación
La notación que se utilizará en las ecuaciones diferenciales parciales será:
2 3
dy d y d y
, , ,…
dx d x 2 d x 3
y ´ , y ´ ´ , y ´ ´ ´ , y( 4) , …
2
d s
= s̈
dt2

Las ecuaciones diferenciales se clasifican por tipo, orden y linealidad.
 Tipo
Si una ecuación contiene sólo derivadas de una o más variables
dependientes respecto a una sola variable independiente, se dice que es
una ecuación diferencial ordinaria (EDO). Una ecuación que involucra
derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más
variables independientes se llama ecuación diferencial parcial (EDP).
dy x dx dy
+5 y =e , + =2 x+ y , y ´ ´ +2 y ´ + y=0
dx dt dt

∂2 u ∂2 u ∂2 u ∂ 2 u ∂u
+ =0 , = 2 −2 , u + u =u +u
2
∂x ∂ y 2 2
∂x ∂t ∂ t xx xy x

 Orden
El orden de una ecuación diferencial es el orden de la mayor derivada en la
ecuación.
d2 y
dx
2
+5
dx( )
dy 3 x
−4 y =e ,u xx +u xy=u x


Simbólicamente podemos expresar una ecuación diferencial ordinaria de n -
ésimo orden con una variable dependiente por la forma general
F ( x , y , y ´ , … , y ) =0
( n)

donde F es una función con valores reales de n+2 variables: x , y , y ´ ,… , y ( n).
Por razones tanto prácticas como teóricas, de ahora en adelante
supondremos que es posible resolver una ecuación diferencial ordinaria en
esta forma de la ecuación únicamente para la mayor derivada y ( n) en
términos de las n+1 variables restantes. La ecuación diferencial
dn y
=f ( x , y , y ´ , … , y )
( n−1 )
n
dx

, donde f es una función continua con valores reales, se conoce como la
forma normal de la ecuación diferencial.


 Linealidad
Una ecuación diferencial es lineal si la variable dependiente no tiene
potencias, no está dentro de una función o si no hay productos con sus
derivadas, en caso contrario, la ecuación diferencial es no lineal.
dy
+5 y =e x , y ´ ´ +2 y ´ + y=x
dx
2
d y 2
2
+seny =0 , y ´ ´ + 2 yy ´+ y =x
dx


1.2 Tipos de soluciones de ecuaciones diferenciales

Definición: Solución de una ecuación diferencial
Se denomina una solución de la ecuación en el intervalo a cualquier función f ,
definida en un intervalo I y que tiene al menos, n derivadas continuas en I , las
cuales cuando se sustituyen en una ecuación diferencial ordinaria de n -ésimo
orden reducen la ecuación a una identidad.

Existen varios tipos de soluciones para una ecuación diferencial: Analítica ya sea
explícita o implícita, gráfica (curva solución), solución definida por partes.

Definición: Solución implícita de una ecuación diferencial
Se dice que una relación G ( x , y )=0 es una solución implícita de una ecuación
diferencial en un intervalo I , suponiendo que existe al menos una función f que
satisface la relación así como la ecuación diferencial en I .



1.3 Problemas de valor inicial

Con frecuencia nos interesan problemas en los que buscamos una solución y ( x )
de una ecuación diferencial en la que y ( x ) satisface condiciones prescritas, es
decir, condiciones impuestas sobre una y ( x ) desconocida o sus derivadas. En
algún intervalo I que contiene a x 0, el problema de resolver una ecuación
diferencial de n -ésimo orden sujeto a las n condiciones que lo acompañan
especificadas en x 0 se representa como:
dy
=f ( x , y ) , y ( x0 ) = y 0
dx
2
d y
2
=f ( x , y , y ´ ) , y ( x 0 ) = y 0 , y ´ ( x 0 )= y1
dx

, son problemas con valores iniciales de primer y segundo orden.
También existen las condiciones de frontera, las cuales se especifican de la
siguiente manera
y ( a) = y0 , y ( b) = y1
Estas condiciones indican el valor de la variable dependiente en diferentes puntos.


1.4 Modelos matemáticos con ecuaciones diferenciales

Con frecuencia es deseable describir en términos matemáticos el comportamiento
de algunos sistemas o fenómenos de la vida real, ya sean físicos, sociológicos o
incluso económicos. La descripción matemática de un sistema de fenómenos se
llama modelo matemático y se construye con ciertos objetivos.
 Crecimiento de la población
dP
=kP
dt
 Decaimiento radiactivo
dA
=kA
dt
 Ley de enfriamiento de Newton
dT
=k ( T −T m )
dt
 Propagación de una enfermedad
dx dx
=kxy , =kx ( n+1−x )
dt dt
 Reacciones químicas
dX
=k ( α −X )( β− X )
dt
 Mezclas
dA 1
+ A=6
dt 100
 Drenado de un tanque
dh −A h
= √ 2 gh
dt Aw
 Circuitos en serie
2
d q dq 1
L 2 + R + q=E ( t )
dt dt C
 Cuerpos en caída
d2 y d2 y dy
=−g , m 2 +k =mg
dt 2
dt dt
 Cables suspendidos
dy W
=
dx T