Limites

LÍMITES
Entornos abiertos simétricos
Sean 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ; 𝑎 < 𝑏. 𝑉𝛿 𝑐 :
𝑎 𝑐 𝑏
𝑎+𝑏
𝑐= 2
centro del intervalo 𝑎, 𝑏 .
´
𝑉𝛿 (𝑐):
𝛿 = 𝑐 − 𝑎 = 𝑏 − 𝑐 radio de 𝑎, 𝑏 . 𝑎 𝑐 𝑏

𝑉𝛿 𝑐 = 𝑥𝜖ℝΤ 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 Entorno de centro 𝑐 y radio 𝛿.
´
𝑉𝛿 𝑐 = 𝑥𝜖ℝΤ0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 Entorno reducido de centro 𝑐 y ra
Prof. Ing. Civil Adolfo Vig

,Ejemplo
Exprese el intervalo 3,7 como entorno abierto simétrico.

𝑎+𝑏 3+7 𝑉2 5 :
𝑐= = =5
2 2 3 5 7

𝛿 =𝑐−𝑎 =5−3=2

𝑉2 5 = 𝑥𝜖ℝΤ 𝑥 − 5 < 2 Entorno de centro 5 y radio 2.

𝑉2 5 : conjunto de puntos que está a una distancia de 5 meno
que 2.

,Punto de acumulación de un conjunto ´
𝑉𝛿 𝑥0
𝑥0 − δ 𝑥0 𝑥0 +
Definición
𝐴
Sean 𝐴 ⊂ ℝ; 𝑥0 ∈ ℝ.
𝑥0
𝑥0 es un punto de acumulación de 𝐴 si ∀ 𝑉𝛿´ 𝑥0 : 𝑉𝛿´ 𝑥0 ∩ 𝐴 ≠

Nota: si 𝑥0 es punto de acumulación de un conjunto 𝐴, entonc
posible aproximarse a 𝑥0 , con elementos de 𝐴, distintos de 𝑥0
como se desee.

, Ejemplo 1. Sean 𝐴 = 𝑎, 𝑏 intervalo abierto; 𝑥0 ∈ 𝐴.
𝑎
𝑥0 es punto de acumulación de 𝐴.
𝑥0
2. 𝐴 = 𝑎, 𝑏 ; 𝑥0 ∉ 𝐴, 𝑥0 ≠ 𝑎, 𝑥0 ≠ 𝑏. 𝑎
𝑥0 no es punto de acum. de 𝐴. 𝑥0
3. 𝐴 = 𝑎, 𝑏 ; 𝑥0 = 𝑎.
𝑎
𝑥0 es punto de acum. de 𝐴. 𝑥0
4. 𝐴 = 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 ; 𝑥0 ∉ 𝐴. 𝑥1 𝑥2 𝑥3
𝑥0 no es punto de acum. de 𝐴. 𝑥
0
5. 𝐴 = 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 . 𝑥1 𝑥2
𝑥0 no es punto de acum. de 𝐴. 𝑥0